ვარიაციათა აღრიცხვა
(ახალი გვერდი: '''ვარიაციათა აღრიცხვა''' – მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწა...) |
|||
| (ერთი მომხმარებლის ერთი შუალედური ვერსია არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ვარიაციათა აღრიცხვა''' – მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციონალების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების კვლევის მეთოდებს. ვარიაციათა აღრიცხვის უმარტივესი | + | '''ვარიაციათა აღრიცხვა''' – [[მათემატიკა|მათემატიკის]] დარგი, რომელიც შეისწავლის [[ფუნქციონალი|ფუნქციონალების]] უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების კვლევის მეთოდებს. ვარიაციათა აღრიცხვის უმარტივესი [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანა]]ა |
::::L(y) = [[ფაილი:Wiriti in003.png]]F(x; y; y') dx | ::::L(y) = [[ფაილი:Wiriti in003.png]]F(x; y; y') dx | ||
| − | სახის ფუნქციონალის ექსტრემუმის მოძებნა იმ y = y(x) წირებს შორის, რომლებსაც გააჩნიათ უწყვეტი წარმოებული და აკმაყოფილებენ პირობებს y(a) = y<sub>0</sub>, y(b) = y<sub>1</sub> (y<sub>0</sub> და y<sub>1</sub> – მოცემული მუდმივი რიცხვებია). აღმოჩნდა, რომ საძებნი წირი აკმაყოფილებს ეილერის დიფერენციალურ განტოლებას | + | სახის ფუნქციონალის [[ექსტრემუმი|ექსტრემუმის]] მოძებნა იმ y = y(x) [[წირი|წირებს]] შორის, რომლებსაც გააჩნიათ უწყვეტი [[წარმოებული]] და აკმაყოფილებენ [[პირობა (მათემატიკა)|პირობებს]] y(a) = y<sub>0</sub>, y(b) = y<sub>1</sub> (y<sub>0</sub> და y<sub>1</sub> – მოცემული მუდმივი [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვებია]]). აღმოჩნდა, რომ საძებნი წირი აკმაყოფილებს [[ეილერის განტოლებები|ეილერის დიფერენციალურ განტოლებას]] |
| − | ::::[[ფაილი:VariaciaT071.png| | + | ::::[[ფაილი:VariaciaT071.png|100პქ]] |
| − | ამასთანავე ყველა | + | ამასთანავე ყველა [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]]ს, რომელიც აკმაყოფილებს ამ [[განტოლება]]ს, [[ექსტრემალი (მათემატიკაში)|ექსტრემალი]] ეწოდება. |
| − | ვარიაციათა აღრიცხვის განვითარებაში დიდი როლი შეასრულა ბრაქისტოქრონის ამოცანამ, რომელიც ამოხსნა ი. ბერნულიმ (1696). ვარიაციათა აღრიცხვის ამოცანების ამოხსნის ზოგადი პრინციპები შეიმუშავეს ლ. ეილერმა და ჟ. ლაგრანჟმა. ამ მეცნიერებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს კ. იაკობის, მ. ოსტროგრადსკის, უ. ჰამილტონის, კ. ვაიერშტრასის შრომებმა. | + | ვარიაციათა აღრიცხვის განვითარებაში დიდი როლი შეასრულა [[ბრაქისტოქრონი|ბრაქისტოქრონის]] [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანამ]], რომელიც [[ამოხსნა]] ი. ბერნულიმ (1696). ვარიაციათა აღრიცხვის ამოცანების ამოხსნის ზოგადი პრინციპები შეიმუშავეს [[ეილერი ლეონარდ|ლ. ეილერმა]] და [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ჟ. ლაგრანჟმა]]. ამ მეცნიერებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს კ. იაკობის, მ. ოსტროგრადსკის, [[ჰამილტონი უილიამ როუან|უ. ჰამილტონის]], [[ვაიერშტრასი კარლ|კ. ვაიერშტრასის]] შრომებმა. |
| − | XVIII საუკუნის მეორე ნახევარში და მთელი XIX საუკუნის განმავლობაში მიმდინარეობდა ინტენსიური ცდები აეგოთ მექანიკის აქსიომატიკა იმ პრინციპების საფუძველზე, რომლებიც ვარიაციათა აღრიცხვის ტერმინებით ყალიბდება. ამის შედეგად შემუშავდა ე. წ. მექანიკის ვარიაციული პრინციპები, უფრო მოგვიანებით კი – კვანტური მექანიკის, ელექტროდინამიკის და სხვა ფიზიკური მეცნიერებების აგების ვარიაციული პრინციპები. | + | XVIII საუკუნის მეორე ნახევარში და მთელი XIX საუკუნის განმავლობაში მიმდინარეობდა ინტენსიური ცდები აეგოთ [[მექანიკა|მექანიკის]] [[აქსიომატიკა |აქსიომატიკა]] იმ [[პრინციპი (მექანიკაში)|პრინციპების]] საფუძველზე, რომლებიც ვარიაციათა აღრიცხვის ტერმინებით ყალიბდება. ამის შედეგად შემუშავდა ე. წ. მექანიკის [[ვარიაციული პრინციპები]], უფრო მოგვიანებით კი – კვანტური მექანიკის, ელექტროდინამიკის და სხვა ფიზიკური მეცნიერებების აგების ვარიაციული პრინციპები. |
მიმდინარე ცვლილება 00:53, 12 ნოემბერი 2023 მდგომარეობით
ვარიაციათა აღრიცხვა – მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციონალების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების კვლევის მეთოდებს. ვარიაციათა აღრიცხვის უმარტივესი ამოცანაა
- L(y) =
F(x; y; y') dx
- L(y) =
სახის ფუნქციონალის ექსტრემუმის მოძებნა იმ y = y(x) წირებს შორის, რომლებსაც გააჩნიათ უწყვეტი წარმოებული და აკმაყოფილებენ პირობებს y(a) = y0, y(b) = y1 (y0 და y1 – მოცემული მუდმივი რიცხვებია). აღმოჩნდა, რომ საძებნი წირი აკმაყოფილებს ეილერის დიფერენციალურ განტოლებას
ამასთანავე ყველა ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, ექსტრემალი ეწოდება.
ვარიაციათა აღრიცხვის განვითარებაში დიდი როლი შეასრულა ბრაქისტოქრონის ამოცანამ, რომელიც ამოხსნა ი. ბერნულიმ (1696). ვარიაციათა აღრიცხვის ამოცანების ამოხსნის ზოგადი პრინციპები შეიმუშავეს ლ. ეილერმა და ჟ. ლაგრანჟმა. ამ მეცნიერებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს კ. იაკობის, მ. ოსტროგრადსკის, უ. ჰამილტონის, კ. ვაიერშტრასის შრომებმა.
XVIII საუკუნის მეორე ნახევარში და მთელი XIX საუკუნის განმავლობაში მიმდინარეობდა ინტენსიური ცდები აეგოთ მექანიკის აქსიომატიკა იმ პრინციპების საფუძველზე, რომლებიც ვარიაციათა აღრიცხვის ტერმინებით ყალიბდება. ამის შედეგად შემუშავდა ე. წ. მექანიკის ვარიაციული პრინციპები, უფრო მოგვიანებით კი – კვანტური მექანიკის, ელექტროდინამიკის და სხვა ფიზიკური მეცნიერებების აგების ვარიაციული პრინციპები.
