სიდიდე (მათემატიკა)
სიდიდე - ნივთიერი სამყაროს ობიექტის ან მოვლენის მახასიათებელი, რომელიც ხარისხობრივად საერთოა მრავალი ობიექტის ან მოვლენისათვის, მაგრამ რაოდენობრივად ინდივიდუალურია (კერძოა) თითოეული მათგანისათვის.
ადამიანის პრაქტიკული მოღვაწეობის მოთხოვნილებებმა უძველესი დროიდან მეცნიერებისაგან მოითხოვა სხვადასხვა (მაგრამ ერთგვაროვანი) რეალური ობიექტის ფიზიკური, გეომეტრიული და მათ მსგავს თვისებათა თანაზომადობა. ასეთმა თანაზომადობამ (შედარებამ) ადამიანი ბუნებრივად მიიყვანა რიცხვთა განსახილველი სიმრავლის ყოველი ელემენტის მახასიათებლის მკვლევარისათვის საინტერესო თვალსაზრისთან, შედარების მათემატიკურ კონსტრუქციამდე. ასეთ კონსტრუქციებს წარმოადგენენ ფართობის. სიგრძის, მასის, ტემპერატურის და ა.შ. გამოთვლის ხერხები. ამ კონსტრუქციებში განსახილველი სიმრავლის ზოგიერთი ელემენტი შეირჩევა ერთეულად, ხოლო დანარჩენი ელემენტები განიზომებიან ამ ერთეული ელემენტის დახმარებით, რის შედეგადაც მიიღება მათი დამახასიათებელი (გამზომი) რიცხვი. აღწერილი კონსტრუქციები შეიძლება საფუძვლად დაედოს მათემატიკურ აბსტრაქციას, რომელსაც მივყავართ სიდიდის მათემატიკურ ცნებამდე.
ჯერ კიდევ ევკლიდეს „საწყისებში“ იყო ნათლად ჩამოყალიბებული თვისებები იმ სიდიდეებისა, რომლებსაც ამჟამად, სხვა განზოგადებისგან განსხვავებით, დადებით სკალარულ სიდიდეებს უწოდებენ. ეს პირველსაწყისი ცნება არის უშუალო განზოგადება უფრო კონკრეტული ცნებებისა: სიგრძის, ფართობის, მოცულობის და ა.შ.
ამბობენ, რომ მოცემულია სიდიდე, თუ ცნობილია A ობიექტების სიმრავლე და ამ სიმრავლეზე ტოლობის დამოკიდებულება (=), მეტობის დამოკიდებულება (>), ნაკლებობის დამოკიდებულება (<) და შეკრების ოპერაცია (+), ე.ი. ყველა ერთგვაროვანი სიდიდის სისტემათა საზღვრებში დგინდება უტოლობის მიმართება:
- 1) ორი ერთგვაროვანი a და b სიდიდისათვის (a,b ϵA), გვაქვს დამოკიდებულებები: a=b,
- 2) a+b=c;
- 3) თუ a<b, b<c, მაშინ a<c (ტრანზიტულობა);
- 4) a+b=b+a (კომუტატიურობა);
- 5) a+(b+c)=(a+b)+c (ასოციაციურობა);
- 6) a+b>a (მონოტონურობა);
- 7) თუ a>b, მაშინ არსებობს ერთადერთი c სიდიდე, ისეთი, რომ b+c=a (გამოკლების შესაძლებლობა);
- 8) ნებისმიერი a,bϵA სიდიდისათვის არსებობს ნატურალური n ისეთი, რომ nb>a (ე. წ. არქიმედეს აქსიომა);
- 9) როგორიც არ უნდა იყოს aϵA და ნატურალური n, მოიძებნება ისეთი bϵA რომ nb=a (გაყოფის შესაძლებლობა).
სიდიდის ზემოთ ჩამოყალიბებული (აღწერილი) ცნება ისტორიულად განიცდიდა მრავალგზის განზოგადებას. კერძოდ, ძალის, სიჩქარის, დრეკადი ძაბვების შესწავლამ მიგვიყვანა არასკალარული სიდიდეების – ვექტორისა და ტენზორის ცნებამდე. თანამედროვე შეთანხმების საფუძველზე ეს ცნებებიც ითვლებიან სიდიდეებად, თუმცა ზემოთ მითითებული მრავალი აქსიომა მათთვის არამართებულია (ისინი შეგვიძლია შევკრიბოთ, მაგრამ მათთვის აზრს კარგავს უტოლობის მიმართება).
