მაჩვენებლიანი ფუნქცია

მაჩვენებლიანი ფუნქცია – y = a^x სახის ფუნქცია (a>0). ამ ფუნქციას ხშირად ასე აღნიშნავენ: y=exp_ax, როგორც შემოკლებული ჩაწერა ლათინური სიტყვისა exponenta.

თუ a=1, მაშინ ნებისმიერი x-თვის exp₁(x)=1^x=1. თუ a=e (e-ნეპერის რიცხვია), მაშინ exp_e აღინიშნება მარტივად exp; იგი გამოსახავს y=e^x ფუნქციას; ყოველი x – თვის (ნამდვილი ან კომპლექსური) იგი განისაზღვრება ფორმულით

y = e^x სახის ფუნქცია ერთადერთი ელემენტარული ფუნქციაა, რომელიც არ იცვლება დიფერენცირებისა და ინტეგრების დროს:

(ex)’ = ex,

∫ex dx = ex + C.

თუ y = a^x, მაშინ (a^x)’ = a^x lna; ∫ a^x dx = + C.

მაჩვენებლიანი ფუნქცია შეიძლება გაიშალოს ხარისხოვან მწკრივად, რომელიც კრებადია ყოველი x - თვის:

e^x = 1 + x + x²/2!+ x³/3!+...+xⁿ /n! + ...

აღსანიშნავია მაჩვენებლიანი ფუნქციის შემდეგი თვისებები:

1) exp_a(1) = a;

2) ნებისმიერი x - თვის exp_a(x)> 0, (xϵR);

3) ნებისმიერი ნამდვილი x და y-თვის გვაქვს თანაფარდობა:

exp_a (x + y) = exp_a (x) · exp_a(y), ანუ a^x+y = a^x ∙ a^y

მაჩვენებლიანი ფუნქციის მიმართ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება ლოგარითმული ფუნქცია: თუ y= a^x, მაშინ x = log_ay. (იხ. ექსპონენტი).

კომპლექსურ არეში: თუ z=x+iy, მაშინ e^z = e^x (cosy + i siny), |e^z |= e^x, Arg e^z = y+2kπ kϵZ. e^z=e^z+2kπi., (e^z)'=e^z

e^zi = cosz + i sinz; e^-zi = cosz-i sinz;

მწკრივი e^z = z^k/k! კრებადია ∀z.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი