ზედაპირის კვადრატული ფორმები

ზედაპირის კვადრატული ფორმები ახასიათებენ ზედაპირების ძირითად შიგა თვისებებს მოცემული წერტილის მიდამოში.

ზედაპირის პირველი კვადრატული ფორმა ახასიათებს ზედაპირის შიგა გეომეტრიას მოცემული წერტილის მიდამოში. ეს ნიშნავს, რომ მისი დახმარებით შეიძლება ვაწარმოოთ გაზომვები ზედაპირზე.

ვთქვათ ზედაპირის განტოლება მოცემულია პარამეტრული ფორმით:

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),

ან ვექტორული ფორმით:

= (uv) ანუ = x(u,v) + y(u,v) + z(u,v);

u და v – საკოორდინატო წირებია ზედაპირზე;

− M წერტილის რადიუს – ვექტორი;

d = _u du + _v dv

– რადიუს-ვექტორის დიფერენციალი.

თუ M(u,v) – ზედაპირის მოცემული და M'(u+du,v+dv) – მისი მახლობელი წერტილია, მაშინ ზედაპირზე MM'=ds რკალის სიგრძე მიახლოებით გამოისახება რკალის დიფერენციალით ანუ ზედაპირის წრფივი ელემენტით შემდეგი ფორმულით:

ds ² = d² = E du² + 2F du dv + G dv², (*)

სადაც

(*) გამოსახულებას ეწოდება ზედაპირის პირველი კვადრატული ფორმა;

E,F,G კოეფიციენტტები დამოკიდებულნი არიან ზედაპირის წერტილზე.

ზედაპირის მეორე კვადრატული ფორმა ახასიათებს ზედაპირის ლოკალურ სტრუქტურას ჩვეულებრივი წერტილის მიდამოში.

ვთქვათ არის ზედაპირის ნორმალის ერთეულოვანი ვექტორი M წერტილში, სადაც ε=+1, თუ. { _u, _v, } ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას, და ε=-1 – საწინააღმდეგო შემთხვევაში. ზედაპირის M წერტილში გავლებული მხები სიბრტყიდან მისი M' წერტილის გადახრის გაორკეცებული მთავარი წრფივი 2δ ნაწილი უდრის:

2δ = (-d, d) = L(u,v)du² + 2M(u,v)du dv + N(u,v)dv², (**)

სადაც L = (_uu, ), M = (_uv, ), N = (_vv, ).

(**) გამოსახულებას ეწოდება ზედაპირის მეორე კვადრატული ფორმა.

ზედაპირის პირველ და მეორე კვადრატულ ფორმებს გააჩნიათ ორი მნიშვნელოვანი ერთობლივი სკალარული ინვარიანტი ზედაპირზე კოორდინატთა გარდაქმნის მიმართ. სახელდობრ, ამ ფორმების დისკრიმინანტების შეფარდება ტოლია ზედაპირის გაუსის სიმრუდისა წერტილში, ხოლო გამოსახულება განსაზღვრავს ზედაპირის საშუალო სიმრუდეს წერტილში.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი