კვადრატული ფორმა
კვადრატული ფორმა – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი:
- F(x1, x2,...,xn=
aijxi xj.
- F(x1, x2,...,xn=
კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖ aij ‖ .
x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
- y12 + y22 +...+ yk2, k ≤ n, yi =
bij xj.
- y12 + y22 +...+ yk2, k ≤ n, yi =
თუ aij ϵ R, ხოლო x ცვლადების წრფივი გარდაქმნა განიხილება ნამდვილ რიცხვთა ველში, მაშინ კვადრატული ფორმა F დაიყვანება შემდეგ სახეზე:
- y12 + y22 +...+ ys2 - y2s+1 - y2s+2-...- y2k, k ≤ n,
- yi = bij xj, , i = 1,2,…,n.
- yi =
ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი).
x1,x2,...,xn ცვლადების ორთოგონალური გარდაქმნით F შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
- λ1 y12 + λ2 y22 + ... + λn yn2,
სადაც. λ1, λ2,…, λn – ნამდვილი რიცხვებია, კვადრატული ფორმის ინვარიანტები.
ზემოაღნიშნული თეორემები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში.
კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly2+Myz+Nz2 ფორმულის დაყვანა უფრო მარტივ გამოსახულებაზე“ ნიშნავს: „კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ სახეზე“. 1801 წელს გამოქვეყნდა გაუსის ნაშრომი „Disquisitiones Arithmeticae“, რომელმაც დაჩრდილა და საკმაოდ უკან ჩამოიტოვა ლეჟანდრის ნაშრომი. აქ შემოტანილ იქნა ტერმინი „კვადრატული ფორმა“, მოხდა განცალკევება ბინარულ, ტერნარულ და ა.შ. კვადრატულ ფორმებად ცვლადთა რიცხვის მიხედვით, შემოღებულია: საკუთრივი და არასაკუთრივი ეკვივალენტურობის, ფორმის სახის, მარტივი ფორმის, დადებითად და უარყოფითად განსაზღვრული ფორმის, საპირისპირო ფორმის ცნებები. „დაყვანილი ფორმა“ – ლაგრანჟის ტერმინია. შემდგომში კვადრატული ფორმის თეორიას ამუშავებდნენ მინკოვსკი, სმიტი, კორკინი, ზოლოტარიოვი, ვორონი და სხვ. ცვლადთა უსასრულო რაოდენობის შემცველი კვადრატული ფორმების თეორია განავითარა და მისი გამოყენება ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიაში მოგვცა ჰილბერტმა თავის მემუარების სერიაში (1904-1910).
