კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება
კერძოწარმოებულებიანი დეფერენციალური განტოლება – დიფერენციალური განტოლება, რომელშიც უცნობია რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია, რის გამოც მასში გვხვდება ამ ფუნქციის კერძო წარმოებულები.
თანაფარდობას
რომელიც ერთმანეთთან აკავშირებს დამოუკიდებელ x1,...,xn ცვლადებს, საძიებელ u ფუნქციას და მის კერძო წარმოებულებს, ეწოდება კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება. ამ განტოლების რიგი ეწოდება მასში შემავალი კერძო წარმოებულების რიგთა შორის მაქსიმალურს.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების თეორიას საფუძვლად უდევს განტოლებათა ტიპებად დაყოფა, რომელთათვისაც განსხვავებული სასაზღვრო ამოცანები ისმის. შესაბამისად, ამ ამოცანათა კვლევის მეთოდებიც ერთმანეთისაგან არსებითად განსხვავებულია.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების ტიპიურ ამოცანას წარმოადგენს კოშის ამოცანა. პირველზე მაღალი რიგის ასეთი დიფერენციალური განტოლებებისათვის აგრეთვე განიხილება სასაზღვრო ამოცანები. მაგალითისათვის, განვიხილოთ მეორე რიგის განტოლებანი:
- F(x,y,u,p,q,r,s,t) = 0,
სადაც p = ∂u/∂x, q = ∂u/∂y, r = ∂2u/∂x2, s = ∂2u/∂x∂y, t = ∂2u/∂y2.
- ამ განტოლებას ეწოდება:
- ელიფსური, თუ D=4 ∂F/∂r·∂F/∂t – (∂F/∂s)2 >0,
(მაგალითად, ლაპლასის განტოლება: ∆u ≡ ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0)
- ჰიპერბოლური, თუ D<0,
(მაგალითად, სიმის რხევის განტოლება ∂2u/∂t2 = a2∂2u/∂x2),
- პარაბოლური, თუ D=0,
(მაგალითად, თბოგამტარობის განტოლება ∂u/∂t = a2∂2u/∂x2).
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები წარმოადგენენ ძირითად მათემატიკურ აპარატს ისეთი დარგების შესასწავლად, როგორიცაა დრეკადობის თეორია, ჰიდრომექანიკა, აერომექანიკა და სხვ.
XVIII ს-ის 70-იანი წლების ნაშრომებში ლაგრანჟმა შეიმუშავა პირველი რიგის კერძოწარმოებულებიანი განტოლებების ზოგადი თეორია სამი ცვლადის შემთხვევისათვის, დაამყარა ურთიერთდამოკიდებულება პირველი რიგის განტოლების სხვადასხვა სახის ამოხსნებს შორის და შემოიღო თანამედროვე ტერმინოლოგია. კოშიმ თეორია განავრცო n ცვლადის შემთხვევისათვის (1819). მეორე რიგის კერძო წარმოებულიანი განტოლებების პირველ კლასიფიკაციას შეეცადა მონჟი თავის მიერ შექმნილი მახასიათებელთა მეთოდით. თანამედროვე დაყოფა ელიფსური, ჰიპერბოლურ და პარაბოლურ ტიპებად შემოთავაზებულია დიუბუა რაიმონის მიერ (1889); მანვე შემოიღო ჰიპერბოლური განტოლებების დაყოფა „პირველი გვარის ამოცანებად“ და „მეორე გვარის ამოცანებად“. კერძოწარმოებულებიანი განტოლებების ამონახსნებს თავისი სახელწოდებები ლაგრანჟმა დაარქვა, მას ეკუთვნის ტერმინები „სრული ინტეგრალი“, „ზოგადი ინტეგრალი“, „განსაკუთრებული ამონახსნი“.
