კვადრატული ფორმა
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
'''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი: | '''კვადრატული ფორმა''' – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი: | ||
| + | F(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>=[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]]a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub> x<sub>j</sub>. | ||
| − | კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A= | + | კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖ a<sub>ij</sub> ‖ . |
x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე: | x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე: | ||
| − | + | y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>k</sub><sup>2</sup>, k ≤ n, y<sub>i</sub> =[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]] b<sub>ij</sub> x<sub>j</sub>. | |
| − | თუ | + | თუ a<sub>ij</sub> ϵ R, ხოლო x ცვლადების წრფივი გარდაქმნა განიხილება ნამდვილ რიცხვთა ველში, მაშინ კვადრატული ფორმა F დაიყვანება შემდეგ სახეზე: |
| − | + | y<sub>1</sub><sup>2</sup> + y<sub>2</sub><sup>2</sup> +...+ y<sub>s</sub><sup>2</sup>-y<sup>2</sup><sub>s+1</sub>-y<sup>2</sup><sub>s+2</sub>-...- y<sup>2</sup><sub>k</sub>, k ≤ n, | |
| − | + | y<sub>i</sub> =[[ფაილი:Example.png|thumb|წარწერის ტექსტი]] b<sub>ij</sub> x<sub>j</sub>,, i = 1,2,…,n. | |
ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი). | ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი). | ||
| − | + | x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> ცვლადების ორთოგონალური გარდაქმნით F შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე: | |
| − | + | λ<sub>1</sub> y<sub>1</sub><sup>2</sup> + λ<sub>2</sub> y<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + λ<sub>n</sub> y<sub>n</sub><sup>2</sup>, | |
| − | სადაც. | + | სადაც. λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>,…, λ<sub>n</sub> – ნამდვილი რიცხვებია, კვადრატული ფორმის ინვარიანტები. |
ზემოაღნიშნული თეორემები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში. | ზემოაღნიშნული თეორემები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში. | ||
| − | კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly | + | კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly<sup>2</sup>+Myz+Nz<sup>2</sup> ფორმულის დაყვანა უფრო მარტივ გამოსახულებაზე“ ნიშნავს: „კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ სახეზე“. 1801 წელს გამოქვეყნდა გაუსის ნაშრომი „Disquisitiones Arithmeticae“, რომელმაც დაჩრდილა და საკმაოდ უკან ჩამოიტოვა ლეჟანდრის ნაშრომი. აქ შემოტანილ იქნა ტერმინი „კვადრატული ფორმა“, მოხდა განცალკევება ბინარულ, ტერნარულ და ა.შ. კვადრატულ ფორმებად ცვლადთა რიცხვის მიხედვით, შემოღებულია: საკუთრივი და არასაკუთრივი ეკვივალენტურობის, ფორმის სახის, მარტივი ფორმის, დადებითად და უარყოფითად განსაზღვრული ფორმის, საპირისპირო ფორმის ცნებები. „დაყვანილი ფორმა“ – ლაგრანჟის ტერმინია. შემდგომში კვადრატული ფორმის თეორიას ამუშავებდნენ მინკოვსკი, სმიტი, კორკინი, ზოლოტარიოვი, ვორონი და სხვ. ცვლადთა უსასრულო რაოდენობის შემცველი კვადრატული ფორმების თეორია განავითარა და მისი გამოყენება ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიაში მოგვცა ჰილბერტმა თავის მემუარების სერიაში (1904-1910). |
==წყარო== | ==წყარო== | ||
03:11, 14 სექტემბერი 2023-ის ვერსია
კვადრატული ფორმა – მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი პოლინომი:
F(x1, x2,...,xn=კვადრატული ფორმა ხასიათდება კვადრატული მატრიცით: A=‖ aij ‖ .
x ცვლადების წრფივი გარდაქმნისას კომპლექსური კოეფიციენტებით კვადრატული ფორმა შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
y12 + y22 +...+ yk2, k ≤ n, yi =თუ aij ϵ R, ხოლო x ცვლადების წრფივი გარდაქმნა განიხილება ნამდვილ რიცხვთა ველში, მაშინ კვადრატული ფორმა F დაიყვანება შემდეგ სახეზე:
y12 + y22 +...+ ys2-y2s+1-y2s+2-...- y2k, k ≤ n,
yi =ამასთანავე, F-ის ამ სახეზე დაყვანის ხერხისაგან დამოუკიდებლად დადებითი კვადრატების რაოდენობა უცვლელი რჩება (იხ. კვადრატული ფორმის ინერციის კანონი).
x1,x2,...,xn ცვლადების ორთოგონალური გარდაქმნით F შეიძლება დავიყვანოთ შემდეგ სახეზე:
λ1 y12 + λ2 y22 + ... + λn yn2,
სადაც. λ1, λ2,…, λn – ნამდვილი რიცხვებია, კვადრატული ფორმის ინვარიანტები.
ზემოაღნიშნული თეორემები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში.
კვადრატული ფორმის თეორია პირველად გადმოცემულია ლეჟანდრის სახელმძღვანელოში „Essai d'une theorie des nombres“ (1798). ლეჟანდრს არ შემოაქვს მათთვის არავითარი სპეციალური სახელწოდება, მაგალითად, „Ly2+Myz+Nz2 ფორმულის დაყვანა უფრო მარტივ გამოსახულებაზე“ ნიშნავს: „კვადრატული ფორმის დაყვანა კანონიკურ სახეზე“. 1801 წელს გამოქვეყნდა გაუსის ნაშრომი „Disquisitiones Arithmeticae“, რომელმაც დაჩრდილა და საკმაოდ უკან ჩამოიტოვა ლეჟანდრის ნაშრომი. აქ შემოტანილ იქნა ტერმინი „კვადრატული ფორმა“, მოხდა განცალკევება ბინარულ, ტერნარულ და ა.შ. კვადრატულ ფორმებად ცვლადთა რიცხვის მიხედვით, შემოღებულია: საკუთრივი და არასაკუთრივი ეკვივალენტურობის, ფორმის სახის, მარტივი ფორმის, დადებითად და უარყოფითად განსაზღვრული ფორმის, საპირისპირო ფორმის ცნებები. „დაყვანილი ფორმა“ – ლაგრანჟის ტერმინია. შემდგომში კვადრატული ფორმის თეორიას ამუშავებდნენ მინკოვსკი, სმიტი, კორკინი, ზოლოტარიოვი, ვორონი და სხვ. ცვლადთა უსასრულო რაოდენობის შემცველი კვადრატული ფორმების თეორია განავითარა და მისი გამოყენება ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიაში მოგვცა ჰილბერტმა თავის მემუარების სერიაში (1904-1910).
