კვადრატული ფორმა - რედაქტირების ისტორია

Echelidze 23:25, 13 სექტემბერი 2023-ზე

2023-09-13T23:25:08Z

Echelidze 23:11, 13 სექტემბერი 2023-ზე

2023-09-13T23:11:16Z

Echelidze 22:03, 13 სექტემბერი 2023-ზე

2023-09-13T22:03:18Z

Echelidze: ახალი გვერდი: '''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი...

2023-09-13T22:02:50Z

ახალი გვერდი: '''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი...

ახალი გვერდი

'''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი:

კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖〖 a〗_(ij ) ‖ .

x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:

〖y_1〗^2+〖y_2〗^2+...+〖y_k〗^2, k≤n, y_i=∑_(j=1)^n▒b_ij x_j.

თუ a_ij ϵ R, ხოლო x ცვლადების წრფივი გარდაქმნა განიხილება ნამდვილ რიცხვთა ველში, მაშინ კვადრატული ფორმა F დაიყვანება შემდეგ სახეზე:

〖y_1〗^2+〖y_2〗^2+...+〖y_s〗^2-〖y^2〗_(s+1)-〖y^2〗_(s+2)-...-〖y^2〗_k, k≤n,

y_i=∑_(j=1)^n▒b_ij x_j,, i=1,2,…,n .

ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი).

x_1,x_2,...,x_n ცვლადების ორთოგონალური გარდაქმნით F შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:

λ_1 〖y_1〗^2+λ_2 〖y_2〗^2 + ...+ λ_n 〖y_n〗^2,

სადაც. λ_1,λ_2,…,λ_n – ნამდვილი რიცხვებია, კვადრატული ფორმის ინვარიანტები.

ზემოაღნიშნული თეორემები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში.

კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly^2+Myz+Nz^2 ფორმულის დაყვანა უფრო მარტივ გამოსახულებაზე“ ნიშნავს: „კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ სახეზე“. 1801 წელს გამოქვეყნდა გაუსის ნაშრომი „Disquisitiones Arithmeticae“, რომელმაც დაჩრდილა და საკმაოდ უკან ჩამოიტოვა ლეჟანდრის ნაშრომი. აქ შემოტანილ იქნა ტერმინი „კვადრატული ფორმა“, მოხდა განცალკევება ბინარულ, ტერნარულ და ა.შ. კვადრატულ ფორმებად ცვლადთა რიცხვის მიხედვით, შემოღებულია: საკუთრივი და არასაკუთრივი ეკვივალენტურობის, ფორმის სახის, მარტივი ფორმის, დადებითად და უარყოფითად განსაზღვრული ფორმის, საპირისპირო ფორმის ცნებები. „დაყვანილი ფორმა“ – ლაგრანჟის ტერმინია. შემდგომში კვადრატული ფორმის თეორიას ამუშავებდნენ მინკოვსკი, სმიტი, კორკინი, ზოლოტარიოვი, ვორონი და სხვ. ცვლადთა უსასრულო რაოდენობის შემცველი კვადრატული ფორმების თეორია განავითარა და მისი გამოყენება ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიაში მოგვცა ჰილბერტმა თავის მემუარების სერიაში (1904-1910).

@@ ხაზი 1: / ხაზი 1: @@
 '''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი:
-F(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>=[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]]a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub> x<sub>j</sub>.
+::::F(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>= [[ფაილი:Kvad003.png]]a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub> x<sub>j</sub>.
 კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖ a<sub>ij</sub> ‖ .
@@ ხაზი 6: / ხაზი 6: @@
 x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
-y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>k</sub><sup>2</sup>,     k ≤ n,      y<sub>i</sub> =[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]] b<sub>ij</sub>   x<sub>j</sub>.
+::::y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>k</sub><sup>2</sup>,     k ≤ n,      y<sub>i</sub> = [[ფაილი:Kvad005.png]] b<sub>ij</sub>   x<sub>j</sub>.
 თუ a<sub>ij</sub> ϵ R, ხოლო x ცვლადების წრფივი გარდაქმნა განიხილება ნამდვილ რიცხვთა ველში, მაშინ კვადრატული ფორმა F დაიყვანება შემდეგ სახეზე:
-y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>s</sub><sup>2</sup>-y<sup>2</sup><sub>s+1</sub>-y<sup>2</sup><sub>s+2</sub>-...- y<sup>2</sup><sub>k</sub>,     k ≤ n,
+:::y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>s</sub><sup>2</sup> - y<sup>2</sup><sub>s+1</sub> - y<sup>2</sup><sub>s+2</sub>-...- y<sup>2</sup><sub>k</sub>,     k ≤ n,
-y<sub>i</sub> =[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]] b<sub>ij</sub>   x<sub>j</sub>,,     i = 1,2,…,n.
+:::y<sub>i</sub> = [[ფაილი:Kvad005.png]] b<sub>ij</sub>   x<sub>j</sub>, ,     i = 1,2,…,n.
 ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი).
@@ ხაზი 18: / ხაზი 18: @@
 x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> ცვლადების ორთოგონალური გარდაქმნით F შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
-λ<sub>1</sub> y<sub>1</sub><sup>2</sup> + λ<sub>2</sub> y<sub>2</sub><sup>2</sup>  + ... + λ<sub>n</sub> y<sub>n</sub><sup>2</sup>,
+:::λ<sub>1</sub> y<sub>1</sub><sup>2</sup> + λ<sub>2</sub> y<sub>2</sub><sup>2</sup>  + ... + λ<sub>n</sub> y<sub>n</sub><sup>2</sup>,
 სადაც. λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>,…, λ<sub>n</sub> – ნამდვილი რიცხვებია, კვადრატული ფორმის ინვარიანტები.

@@ ხაზი 1: / ხაზი 1: @@
 '''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი:
 კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖〖 a〗_(ij ) ‖ .
@@ ხაზი 25: / ხაზი 24: @@
 კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly^2+Myz+Nz^2  ფორმულის დაყვანა უფრო მარტივ გამოსახულებაზე“ ნიშნავს: „კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ სახეზე“. 1801 წელს გამოქვეყნდა გაუსის ნაშრომი „Disquisitiones Arithmeticae“, რომელმაც დაჩრდილა და საკმაოდ უკან ჩამოიტოვა ლეჟანდრის ნაშრომი. აქ შემოტანილ იქნა ტერმინი „კვადრატული ფორმა“, მოხდა განცალკევება ბინარულ, ტერნარულ და ა.შ. კვადრატულ ფორმებად ცვლადთა რიცხვის მიხედვით, შემოღებულია: საკუთრივი და არასაკუთრივი ეკვივალენტურობის, ფორმის სახის, მარტივი ფორმის, დადებითად და უარყოფითად განსაზღვრული ფორმის, საპირისპირო ფორმის ცნებები. „დაყვანილი ფორმა“ – ლაგრანჟის ტერმინია. შემდგომში კვადრატული ფორმის თეორიას ამუშავებდნენ მინკოვსკი, სმიტი, კორკინი, ზოლოტარიოვი, ვორონი და სხვ. ცვლადთა უსასრულო რაოდენობის შემცველი კვადრატული ფორმების თეორია განავითარა და მისი გამოყენება ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიაში მოგვცა ჰილბერტმა თავის მემუარების სერიაში (1904-1910).