იხილეთ წყარო გვერდისთვის ბეტა-ფუნქცია

'''ბეტა ფუნქცია''' – ორი [[ცვლადი]]ს [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]], რომელიც [[ეილერი ლეონარდ|ეილერის]] პირველი გვარის [[ინტეგრალი]]ს ტოლია და ასე აღინიშნება B(p, q) და როცა p >0, q >0 განისაზღვრება [[ტოლობა|ტოლობით]].

::{|
|-
| B(p,q) = [[ფაილი:Beta001.png]]t<sup>p-1</sup> (1-t)<sup>q-1</sup> dt ||||||||||||||  (Rep>0, Req>0)   ||||||||    (*)
|}
:::(''ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი''),

თუ p და q კომპლექსურია, მაშინ (*) ინტეგრალი იკრიბება, როცა Rep >0, Req >0.

(*) – ის მონათესავე ინტეგრალს [[ფაილი:Beta001.png]]t<sup>p-1</sup> (1-t)<sup>p-1</sup> dt იხილავდა [[ვალისი ჯონი|ვალისი]] (1659), [[ნიუტონი ისააკ|ნიუტონი]] (1676), სტირლინგი (1730). მაგრამ, (*) ინტეგრალისადმი მიძღვნილი პირველსაწყისი მნიშვნელოვანი შრომები ეკუთვნის ეილერს (1730). სახელწოდება „ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი“  შემოიღო [[ლეჟანდრი ადრიანი|ლეჟანდრმა]] (1811), ხოლო სახელწოდება „ბეტა-ფუნქცია“ და აღნიშვნა B(p, q) – ბინემ (1839). 

აღსანიშნავია B(p, q) ფუნქციის შემდეგი თვისებები:


::1) B(p,q) = B(q,p), როცა p>0, q>0.


::2) B(p,q) = [[ფაილი:Beta003.png]] B(p, q-1),  როცა p>0, q >1;

:::B(p,q) = [[ფაილი:Beta005.png]] B(p-1,q),   როცა p >1, q>0.


::3) B(p,n) = B(n,p) = [[ფაილი:Beta007.png]], როცა ∀m, n∈ N.


:კერძოდ, B(p,1) = [[ფაილი:Integralu gan031.png]];  B(m,n) = [[ფაილი:Beta009.png]],   როცა p >0, n∈ N


::4) ადგილი აქვს ტოლობასაც:

::::[[ფაილი:Beta011.png]]


::5) B(p, q) ფუნქცია გამა-ფუნქციის საშუალებით ასე გამოისახება:

::::B(p,q) = [[ფაილი:Beta013.png]] = B(q,p).


::6) B(p,1-p) = [[ფაილი:Beta015.png]]     0 < a <1.


==წყარო==
[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]]
[[კატეგორია:მათემატიკა]]
[[კატეგორია:ფუნქციები]]