ზღვარი (მათემატიკა)

ზღვარი – მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. შედარებით მარტივია ფუნქციის ზღვარის ცნება (კერძოდ, მიმდევრობის ზღვარის ცნება) და ინტეგრალური ჯამის ზღვარის ცნება.

მიმდევრობის ზღვარის ცნება: a რიცხვს ეწოდება ნამდვილ რიცხვთა a₁, a₂,...,a_n, ... მიმდევრების ზღვარი, თუ ნებისმიერი მცირე დადებითი ε რიცხვისათვის არსებობს ისეთი რიცხვი N, რომ, როცა n>N, სრულდება უტოლობა | a_n - a | < ε; იგი ასე ჩაიწერება: lima_n = a, როცა n → ∞, ან a_n = a.

რიცხვით მიმდევრობას, რომელსაც გააჩნია ზღვარი, ეწოდება კრებადი. მიმდევრობას, რომელსაც არ გააჩნია ზღვარი, ეწოდება განშლადი.

კრებადი რიცხვითი მიმდევრობის მაგალითებია:

მიმდევრობის ზოგადი წევრი	ზღვარი	მიმდევრობის ზოგადი წევრი	ზღვარი
x_n = a>0	1		e
	1
	0		e
	0		0
	0		0

ზღვარი მუდმივი სიდიდეა, მას უსასრულოდ უახლოვდება რაიმე ცვლადი სიდიდე, რომელიც, თავის მხრივ, დამოკიდებულია სხვა ცვლადზე, ამ უკანასკნელის გარკვეულად ცვლილებისას. ზღვრის განმარტებისას ძირითადია განსახილველი ობიექტების სიახლოვის ცნება; მხოლოდ მისი შემოღების შემდეგ ღებულობს ზღვარი ზუსტ აზრს.

ფუნქციის ზღვარის ცნება: ვთქვათ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულია a წერტილის რაიმე მიდამოში, გარდა შესაძლოა a წერტილისა. ამბობენ, რომ f(x) ფუნქციის ზღვარი a წერტილზე არის A რიცხვი, თუ ყოველი ნებისმიერად მცირე დადებით ε რიცხვს ისეთი მცირე დადებითი η რიცხვი ეთანადება, რომ, როდესაც

0<|x – a| < η, ადგილი აქვს უტოლობას: | f(x) - A | < ε.

ის გარემოება, რომ f(x) ფუნქციის ზღვარი a წერტილზე არის A რიცხვი, ასე ჩაიწერება f(x) = A.

ძირითადი მოქმედებები ზღვრებზე:

[f(x) + φ(x)] =

⁡ f(x) +

φ(x),

[kf(x)] = k

⁡ f(x),

[f(x) ∙ φ(x)] =

⁡ f(x) ∙

φ(x),

⁡

თუ არსებობენ ამ ტოლობების მარცხენა მხარის ზღვრები, მაშინ არსებობენ ტოლობის მარჯვენა მხარის ზღვრებიც. a შეიძლება იყოს, როგორც სასრული სიდიდე, ისე უსასრულო. ზღვარის გამოთვლის ზემოთ მითითებული წესები გამოიყენება მიმდევრობის ზღვარისათვისაც, აგრეთვე რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ზღვარისათვის.

ზღვართან დაკავშირებულია მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებები: უწყვეტობა, წარმოებული, დიფერენციალი, ინტეგრალი. უმარტივესს წარმოადგენს რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის ცნება, რომლის დახმარებით შეიძლება განისაზღვროს ფუნქციის ზღვრის ცნება, სივრცის წერტილთა მიმდევრობის ზღვარი, ინტეგრალური ჯამების ზღვარი.

ჯერ კიდევ ძველი საბერძნეთის მეცნიერები ითვლიდნენ სხვადასხვა ფიგურის ფართობებს, სადაც იყენებდნენ ზღვრული გადასვლის ოპერაციებს, თუმცა „ზღვრის“ ცნება მათ არ ჰქონდათ. ზღვრული გადასვლის გარკვეულ მსგავსებას მათემატიკაში წარმოადგენს ამოწურვის მეთოდი, რომლის გამოგონებას ევდოქსს მიაწერენ (ეს სახელწოდება პირველად სენ-ვინსენტმა შემოიღო 1647 წ-ს). ევკლიდესა და არქიმედეს შრომებში ამ მეთოდმა განსაცვიფრებელი შედეგი მოგვცა. შემდგომში ზღვრის იდეები ჩნდება კეპლერის (1615), კავალიერის (1635), ჯ. გრეგორის, ვალისის (1655) და სხვათა შრომებში.

სიტყვა „ზღვარი“ ლათინური წარმოშობისაა limes (limite) – „მიჯნა“, „სამანი“, „საზღვარი“. პირველად იგი ნიუტონმა გამოიყენა (1686), ხოლო დღეს მიღებული სიმბოლო პირველად შემოიღო სიმონ ლიუილიმ (1786). საერთო ხმარებაში იგი შემოიტანა ჰამილტონმა. თუმცა ჯერ კიდევ 1810-1818 წლებში ლაკრუა დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვის მრავალტომიან ტრაქტატში სიტყვიერად აღწერდა ზღვარზე გადასვლას.

ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის არგუმენტი, პირველად მიუთითეს XIX საუკუნეში; როგორც ჩანს, აქ პირველები იყვნენ მამა და შვილი ბოლიაი. მათ ასეთი აღნიშვნა ჰქონდათ: მათ შემდეგ მოდის ვაიერშტრასი, რომელსაც ეკუთვნის თანამედროვე აღნიშვნა, ასეთი ფორმით: f(x) (1841-1845). ნიშანი → ზღვრისკენ მისწრაფების აღსანიშნავად პირველად გამოიყენა ინგლისელმა ლიისემმა 1905 წელს.

ზღვარი ε-სა და δ-ს საშუალებით განსაზღვრა ბოლცანომ (1817), ხოლო შემდგომ კოშიმ (1820). გამოთქმები „დამტკიცების ε-მეთოდი“, „ε-განსაზღვრა“ ჩვეულებრივი გახდა ვაიერშტრასის „ლექციების“ შემდეგ (1880). მარცხენა და მარჯვენა ზღვრებისათვის აღნიშვნები f(x₀-o) და f(x₀ + 0) (ან limx=a+o) შემოიღო დირიხლემ (1837). პაშმა შემოიღო აღნიშვნები limsupf(x) და liminff(x) (1881 და 1887). პრინგსხეიმს (1898) და დიუბუა რაიმონს (1884) ეკუთვნის აღნიშვნები და