წრფის განტოლება

წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით დეკარტის კოორდინატებში ს ი ბ რ ტ ყ ე ზ ე.

1) ზოგადი სახის. Ax+By+C=0. (1)

A და B ერთდროულად არ უდრიან ნულს.

2) საკუთხო კოეფიციენტით. წრფე ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) წერტილში.

y = kx + b, k = tgφ. (2)

k -ს ეწოდება საკუთხო კოეფიციენტი.

3) ღერძთა მონაკვეთებში. წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b) წერტილში:

(a≠0, b≠0). (3)

4) ნორმალური სახის განტოლება. x cos θ + y sinθ - p = 0, (4)

სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.

ნორმალური სახის (4) განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას გავამრავლებთ მაინტეგრებელ μ მამრავლზე

μ -ს და C-ს ნიშნები ურთიერთსაწინააღმდეგო აქვთ.

თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს დამოკიდებულებები:

(2)-ში: k = - A/B, φ = θ - π/2, როცა k>0; φ = θ + π/2, როცა k<0.

(3)-ში: a = -C/A, b = -C/B;

(4)-ში:

5) წრფეთა კონის განტოლება ცენტრით M(x₀, y₀) წერტილში:

y - y₀ = k (x - x₀). (5)

6) მოცემულ ორ M₁ (x₁, y₁) და M₂ (x₂, y₂) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:

(6)

7) მანძილი M₀ (x₀, y₀) წერტილიდან Ax + By + C = 0 წრფემდე:

(7)

ხოლო (4) სახით მოცემულ x cos θ + y sinθ − p = 0 წრფემდე

δ = x₀ cos θ + y₀ sinθ − p.

8) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:

ა) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (1) ფორმით, მაშინ

(8)

ბ) თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (2) ფორმით, მაშინ

9) ორი წრფე იკვეთება ერთ წერტილში, როცა

ან k₁≠k₂; (9)

10) ორი წრფის პარალელობის პირობა:

ან k₁=k₂; (10)

11) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0, ან k₁k₂ = - 1. (11)

ს ი ვ რ ც ე შ ი

12) ზოგადი სახის: წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. (12)

13) მოცემულ ორ M_1 (x_1,y_1,z_1) და M_2 (x_2,y_2,z_2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება: (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(z-z_1)/(z_2-z_1 ). (13)

14) მოცემულ M_1 (x_1,y_1,z_1) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (R ) ⃗(l,m,n) ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:

(x-x_1)/l=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n (კანონიკური განტოლება), (14)

ან x=x_1+lt, y=y_1+mt, z=z_1+nt (პარამეტრული განტოლება).

15) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის: თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ cosa=(1_1 1_2+m_1 m_2+n_1 n_2)/√((l■(2@1)+m■(2@1)+n■(2@1))(l■(2@2)+m■(2@2)+n■(2@2))). (15)

16) ორი წრფის პარალელობის პირობა: l_1/l_2 =m_1/m_2 =n_1/n_2 ; (16)

17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა: l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0. (17)

პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.