ეილერის კუთხეები
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ეილერის კუთხეები''' – სამი კუთხე – ψ,φ,ϑ, რომლებიც განსაზღვრავენ უძრავი 0 წერტილის გარშემო მბრუნავი მყარი სხეულის მდებარეობას იმ უძრავი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ, რომლის სათავე მოთავსებულია 0 წერტილში. ეს კუთხეები შემოიღო ეილერმა 1748 წელს. | + | '''ეილერის კუთხეები''' – სამი [[კუთხე (გეომეტრია)|კუთხე]] – ψ,φ,ϑ, რომლებიც განსაზღვრავენ უძრავი 0 [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილის]] გარშემო მბრუნავი [[მყარი]] [[სხეული (გეომეტრიული)|სხეულის]] მდებარეობას იმ უძრავი [[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა|მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის]] მიმართ, რომლის [[კოორდინატთა სათავე|სათავე]] მოთავსებულია 0 წერტილში. ეს კუთხეები შემოიღო [[ეილერი ლეონარდ|ეილერმა]] 1748 წელს. |
[[ფაილი:Eileris kutxeebi.PNG|მარჯვნივ|200პქ]] | [[ფაილი:Eileris kutxeebi.PNG|მარჯვნივ|200პქ]] | ||
| − | თუ სხეული ჩამაგრებულია უძრავ 0 წერტილში და სხეულთან უძრავად დაკავშირებულია კოორდინატთა | + | თუ სხეული ჩამაგრებულია უძრავ 0 წერტილში და სხეულთან უძრავად დაკავშირებულია [[კოორდინატები|კოორდინატთა]] [[დეკარტი რენე|დეკარტი]]ს მართკუთხა 0x<sub>1</sub> y<sub>1</sub> z<sub>1</sub> [[სისტემა (მათემატიკური)|სისტემა]], მაშინ სხეულის ყოველი მდებარეობა (ანუ [[კოორდინატთა სისტემა|კოორდინატთა 0x<sub>1</sub> y<sub>1</sub> z<sub>1</sub> სისტემის]] ნებისმიერი მდებარეობა) იმავე [[ორიენტაცია (მათემატიკაში)|ორიენტაციის]] კოორდინატთა უძრავ დეკარტის მართკუთხა 0xyz სისტემის მიმართ განისაზღვრება ეილერის სამი ψ,φ და θ კუთხით. |
| − | ეილერის კუთხეები განიხილება, როგორც ψ, φ და θ კუთხეები, რომლებითაც თანამიმდევრობით უნდა მობრუნდეს კოორდინატთა ერთი სისტემა მეორე სისტემის ღერძების მიმართ, რომ ეს კოორდინატთა სისტემები ერთმანეთს შეუთავსდეს. | + | ეილერის კუთხეები განიხილება, როგორც ψ, φ და θ კუთხეები, რომლებითაც თანამიმდევრობით უნდა მობრუნდეს კოორდინატთა ერთი სისტემა მეორე სისტემის [[ღერძი|ღერძების]] მიმართ, რომ ეს კოორდინატთა სისტემები ერთმანეთს შეუთავსდეს. |
| − | პირველი მობრუნება 0z ღერძის გარშემო ψ კუთხით: 0x და 0y ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ OK და OM მიმართულებებს; მეორე მობრუნება OK ღერძის გარშემო θ კუთხით: 0z და OM ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0z<sub>1</sub> და ON მიმართულებებს. მესამე მობრუნება 0z<sub>1</sub> ღერძის გარშემო φ კუთხით: OK და ON ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0x<sub>1</sub> და 0y<sub>1</sub> ღერძების მიმართულებებს. ე. ი. სამი ψ, θ და φ კუთხეებით მობრუნებისას კოორდინატთა 0xyz სისტემის ღერძები შეუთავსდებიან 0x<sub>1</sub> y<sub>1</sub> z<sub>1</sub> სისტემის ღერძებს. | + | პირველი [[მობრუნება |მობრუნება]] 0z ღერძის გარშემო ψ კუთხით: 0x და 0y ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ OK და OM [[მიმართულება (მათემატიკური)|მიმართულებებს]]; მეორე მობრუნება OK ღერძის გარშემო θ კუთხით: 0z და OM ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0z<sub>1</sub> და ON მიმართულებებს. მესამე მობრუნება 0z<sub>1</sub> ღერძის გარშემო φ კუთხით: OK და ON ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0x<sub>1</sub> და 0y<sub>1</sub> ღერძების მიმართულებებს. ე. ი. სამი ψ, θ და φ კუთხეებით მობრუნებისას კოორდინატთა 0xyz სისტემის ღერძები შეუთავსდებიან 0x<sub>1</sub> y<sub>1</sub> z<sub>1</sub> სისტემის ღერძებს. |
| − | ეილერის კუთხეების დახმარებით x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub> კოორდინატებიდან x, y, z კოორდინატებზე გადასვლა ხორციელდება ფორმულებით: | + | ეილერის კუთხეების დახმარებით x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub> კოორდინატებიდან x, y, z კოორდინატებზე გადასვლა ხორციელდება [[ფორმულა|ფორმულებით]]: |
:::x = (cosψ cosφ - sinψ cosθ sinφ)x<sub>1</sub>+ | :::x = (cosψ cosφ - sinψ cosθ sinφ)x<sub>1</sub>+ | ||
| ხაზი 19: | ხაზი 19: | ||
:::z = (sinθ sinφ) x<sub>1</sub> + (sinθ cosφ)y<sub>1</sub> + (cosθ)z<sub>1</sub>. | :::z = (sinθ sinφ) x<sub>1</sub> + (sinθ cosφ)y<sub>1</sub> + (cosθ)z<sub>1</sub>. | ||
| − | ამ ფორმულებით სარგებლობენ | + | ამ ფორმულებით სარგებლობენ [[მექანიკა]]ში, როდესაც შეისწავლიან ერთ წერტილში ჩამაგრებული მყარი სხეულის [[ბრუნვითი მოძრაობა|ბრუნვით მოძრაობას]]. |
ეს ფორმულები ლ. ეილერმა 1748 წელს გამოიყვანა. | ეს ფორმულები ლ. ეილერმა 1748 წელს გამოიყვანა. | ||
მიმდინარე ცვლილება 22:38, 11 აპრილი 2024 მდგომარეობით
ეილერის კუთხეები – სამი კუთხე – ψ,φ,ϑ, რომლებიც განსაზღვრავენ უძრავი 0 წერტილის გარშემო მბრუნავი მყარი სხეულის მდებარეობას იმ უძრავი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ, რომლის სათავე მოთავსებულია 0 წერტილში. ეს კუთხეები შემოიღო ეილერმა 1748 წელს.
თუ სხეული ჩამაგრებულია უძრავ 0 წერტილში და სხეულთან უძრავად დაკავშირებულია კოორდინატთა დეკარტის მართკუთხა 0x1 y1 z1 სისტემა, მაშინ სხეულის ყოველი მდებარეობა (ანუ კოორდინატთა 0x1 y1 z1 სისტემის ნებისმიერი მდებარეობა) იმავე ორიენტაციის კოორდინატთა უძრავ დეკარტის მართკუთხა 0xyz სისტემის მიმართ განისაზღვრება ეილერის სამი ψ,φ და θ კუთხით.
ეილერის კუთხეები განიხილება, როგორც ψ, φ და θ კუთხეები, რომლებითაც თანამიმდევრობით უნდა მობრუნდეს კოორდინატთა ერთი სისტემა მეორე სისტემის ღერძების მიმართ, რომ ეს კოორდინატთა სისტემები ერთმანეთს შეუთავსდეს.
პირველი მობრუნება 0z ღერძის გარშემო ψ კუთხით: 0x და 0y ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ OK და OM მიმართულებებს; მეორე მობრუნება OK ღერძის გარშემო θ კუთხით: 0z და OM ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0z1 და ON მიმართულებებს. მესამე მობრუნება 0z1 ღერძის გარშემო φ კუთხით: OK და ON ღერძები შესაბამისად დაიკავებენ 0x1 და 0y1 ღერძების მიმართულებებს. ე. ი. სამი ψ, θ და φ კუთხეებით მობრუნებისას კოორდინატთა 0xyz სისტემის ღერძები შეუთავსდებიან 0x1 y1 z1 სისტემის ღერძებს.
ეილერის კუთხეების დახმარებით x1, y1, z1 კოორდინატებიდან x, y, z კოორდინატებზე გადასვლა ხორციელდება ფორმულებით:
- x = (cosψ cosφ - sinψ cosθ sinφ)x1+
- +(-cosψ sinφ - sinψ cosθ cosφ)y1 + (sinψ sinθ)z1;
- y = (sinψ cosφ + cosψ cosθ sinφ)x1+
- +(- sinψ sinφ - cosψ cosθ cosφ)y1 + (-cosψ sinθ)z1;
- z = (sinθ sinφ) x1 + (sinθ cosφ)y1 + (cosθ)z1.
ამ ფორმულებით სარგებლობენ მექანიკაში, როდესაც შეისწავლიან ერთ წერტილში ჩამაგრებული მყარი სხეულის ბრუნვით მოძრაობას.
ეს ფორმულები ლ. ეილერმა 1748 წელს გამოიყვანა.
