ეილერის ინტეგრალები
NPLG Wiki Dictionaries გვერდიდან
(სხვაობა ვერსიებს შორის)
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
'''ეილერის ინტეგრალები''' – ორი სახის [[ინტეგრალი]]: | '''ეილერის ინტეგრალები''' – ორი სახის [[ინტეგრალი]]: | ||
| − | 1) | + | 1) [[ეილერი ლეონარდ|ეილერი]]ს პირველი გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ორი – p და q [[პარამეტრი (მათემატიკა)|პარამეტრის]] [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]]ს – [[ბეტა ფუნქცია]]ს: B(p,q) = [[ფაილი:Beta001.png]]x<sup>p-1</sup> (1-x)<sup>q-1</sup>dx. |
:B(p,q) ფუნქცია სიმეტრიულია: B(p,q) = B(q,p). | :B(p,q) ფუნქცია სიმეტრიულია: B(p,q) = B(q,p). | ||
| − | :გვაქვს შემდეგი ფორმულები: | + | :გვაქვს შემდეგი [[ფორმულა|ფორმულები]]: |
::ა) B(a,b) = '''[[ფაილი:Eileris int009.png]]''' '''·''' B(a,b-1); | ::ა) B(a,b) = '''[[ფაილი:Eileris int009.png]]''' '''·''' B(a,b-1); | ||
| ხაზი 16: | ხაზი 16: | ||
::დ) B[[ფაილი:Eileris int023.png]] = π. | ::დ) B[[ფაილი:Eileris int023.png]] = π. | ||
| − | ამ ინტეგრალს ეილერის სახელი ეწოდა ლეჟანდრის წინადადებით. | + | ამ ინტეგრალს ეილერის სახელი ეწოდა [[ლეჟანდრი ადრიანი|ლეჟანდრის]] წინადადებით. |
| − | 2) ეილერის მეორე გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ერთი პარამეტრის ფუნქციას – გამა | + | 2) ეილერის მეორე გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ერთი პარამეტრის ფუნქციას – [[გამა-ფუნქცია|გამა ფუნქცია]]ს: Г(z) = [[ფაილი:Laplasis gardaq011.png]] c<sup>-t</sup> t<sup>z-1</sup> dt; |
ამ ინტეგრალს ეილერი შეისწავლიდა 1729-1730 წლებში. | ამ ინტეგრალს ეილერი შეისწავლიდა 1729-1730 წლებში. | ||
| − | როცა z=a>0, მაშინ ეს ინტეგრალი იკრიბება და გვაქვს ეილერ- | + | როცა z=a>0, მაშინ ეს ინტეგრალი იკრიბება და გვაქვს ეილერ-[[გაუსი კარლ ფრიდრიხ|გაუსი]]ს ცნობილი ფორმულა: |
::'''[[ფაილი:Eileris int029.png]]''' | ::'''[[ფაილი:Eileris int029.png]]''' | ||
| − | თუ a ნატურალური | + | თუ a [[ნატურალური რიცხვი]]ა, მაშინ Г(a+1) = a!; |
გვაქვს თანაფარდობა: B(p,q) = [[ფაილი:Eileris int039.png]] | გვაქვს თანაფარდობა: B(p,q) = [[ფაილი:Eileris int039.png]] | ||
| − | ეილერის ინტეგრალებზე დაიყვანება მრავალი განსაზღვრული ინტეგრალი, რომლებიც ელემენტარული ფუნქციებით არ გამოისახება. | + | ეილერის ინტეგრალებზე დაიყვანება მრავალი განსაზღვრული ინტეგრალი, რომლებიც [[ელემენტარული ფუნქციები|ელემენტარული ფუნქციებით]] არ გამოისახება. |
00:16, 11 აპრილი 2024-ის ვერსია
ეილერის ინტეგრალები – ორი სახის ინტეგრალი:
1) ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ორი – p და q პარამეტრის ფუნქციას – ბეტა ფუნქციას: B(p,q) = 
xp-1 (1-x)q-1dx.
- B(p,q) ფუნქცია სიმეტრიულია: B(p,q) = B(q,p).
- გვაქვს შემდეგი ფორმულები:
- ა) B(a,b) =
· B(a,b-1);
- ა) B(a,b) =
- ბ) B(m,n) =
სადაც m,n ϵ N;
- ბ) B(m,n) =
- გ) B(p,q) =
dy;
- გ) B(p,q) =
- დ) B
= π.
- დ) B
ამ ინტეგრალს ეილერის სახელი ეწოდა ლეჟანდრის წინადადებით.
2) ეილერის მეორე გვარის ინტეგრალი წარმოადგენს ერთი პარამეტრის ფუნქციას – გამა ფუნქციას: Г(z) = 
c-t tz-1 dt;
ამ ინტეგრალს ეილერი შეისწავლიდა 1729-1730 წლებში.
როცა z=a>0, მაშინ ეს ინტეგრალი იკრიბება და გვაქვს ეილერ-გაუსის ცნობილი ფორმულა:
თუ a ნატურალური რიცხვია, მაშინ Г(a+1) = a!;
გვაქვს თანაფარდობა: B(p,q) = 
ეილერის ინტეგრალებზე დაიყვანება მრავალი განსაზღვრული ინტეგრალი, რომლებიც ელემენტარული ფუნქციებით არ გამოისახება.
