მწკრივის კრებადობა

მწკრივის კრებადობა – მწკრივთა თეორიაში დიდ როლს თამაშობენ მწკრივები არაუარყოფითი წევრებით. ასეთი მწკრივების კრებადობისათვის აუცილებელია და საკმარისი, რომ მისი კერძო ჯამების მიმდევრობა ზემოდან იყოს შემოსაზღვრული.

რიცხვით მწკრივს α_n (* ) ეწოდება კრებადი, თუ კრებადია კერძო ჯამთა {S_n} მიმდევრობა. ზღვარს S_n = S ეწოდება (*) მწკრივის ჯამი და ასე იწერება: S =α_n.

თუ კერძო ჯამთა მიმდევრობას ზღვარი არა აქვს, მაშინ მიმდევრობას განშლადი ეწოდება.

არაუარყოფითი წევრებიანი მწკრივებისათვის არსებობს კრებადობის სხვადასხვა ნიშანი.

კრებადობის ინტეგრალური ნიშანი: თუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x ≥1 -თვის, არაუარყოფითია და კლებადია, მაშინ მწკრივი f(n) კრებადია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა კრებადია ინტეგრალი

f(x)dx.

კრებადობის დალამბერის ნიშანი: თუ არსებობს ზღვარი

α_n > 0, მაშინ, როცა m<1 (*) მწკრივი კრებადია, ხოლო როცა m >1 – განშლადი.

კრებადობის კოშის ნიშანი: თუ არსებობს ზღვარი

, α_n >0, მაშინ, როცა m<1 (*) მწკრივი კრებადია, ხოლო როცა m >1 – განშლადი.

როგორც დალამბერის, ასევე კოშის კრებადობის ნიშანის შემთხვევაში, თუ m =1, არსებობენ როგორც კრებადი, ასევე განშლადი მწკრივები.

აბსოლუტური კრებადობის ნიშანი: (* ) მწკრივს ეწოდება აბსოლუტურად კრებადი, თუ კრებადია მწკრივი |α_n|.

თუ მწკრივი აბსოლუტურად კრებადია, მაშინ ის უბრალოდ კრებადია. კრებადობის ლაიბნიცის ნიშანი: თუ

α_n = 0, α_n ≥ α_n+1 > 0,

მაშინ, ნიშანცვლადი მწკრივი (-1)ⁿ⁺¹α_n კრებადია.

დიდი ხნის განმავლობაში მწკრივები საკმაოდ ფართოდ გამოიყენებოდა, მაგრამ მწკრივის კრებადობის საკითხი არც დასმულა. მაგალითად, ტეილორს არც ერთხელ არ დაუსვია ასეთი კითხვა. გამოიყენებოდა განშლადი მწკრივებიც, მიუხედავად იმისა, რომ ამის წინააღმდეგი იყვნენ ვარინიონი, მაკლორენი და დალამბერი.

ტერმინმა „კრებადობა“ თანამედროვე მნიშვნელობა მიიღო კოშისა და ბოლცანოს კვლევების შემდეგ. მანამდე მწკრივს ეწოდებოდა კრებადი, თუ a_n → 0 – ასეთი ტერმინი შემოიღო შოტლანდიელმა მათემატიკოსმა ჯ. გრეგორიმ (1668). ის ფაქტი, რომ a_n → 0 არის აუცილებელი პირობა, რათა მწკრივის ჯამი იყოს შემოსაზღვრული, დაამტკიცა მენგოლიმ (1650). მანვე დაამტკიცა ჰარმონიული მწკრივის განშლადობა. გაუსმა კვლავ გაამახვილა ყურადღება ორ ცნებას შორის განსხვავებაზე „a_n → 0 “ და „მწკრივი კრებადია“ (თანამედროვე გამოსახულებებში) და მოგვცა კრებადობის პირველი კრიტერიუმები (1812).

კოშიმ აბსოლუტური კრებადობის თავისი ნიშანი (|u_n |^1/n <1) დაამტკიცა 1821 წ-ს. დალამბერის ნიშანი დამტკიცებულია 1768 წ-ს. ლაიბნიცის ნიშანი მისთვის ცნობილი იყო 1682 წ-ს. ინტეგრალური ნიშანი აღმოაჩინა მაკლორენმა, ხოლო შემდეგ კვლავ აღმოაჩინა კოშიმ, რომლის წყალობითაც გახდა ფართოდ ცნობილი. 1832 - 1852 წლებში გამოქვეყნდა: რააბეს (1832), დიუამელის (1839), დე მორგანის (1839), ბერტრანის (1842), ბონეს (1843), პუანკარეს (1851) და სხვათა კრებადობის კრიტერიუმები.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი