წრფის განტოლება - რედაქტირების ისტორია

Tkenchoshvili 13:19, 27 ნოემბერი 2023-ზე

2023-11-27T13:19:05Z

Echelidze 13:35, 3 ოქტომბერი 2023-ზე

2023-10-03T13:35:38Z

Echelidze 09:46, 12 ივლისი 2023-ზე

2023-07-12T09:46:09Z

Echelidze 09:39, 12 ივლისი 2023-ზე

2023-07-12T09:39:30Z

Echelidze: ახალი გვერდი: '''წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით [[დეკარტის კოორდინატები|...

2023-07-12T08:56:04Z

ახალი გვერდი: '''წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით [[დეკარტის კოორდინატები|...

ახალი გვერდი

'''წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით [[დეკარტის კოორდინატები|დეკარტის კოორდინატებში]] [[სიბრტყე (გეომეტრია)|ს ი ბ რ ტ ყ ე ზ ე]].'''

1) '''ზოგადი სახის.''' Ax+By+C=0. (1)

A და B ერთდროულად არ უდრიან [[ნული|ნულს]].

2) '''საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
:::::::::y = kx + b, k = tgφ. (2)

k -ს ეწოდება საკუთხო კოეფიციენტი.

3) '''ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b) წერტილში:
:::::::::[[ფაილი:Wrfi021.png]] (a≠0, b≠0). (3)

4) '''ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0, (4)

სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.

ნორმალური სახის (4) განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას გავამრავლებთ მაინტეგრებელ μ მამრავლზე
:::::::::[[ფაილი:Wrfi031.png]]

μ -ს და C-ს ნიშნები ურთიერთსაწინააღმდეგო აქვთ.

თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს დამოკიდებულებები:
:(2)-ში: k = - A/B, φ = θ - π/2, როცა k>0; φ = θ + π/2, როცა k<0.

:(3)-ში: a = -C/A, b = -C/B;

:(4)-ში: [[ფაილი:Wrfi039.png]]

5) '''წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x0, y0) წერტილში:
:::::::::y - y0 = k (x - x0). (5)

6) '''მოცემულ ორ M1 (x1, y1) და M2 (x2, y2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''

:::::::::[[ფაილი:Wrfi049.png]] (6)

7) '''მანძილი M0 (x0, y0) წერტილიდან Ax + By + C = 0 წრფემდე:'''

:::::::::[[ფაილი:Wrfi059.png]] (7)

ხოლო (4) სახით მოცემულ '''x cos θ + y sinθ − p = 0 წრფემდე'''

:::::::::δ = x0 cos θ + y0 sinθ − p.

'''8) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:'''

:ა) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (1) ფორმით, მაშინ
:::::::::[[ფაილი:Wrfi065.png]] (8)

:ბ) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (2) ფორმით, მაშინ
:::::::::[[ფაილი:Wrfi067.png]]

'''9) ორი წრფე იკვეთება ერთ წერტილში, როცა'''
:::::::::[[ფაილი:Wrfi069.png]] ან k1≠k2; (9)

'''10) ორი წრფის პარალელობის პირობა:'''
:::::::::[[ფაილი:Wrfi073.png]] ან k1=k2; (10)

'''11) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:'''
:::::::::A1A2 + B1B2 = 0, ან k1k2 = - 1. (11)

'''ს ი ვ რ ც ე შ ი'''

'''12) ზოგადი სახის:''' წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0. (12)

13) მოცემულ ორ M_1 (x_1,y_1,z_1) და M_2 (x_2,y_2,z_2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:
(x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(z-z_1)/(z_2-z_1 ). (13)

14) მოცემულ M_1 (x_1,y_1,z_1) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (R ) ⃗(l,m,n) ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:

(x-x_1)/l=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n (კანონიკური განტოლება), (14)

ან x=x_1+lt, y=y_1+mt, z=z_1+nt (პარამეტრული განტოლება).

15) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:
თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ
cosa=(1_1 1_2+m_1 m_2+n_1 n_2)/√((l■(2@1)+m■(2@1)+n■(2@1))(l■(2@2)+m■(2@2)+n■(2@2))). (15)

16) ორი წრფის პარალელობის პირობა:
l_1/l_2 =m_1/m_2 =n_1/n_2 ; (16)

17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:
l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0. (17)

პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.

←წინა ვერსია		13:19, 27 ნოემბერი 2023-ის ვერსია
ხაზი 105:		ხაზი 105:
	:::::::::l<sub>1</sub>l<sub>2</sub> + m<sub>1</sub>m<sub>2</sub> + n<sub>1</sub>n<sub>2</sub> = 0. (17)		:::::::::l<sub>1</sub>l<sub>2</sub> + m<sub>1</sub>m<sub>2</sub> + n<sub>1</sub>n<sub>2</sub> = 0. (17)

−	პირველად [[ფერმა პიერ\|პ. ფერმამ]] (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი [[ხარისხი (მათემატიკა)\|ხარისხის]] ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს [[გეომეტრია\|გეომეტრიის]] სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება [[სივრცე ~~(მათემატიკა)\|სივრცეში~~]] შემოიღო ო. კოშიმ.	+	პირველად [[ფერმა პიერ\|პ. ფერმამ]] (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი [[ხარისხი (მათემატიკა)\|ხარისხის]] ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს [[გეომეტრია\|გეომეტრიის]] სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება [[სივრცე]]ში შემოიღო ო. კოშიმ.

@@ ხაზი 7: / ხაზი 7: @@
-'''2) საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
+'''2) [[საკუთხო კოეფიციენტი]]თ.''' [[წრფე]] ადგენს φ [[კუთხე (გეომეტრია)|კუთხე]]ს 0x [[ღერძი|ღერძის]] დადებით [[მიმართულება (მათემატიკური)|მიმართულებასთან]] და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
 :::::::::y = kx + b, k = tgφ.                              (2)
@@ ხაზი 13: / ხაზი 13: @@
-'''3) ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
+'''3) ღერძთა [[მონაკვეთი (გეომეტრია)|მონაკვეთებში]].''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi021.png]]           (a≠0,   b≠0).                     (3)
-'''4) ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
+'''4) [[ნორმალური განტოლება|ნორმალური სახის განტოლება]].''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
-სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.
+სადაც P – [[კოორდინატთა სათავე|კოორდინატთა სათავიდან]] წრფეზე დაშვებული [[პერპენდიკულარი|პერპენდიკულარის]] [[სიგრძე (მათემატიკა)|სიგრძე]]ა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.
-ნორმალური სახის (4) განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას გავამრავლებთ მაინტეგრებელ μ მამრავლზე
+ნორმალური სახის (4) [[განტოლება]] შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას [[გამრავლება|გავამრავლებთ]] [[მაინტეგრებელი მამრავლი|მაინტეგრებელ]] μ [[მამრავლი|მამრავლზე]]
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi031.png]]
 μ -ს და C-ს ნიშნები ურთიერთსაწინააღმდეგო აქვთ.
-თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს დამოკიდებულებები:
+თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს [[დამოკიდებულება (მათემატიკური ტერმინი)|დამოკიდებულებები]]:
 :(2)-ში: k = - A/B, φ = θ - π/2, როცა k>0; φ = θ + π/2, როცა k<0.
@@ ხაზი 34: / ხაზი 34: @@
-'''5) წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
+'''5) წრფეთა [[კონა (გეომეტრია)|კონის]] განტოლება''' [[ცენტრი (გეომეტრია)|ცენტრით]] M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
 :::::::::y - y<sub>0</sub> = k (x - x<sub>0</sub>).                (5)
@@ ხაზი 43: / ხაზი 43: @@
-'''7) მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
+'''7) [[მანძილი (გეომეტრია)|მანძილი]] M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi059.png]]                    (7)
@@ ხაზი 54: / ხაზი 54: @@
 '''8) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:'''
-:ა) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (1) ფორმით, მაშინ
+:ა) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (1) [[ფორმა (მათემატიკა)|ფორმით]], მაშინ
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi065.png]]                (8)
@@ ხაზი 66: / ხაზი 66: @@
-'''10) ორი წრფის პარალელობის პირობა:'''
+'''10) ორი წრფის პარალელობის [[პირობა (მათემატიკა)|პირობა]]:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi073.png]]          ან       k<sub>1</sub>=k<sub>2</sub>;                  (10)
@@ ხაზი 77: / ხაზი 77: @@
-'''12) ზოგადი სახის:''' წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:
+'''12) ზოგადი სახის:''' წრფე, როგორც ორი [[სიბრტყე (გეომეტრია)|სიბრტყის]] [[თანაკვეთა]]:
 :::::::::[[ფაილი:Wrfiv081.png]]
@@ ხაზი 85: / ხაზი 85: @@
-'''14) მოცემულ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი 	[[ფაილი:Wrfi089.png]] (ℓ, m, n)  ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:'''
+'''14) მოცემულ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) წერტილზე გამავალი და [[მიმმართველი]] 	[[ფაილი:Wrfi089.png]] (ℓ, m, n)  [[ვექტორი|ვექტორის]] [[პარალელური წრფეები|პარალელური წრფის]] განტოლება:'''
-:::::::::[[ფაილი:Wrfi093.png]]           (კანონიკური განტოლება),       (14)
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi093.png]]           ([[კანონიკური განტოლება]]),       (14)
-ან  x = x<sub>1</sub> + ℓt,    y = y<sub>1</sub> + mt,       z = z<sub>1</sub> + nt (პარამეტრული განტოლება).
+ან  x = x<sub>1</sub> + ℓt,    y = y<sub>1</sub> + mt,       z = z<sub>1</sub> + nt ([[პარამეტრი (მათემატიკა)|პარამეტრული]] განტოლება).
@@ ხაზი 105: / ხაზი 105: @@
 :::::::::l<sub>1</sub>l<sub>2</sub> + m<sub>1</sub>m<sub>2</sub> + n<sub>1</sub>n<sub>2</sub> = 0.                      (17)
-პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.
+პირველად [[ფერმა პიერ|პ. ფერმამ]] (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი [[ხარისხი (მათემატიკა)|ხარისხის]] ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს [[გეომეტრია|გეომეტრიის]] სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება [[სივრცე (მათემატიკა)|სივრცეში]] შემოიღო ო. კოშიმ.

←წინა ვერსია		09:46, 12 ივლისი 2023-ის ვერსია
ხაზი 106:		ხაზი 106:

	პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.		პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.
		+
		+
		+	==წყარო==
		+	[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]]
		+
		+	[[კატეგორია:მათემატიკა]]
		+	[[კატეგორია:გეომეტრია]]

@@ ხაზი 2: / ხაზი 2: @@
-) '''ზოგადი სახის.''' Ax+By+C=0.                                              (1)
+'''1) ზოგადი სახის.''' Ax+By+C=0.                                              (1)
 A და B ერთდროულად არ უდრიან [[ნული|ნულს]].
-) '''საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
+'''2) საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
 :::::::::y = kx + b, k = tgφ.                              (2)
@@ ხაზი 13: / ხაზი 13: @@
-) '''ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
+'''3) ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi021.png]]           (a≠0,   b≠0).                     (3)
-) '''ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
+'''4) ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
 სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.
@@ ხაზი 34: / ხაზი 34: @@
-) '''წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
+'''5) წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
 :::::::::y - y<sub>0</sub> = k (x - x<sub>0</sub>).                (5)
-) '''მოცემულ ორ M<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
+'''6) მოცემულ ორ M<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi049.png]]	                 (6)
-) '''მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
+'''7) მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi059.png]]                    (7)
@@ ხაზი 75: / ხაზი 75: @@
 '''ს ი ვ რ ც ე შ ი'''
 '''12) ზოგადი სახის:''' წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:
-A<sub>1</sub>x + B<sub>1</sub>y + C<sub>1</sub>z + D<sub>1</sub> = 0
+:::::::::[[ფაილი:Wrfiv081.png]]
-A<sub>2</sub>x + B<sub>2</sub>y + C<sub>2</sub>z + D<sub>2</sub> = 0.                        (12)
-) მოცემულ M_1 (x_1,y_1,z_1) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (R ) ⃗(l,m,n)  ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:
+) '''მოცემულ ორ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
-ან    x=x_1+lt,    y=y_1+mt,       z=z_1+nt (პარამეტრული განტოლება).
+'''14) მოცემულ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი 	[[ფაილი:Wrfi089.png]] (ℓ, m, n)  ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:'''
 თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ
-) ორი წრფის პარალელობის პირობა:
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi097.png]]               (15)
-l_1/l_2 =m_1/m_2 =n_1/n_2 ;                                  (16)
-) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:
+'''17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:'''
-l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0.                      (17)
+:::::::::l<sub>1</sub>l<sub>2</sub> + m<sub>1</sub>m<sub>2</sub> + n<sub>1</sub>n<sub>2</sub> = 0.                      (17)
 პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.