ინტეგრალი

ინტეგრალი (ლათ. integer – მთელი), მათემატიკურად – მთელი სიდიდე, რომელსაც განიხილავენ, როგორც თავის უსასრულოდ მცირე ნაწილაკების ჯამს.

1) − მათემატიკური ანალიზის და მთლიანად მათემატიკის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც წარმოიშვა XVII საუკუნეში. მისი წარმოშობა დაკავშირებულია ორ ამოცანასთან:

1) აღვადგინოთ ფუნქცია, თუ ცნობილია მისი წარმოებული (მაგალითად, ვიპოვოთ ნივთიერი წერტილის წრფივი მოძრაობის კანონი, თუ ცნობილია ამ წერტილის სიჩქარე);

2) გამოვთვალოთ ფართობი, რომელიც მოთავსებულია a≤x≤b მონაკვეთზე f(x) ფუნქციის გრაფიკსა და აბსცისათა ღერძს შორის.

ამ ამოცანებს მივყავართ ინტეგრალის ორ სახემდე: განუსაზღვრელ და განსაზღვრულ ინტეგრალებამდე. ერთმანეთთან დაკავშირებული ამ ორი სახის ინტეგრალის თვისებების შესწავლა შეადგენს ინტეგრალური აღრიცხვის მთავარ ამოცანას.

ინტეგრალის ცნებამდე მიგვიყვანა ფართობის, მოცულობის, წირის სიგრძის გამოთვლისა და მექანიკის, ფიზიკის მთელმა რიგმა ამოცანებმა.

XVII საუკუნის პირველ ნახევარში ინტეგრირების ოპერაციას წერდნენ სიტყვებით: „ყველა განუყოფელის ერთობლიობა“, ხოლო შემდეგ – „ყველა წირი“ (omnes lineae). გამოსახვის ასეთი ხერხი ფართოდ გავრცელდა კავალიერის თხზულების წყალობით: „გეომეტრია, განვითარებული რამდენიმე ახალი ხერხით უწყვეტ სიდიდეთა განუყოფელი ნაწილების დახმარებით“ (1635). ვალისის „მექანიკაში“ პირველად გვხვდება შემოკლება omn w, სადაც w აღნიშნავს განუყოფადს.

ზუსტად ასევე წერდა ლაიბნიციც (1675). ჩაწერის შემოკლების მიზნით მან omn-ის ნაცვლად შემოიღო საწყისი ასო სიტყვიდან Summa (ჯამი), რომელიც მოყვანილობით იმ დროს იწერებოდა, როგორც ახლანდელი ინტეგრალის ნიშანი. ლაიბნიცი დასაწყისში წერდა ∫y, მაგრამ ერთი თვის შემდეგ დაიწყო დაწერა ∫ydx – ეს უკვე განუყოფელთა ჯამი კი არა, არამედ უსასრულოდ მცირე მართკუთხედების ფართობთა ჯამია. ლაიბნიცი სისტემატურად ხმარობდა ახალ აღნიშვნას მას შემდეგ, როცა შეამჩნია მისი ინვარიანტულობა ცვლადის მიმართ. ნაბეჭდი სახით თანამედროვე აღნიშვნა გამოჩნდა 1686 წელს ამავე დროს იოჰან ბერნული ინტეგრების ოპერაციას აღნიშნავდა J ასოთი მის მიერ შემოღებული სახელწოდების „ინტეგრალური აღრიცხვის“ პირველი ასოს მიხედვით. შემდგომში ეს სიმბოლო იქნა კონკრეტული ინტეგრალების აღსანიშნავად J₁,J₂,J₃ და ა.შ.

ნიუტონი, ისევე, როგორც მისი მასწავლებელი ბაროუ, როგორც ჩანს, ინტეგრებას განიხილავდა როგორც ამოცანას [x'=f(t) განტოლების ამოხსნას], და არა როგორც ოპერაციას, ამიტომაც მას არ ჰქონდა სახელწოდება ინტეგრალისათვის, გარდა ზოგიერთი შემთხვევისა, სადაც იგი წერდა □f(t) ან . 1704 წელს მან შემოიღო ინტეგრალისათვის x(t) აღნიშვნა, რომელიც თვით ინგლისშიც კი წარუმატებლად ჩათვალეს. ინგლისის მათემატიკურ ლიტერატურაში ∫ ნიშანი გამოჩნდა 1693 წელს, შემდგომ კი 1701 წელს. ეს აღნიშვნა ავტორთა დიდი უმრავლესობის მიერ დაუყოვნებლივ იქნა მიღებული.

სიტყვა „ინტეგრალი“ პირველად გამოიყენა იაკობ ბერნულიმ 1690 წ. შესაძლოა, ტერმინი წარმოიქმნა ლათინურიდან integer – „მთელი“. სხვა დაშვების თანახმად, იაკობ ბერნულიმ ტერმინი შემოიღო სიტყვიდან integro – „წინა მდგომარეობაზე მიყვანა“, „აღდგენა“ (მართლაც, აღდგება ფუნქციის პირველყოფილი, პირველსახე). ეს ტერმინი განიხილეს იოჰან ბერნულიმ და ლაიბნიცმა და „მიიღეს იგი“ (1696 წ-ს). მაშინვე იოჰან ბერნულიმ შესთავაზა სახელწოდება „ინტეგრალური აღრიცხვა“ (calculus integralis); თვით ლაიბნიცი მას calculus summatorius – „შემაჯამებელ აღრიცხვას“ უწოდებდა.

სიტყვა „ინტეგრალური“ ნიშნავს:

1) ინტეგრალებთან დაკავშირებული;

2) მთლიანი, განუყოფელი.

სიტყვები „ინტეგრაცია“ (integratio – აღდგენა) და „ინტეგრება“ ნიშნავს:

1) მოცემული ფუნქციის ინტეგრალის პოვნას;

2) ნაწილების გაერთიანებას მთელად.

2) – დიფერენციალური განტოლების ან დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემის ამოხსნის შედეგი.

იხილე აგრეთვე

• ინტეგრალი არასაკუთრივი
• ინტეგრალი განსაზღვრული
• ინტეგრალი განუსაზღვრელი
• ინტეგრალი ელიფსური
• ინტეგრალი ზედაპირული
• ინტეგრალი ზოგადი
• ინტეგრალი მრუდწირული
• ინტეგრალი ცვლადი ზედა საზღვრით
• ინტეგრალი ჯერადი
• ჯერადი ინტეგრალი
• ინტეგრალურ-დიფერენციალური განტოლება
• აბელის ინტეგრალები
• რიმანის ინტეგრალი
• წირითი ინტეგრალი

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი