საშუალო მნიშვნელობები
საშუალო მნიშვნელობები – ორი დადებითი a და b რიცხვისაგან შედგენილი კლასიკური საშუალო მნიშვნელობები შემდეგია:
ა) საშუალო არითმეტიკული – რიცხვი m = (a + b) /2;
ბ) საშუალო გეომეტრიული (საშუალო პროპორციული) რიცხვი g = √ab;
გ) საშუალო ჰარმონიული – რიცხვი h = 2ab / (a + b).
ეს საშუალო მნიშვნელობები ცნობილი იყო ჯერ კიდევ ანტიკური ხანის მათემატიკოსებისათვის. ისინი დიდ როლს ასრულებდნენ, კერძოდ, ძველ ბერძნულ მუსიკის თეორიაში. ერთ-ერთ მათემატიკურ ტექსტში, რომელიც მიეწერება ძველი საბერძნეთის მათემატიკოს არხიტს (IV ს. ჩვ. წ.აღ-მდე), საშუალო არითმეტიკული (m), საშუალო გეომეტრიული (g) და საშუალო ჰარმონიული (h) განისაზღვრებოდა, როგორც, შესაბამისად, არითმეტიკული, გეომეტრიული და ჰარმონიული პროპორციების შუა წევრები:
საშუალო არითმეტიკული m = (a + b) /2
საშუალო გეომეტრიული g = √ab;
საშუალო ჰარმონიული h = 2ab / (a + b)
a – m = m - b; a : g = g : b; (a-h) : a = (h - b) : b.
ამ ტოლობებიდან ადვილად მიიღება, რომ
M = (a+b)/2; g = g = √ab; h = 2/(1/a+1/b) = 2ab/ (a+b).
მტკიცდება, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b რიცხვებისათვის მართებულია უტოლობა: 2ab / (a + b) ≤ g = √ab ≤ (a + b) /2.
ტოლობას მხოლოდ მაშინ აქვს ადგილი, როცა a = b.
ასეთივე დამოკიდებულება არსებობს n დადებითი a1, a2,…,an რიცხვებისთვისაც: h ≤ g ≤ m ≤ d (აქ d – საშუალო კვადრატულია).
გადმოცემის თანახმად, საშუალო ჰარმონიული შემოიღო პითაგორამ, რომლის საშუალებით მან გამოსახა ძირითადი ჰარმონიული ინტერვალები. პითაგორამ დაადგინა, რომ 12ℓ სიგრძის სიმთან ერთად თანახმიანად შეერწყმის იმავე დაჭიმულობის 6ℓ (ერთი ოქტავით მაღალი), 8ℓ და 9ℓ (კვინტუთი და კვანტუთი მაღალი) სიგრძის სიმები, ამასთანავე, 9 არის 6 და 12 -ის საშუალო არითმეტიკული, ხოლო 8 – ამავე რიცხვების საშუალო ჰარმონიული.
ძველი ბერძენი მათემატიკოსებისათვის ცნობილი იყო ორი a და b მონაკვეთის საშუალოს აგების რამდენიმე ხერხი. პაპი (III ს) „მათემატიკის ალექსანდრიელის კრებულში“ მოყვანილია მისი წინამორბედების: ერატოსფენის (III ს. ჩვ. წ. აღ-მდე), ნიკომედის (II ს. ჩვ. წ. აღ-მდე) და ჰერონის (Iს) ხერხით აგებული ორი მონაკვეთის საშუალო გეომეტრიული; აგრეთვე აღწერილია ერთ ფიგურაზე სამივე საშუალოს აგება.
მაგალითად: AB მონაკვეთზე აღებულია C წერტილი, რომელიც მას ყოფს ორ მოსაზღვრე AC=a და CB=b მონაკვეთებად. AB მონაკვეთზე, როგორც დიამეტრზე, შემოხაზულია ნახევარწრეწირი ცენტრით 0 წერტილში (ნახ.). C წერტილიდან აღმართულია AB-ს პერპენდიკულარული CN მონაკვეთი (N – ნახევარწრეწირთან გადაკვეთის წერტილია). ნახევარწრეწირის რადიუსია |0N|=(a+b)/2 (საშუალო არითმეტიკული). მართკუთხა ANB სამკუთხედში NC არის AC და CB მონაკვეთების საშუალო გეომეტრიული: NC = g = √ab თუ NM არის NC-ს გეგმილი 0N -ზე, მაშინ მივიღებთ, რომ NM არის საშუალო ჰარმონიული: |NM| = 2ab/(a+b). რადგანაც პერპენდიკულარი დახრილზე ნაკლებია, ამიტომ NM<NC<0N. თუ AC და CB მონაკვეთების სიგრძეები ტოლია, მაშინ 0 და C წერტილები ემთხვევიან და შესაბამისად ემთხვევიან განსახილველი NM, NC და ON მონაკვეთებიც, ე.ი. ნებისმიერი დადებითი a და b სიდიდისათვის მართებულია უტოლობა:
- 2 ab/(a+b) ≤ g = √ab ≤ (a+b)/2.
