წრფის განტოლება

13:39, 12 ივლისი 2023-ის ვერსია

წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით დეკარტის კოორდინატებში ს ი ბ რ ტ ყ ე ზ ე.

1) ზოგადი სახის. Ax+By+C=0. (1)

A და B ერთდროულად არ უდრიან ნულს.

2) საკუთხო კოეფიციენტით. წრფე ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) წერტილში.

y = kx + b, k = tgφ. (2)

k -ს ეწოდება საკუთხო კოეფიციენტი.

3) ღერძთა მონაკვეთებში. წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b) წერტილში:

(a≠0, b≠0). (3)

4) ნორმალური სახის განტოლება. x cos θ + y sinθ - p = 0, (4)

სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.

ნორმალური სახის (4) განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას გავამრავლებთ მაინტეგრებელ μ მამრავლზე

μ -ს და C-ს ნიშნები ურთიერთსაწინააღმდეგო აქვთ.

თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს დამოკიდებულებები:

(2)-ში: k = - A/B, φ = θ - π/2, როცა k>0; φ = θ + π/2, როცა k<0.

(3)-ში: a = -C/A, b = -C/B;

(4)-ში:

5) წრფეთა კონის განტოლება ცენტრით M(x₀, y₀) წერტილში:

y - y₀ = k (x - x₀). (5)

6) მოცემულ ორ M₁ (x₁, y₁) და M₂ (x₂, y₂) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:

(6)

7) მანძილი M₀ (x₀, y₀) წერტილიდან Ax + By + C = 0 წრფემდე:

(7)

ხოლო (4) სახით მოცემულ x cos θ + y sinθ − p = 0 წრფემდე

δ = x₀ cos θ + y₀ sinθ − p.

8) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:

ა) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (1) ფორმით, მაშინ

(8)

ბ) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (2) ფორმით, მაშინ

9) ორი წრფე იკვეთება ერთ წერტილში, როცა

ან k₁≠k₂; (9)

10) ორი წრფის პარალელობის პირობა:

ან k₁=k₂; (10)

11) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0, ან k₁k₂ = - 1. (11)

ს ი ვ რ ც ე შ ი

12) ზოგადი სახის: წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:

13) მოცემულ ორ M₁(x₁, y₁, z₁) და M₂ (x₂, y₂, z₂) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:

(13)

14) მოცემულ M₁(x₁, y₁, z₁) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (ℓ, m, n) ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:

(კანონიკური განტოლება), (14)

ან x = x₁ + ℓt, y = y₁ + mt, z = z₁ + nt (პარამეტრული განტოლება).

15) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:

თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ

(15)

16) ორი წრფის პარალელობის პირობა:

(16)

17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0. (17)

პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.

@@ ხაზი 2: / ხაზი 2: @@
-) '''ზოგადი სახის.''' Ax+By+C=0.                                              (1)
+'''1) ზოგადი სახის.''' Ax+By+C=0.                                              (1)
 A და B ერთდროულად არ უდრიან [[ნული|ნულს]].
-) '''საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
+'''2) საკუთხო კოეფიციენტით.''' [[წრფე]] ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]].
 :::::::::y = kx + b, k = tgφ.                              (2)
@@ ხაზი 13: / ხაზი 13: @@
-) '''ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
+'''3) ღერძთა მონაკვეთებში.''' წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b)   წერტილში:
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi021.png]]           (a≠0,   b≠0).                     (3)
-) '''ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
+'''4) ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos θ + y sinθ - p = 0,       (4)
 სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.
@@ ხაზი 34: / ხაზი 34: @@
-) '''წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
+'''5) წრფეთა კონის განტოლება''' ცენტრით M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილში:
 :::::::::y - y<sub>0</sub> = k (x - x<sub>0</sub>).                (5)
-) '''მოცემულ ორ M<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
+'''6) მოცემულ ორ M<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi049.png]]	                 (6)
-) '''მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
+'''7) მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) წერტილიდან  Ax + By + C = 0  წრფემდე:'''
 :::::::::[[ფაილი:Wrfi059.png]]                    (7)
@@ ხაზი 75: / ხაზი 75: @@
 '''ს ი ვ რ ც ე შ ი'''
 '''12) ზოგადი სახის:''' წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:
-A<sub>1</sub>x + B<sub>1</sub>y + C<sub>1</sub>z + D<sub>1</sub> = 0
+:::::::::[[ფაილი:Wrfiv081.png]]
-A<sub>2</sub>x + B<sub>2</sub>y + C<sub>2</sub>z + D<sub>2</sub> = 0.                        (12)
-) მოცემულ ორ M_1 (x_1,y_1,z_1) და M_2 (x_2,y_2,z_2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:
-(x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(z-z_1)/(z_2-z_1 ).                    (13)
-) მოცემულ M_1 (x_1,y_1,z_1) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (R ) ⃗(l,m,n)  ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:
+) '''მოცემულ ორ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) და M<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>2</sub>) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:'''
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi087.png]]                    (13)
-(x-x_1)/l=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n           (კანონიკური განტოლება),       (14)
-ან    x=x_1+lt,    y=y_1+mt,       z=z_1+nt (პარამეტრული განტოლება).
+'''14) მოცემულ M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი 	[[ფაილი:Wrfi089.png]] (ℓ, m, n)  ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:'''
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi093.png]]           (კანონიკური განტოლება),       (14)
+ან  x = x<sub>1</sub> + ℓt,    y = y<sub>1</sub> + mt,       z = z<sub>1</sub> + nt (პარამეტრული განტოლება).
+'''15) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:'''
-) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:
 თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ
-cosa=(1_1 1_2+m_1 m_2+n_1 n_2)/√((l■(2@1)+m■(2@1)+n■(2@1))(l■(2@2)+m■(2@2)+n■(2@2))).               (15)
-) ორი წრფის პარალელობის პირობა:
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi097.png]]               (15)
-l_1/l_2 =m_1/m_2 =n_1/n_2 ;                                  (16)
+'''16) ორი წრფის პარალელობის პირობა:'''
+:::::::::[[ფაილი:Wrfi099.png]]                                 (16)
-) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:
+'''17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:'''
-l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0.                      (17)
+:::::::::l<sub>1</sub>l<sub>2</sub> + m<sub>1</sub>m<sub>2</sub> + n<sub>1</sub>n<sub>2</sub> = 0.                      (17)
 პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.

წრფის განტოლება

13:39, 12 ივლისი 2023-ის ვერსია

პირადი ხელსაწყოები

სახელთა სივრცე

ვარიანტები

გადახედვა

მოქმედებები

ძიება

ნავიგაცია

ხელსაწყოები