ინტეგრალი ელიფსური
ინტეგრალი ელიფსური – განსაზღვრული ინტეგრალი I გვარის ალგებრული ფუნქციიდან, ანუ შემდეგი სახის ინტეგრალი:
სადაც R არის თავისი არგუმენტების რაციონალური ფუნქცია, ხოლო f(x) - მე-3 ან მე-4 ხარისხის მრავალწევრი, რომელსაც არ გააჩნია ჯერადი ფესვები:
- f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e .
იგულისხმება, რომ ეს ინტეგრალი არ გამოისახება ელემენტარულ ფუნქციებში. თუ ის გამოითვლება ელემენტარულ ფუნქციებში, მაშინ მას ფსევდოელიფსური ეწოდება.
ელემენტარული ჩასმების დახმარებით ყველა ელიფსური ინტეგრალი დაიყვანება სამ სტანდარტული სახის ინტეგრალზე, რომელთაც ლეჟანდრმა უწოდა პირველი, მეორე და მესამე გვარის ელიფსური ინტეგრალები.
პირველი გვარის ელიფსური ინტეგრალი:
მეორე გვარის ელიფსური ინტეგრალი:
სადაც k ელიფსური ინტეგრალის მოდულია; 0 < k < 1 (x = sinφ, t = sinα).
სახელწოდება – ელიფსური ინტეგრალი – დაკავშირებულია იმასთან, რომ ისინი პირველად გაჩნდნენ ელიფსის და მე-2 რიგის სხვა მრუდების რკალის გაწრფევების დროს. ის ფაქტი, რომ ასეთი ინტეგრალები არ აიღებიან სასრული სახით, აჩვენა ლიუვილმა. სახელწოდება „ფსევდოელიფსური ინტეგრალი“ შემოიღო დუბლინის უნივერსიტეტის პროფესორმა მალემ (1874).
ელიფსური ინტეგრალების შესახებ მოძღვრების დასაწყისი გახდა იაკობ ბერნულის თეორემა (1691), რომელიც განიხილავდა ლემნისკატის და პარაბოლური ხვიის გაწრფევადობას. გეომეტრიულ პრობლემებზე, რომლებსაც შეიცავენ ელიფსური ინტეგრალების შეკრების თეორემების ჩანასახები, 1714 წლიდან მუშაობდა გრაფი ფანიანო. იგი იყო პაპი ბენედიქტ IV-ის „მეცნიერი ექსპერტი“, რომელიც მუშაობდა რომში წმინდა პეტრეს ტაძრის გუმბათის უსაფრთხოების საკითხებზე. სამაგიეროდ პაპი ჰპირდებოდა მისი მათემატიკური შრომების გამოქვეყნებას. სხვადასხვა მიზეზის გამო გამოქვეყნება გაჭიანურდა 1750 წლამდე.
1750 წელს ფანიანომ თავისი ნაშრომი „Produzioni matematiche“ გაგზავნა ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიაში, სადაც იგი განსახილველად გადაეცა ეილერს (23. XII. 1751). ამ დღეს იაკობი თვლის ელიფსური ფუნქციის დაბადების დღედ. მართლაც, ფანიანოს შრომების შესწავლა გახდა დიდი ბიძგი ეილერის მნიშვნელოვანი გამოკვლევებისა; მასვე ეკუთვნის ძირითადი თეორემა ინტეგრალების შეკრების შესახებ და მათი პირველი კლასიფიკაცია. მეორე გვარის ინტეგრალი ეილერმა მიიღო 1754 წელს. შემდგომი ნაბიჯი იყო ლეჟანდრის წიგნი „ინტეგრალური აღრიცხვის სავარჯიშო“ (1811), რომელიც შეიცავდა ელიფსური ინტეგრალების თეორიას. ლეჟანდრმა შემოიღო სახელწოდება „პირველი, მეორე და მესამე გვარის ინტეგრალები“ (1786). ელიფსური ინტეგრალების და ელიფსური ფუნქციების თეორიას საკმაო შრომები მიუძღვნა გაუსმა (1799-1800), რომელმაც წლების განმავლობაში არ გამოაქვეყნა თავისი შედეგები, თუმცა ეს საკითხები მალე გამოჩნდნენ აბელისა და იაკობის შრომებში (1826-1828).
