ვარიაციათა აღრიცხვა

ვარიაციათა აღრიცხვა – მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციონალების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების კვლევის მეთოდებს. ვარიაციათა აღრიცხვის უმარტივესი ამოცანაა

L(y) = F(x; y; y') dx

სახის ფუნქციონალის ექსტრემუმის მოძებნა იმ y = y(x) წირებს შორის, რომლებსაც გააჩნიათ უწყვეტი წარმოებული და აკმაყოფილებენ პირობებს y(a) = y₀, y(b) = y₁ (y₀ და y₁ – მოცემული მუდმივი რიცხვებია). აღმოჩნდა, რომ საძებნი წირი აკმაყოფილებს ეილერის დიფერენციალურ განტოლებას

ამასთანავე ყველა ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, ექსტრემალი ეწოდება.

ვარიაციათა აღრიცხვის განვითარებაში დიდი როლი შეასრულა ბრაქისტოქრონის ამოცანამ, რომელიც ამოხსნა ი. ბერნულიმ (1696). ვარიაციათა აღრიცხვის ამოცანების ამოხსნის ზოგადი პრინციპები შეიმუშავეს ლ. ეილერმა და ჟ. ლაგრანჟმა. ამ მეცნიერებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს კ. იაკობის, მ. ოსტროგრადსკის, უ. ჰამილტონის, კ. ვაიერშტრასის შრომებმა.

XVIII საუკუნის მეორე ნახევარში და მთელი XIX საუკუნის განმავლობაში მიმდინარეობდა ინტენსიური ცდები აეგოთ მექანიკის აქსიომატიკა იმ პრინციპების საფუძველზე, რომლებიც ვარიაციათა აღრიცხვის ტერმინებით ყალიბდება. ამის შედეგად შემუშავდა ე. წ. მექანიკის ვარიაციული პრინციპები, უფრო მოგვიანებით კი – კვანტური მექანიკის, ელექტროდინამიკის და სხვა ფიზიკური მეცნიერებების აგების ვარიაციული პრინციპები.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი