ეილერის ინტეგრალები

ეილერის ინტეგრალები – ორი სახის ინტეგრალი:

1) ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ორი – p და q პარამეტრის ფუნქციას – ბეტა ფუნქციას: B(p,q) = x^p-1 (1-x)^q-1dx.

B(p,q) ფუნქცია სიმეტრიულია: B(p,q) = B(q,p).

გვაქვს შემდეგი ფორმულები:

ა) B(a,b) = · B(a,b-1);

ბ) B(m,n) = სადაც m,n ϵ N;

გ) B(p,q) = dy;

დ) B = π.

ამ ინტეგრალს ეილერის სახელი ეწოდა ლეჟანდრის წინადადებით.

2) ეილერის მეორე გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ერთი პარამეტრის ფუნქციას – გამა ფუნქციას: Г(z) = c^-t t^z-1 dt;

ამ ინტეგრალს ეილერი შეისწავლიდა 1729-1730 წლებში.

როცა z=a>0, მაშინ ეს ინტეგრალი იკრიბება და გვაქვს ეილერ-გაუსის ცნობილი ფორმულა:

თუ a ნატურალური რიცხვია, მაშინ Г(a+1) = a!;

გვაქვს თანაფარდობა: B(p,q) =

ეილერის ინტეგრალებზე დაიყვანება მრავალი განსაზღვრული ინტეგრალი, რომლებიც ელემენტარული ფუნქციებით არ გამოისახება.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი