ლოგარითმი

მიმდინარე ცვლილება 22:49, 19 მარტი 2024 მდგომარეობით

ლოგარითმი – მოცემული b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძით (a>0,a≠1) ეწოდება ხარისხის n მაჩვენებელს, რომელშიც უნდა ავახარისხოთ a ფუძე, რომ მივიღოთ მოცემული b რიცხვი. ასე აღინიშნება: log_ab.

ამგვარად, log_a b=n, თუ aⁿ=b. ცხადია, a^logab=b.

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ყოველ დადებით რიცხვს შეესაბამება ერთადერთი ნამდვილი ლოგარითმი დადებითი ფუძით. ყველაზე უფრო გავრცელებულია ათობითი ლოგარითმი (a=10), რომელიც ასე აღინიშნება lgb. გავრცელებულია აგრეთვე ნატურალური ლოგარითმი, რომლის ფუძეა ტრანსცენდენტური რიცხვი (ნეპერის რიცხვი) e=2,718281828... და ასე აღინიშნება: Inb.

ლოგარითმის ძირითადი თვისებებია:

ლოგარითმები გამოიგონეს შოტლანდიელმა თავადმა ნეპერმა და ასტრონომიული ხელსაწყოების ოსტატმა ბიურგიმ, რომელიც კეპლერის მეგობარი იყო. ნეპერმა ლოგარითმები გამოიგონა დაახლოებით 1594 წელს, მაგრამ თავისი აღმოჩენა მხოლოდ 20 წლის შემდეგ გამოაქვეყნა ნაშრომში „ლოგარითმების საოცარი ცხრილის აღწერა“.

ბიურგიმ ცხრილები შეადგინა 1603-1611 წლებში; გამოქვეყნდა დაახლოებით 10 წლის შემდეგ, მაგრამ შეუმჩნეველი დარჩა; აღმოაჩინეს მხოლოდ 1856 წელს.

ნეპერის მიერ შემოღებული სახელწოდება („ლოგარითმი“) წარმოშობილია ბერძნული სიტყვებიდან λογοζ და αριϑμοζ – რაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს „შეფარდების რიცხვს“. ეს იმით აიხსნება, რომ ლოგარითმები წარმოიშვა ორი მიმდევრობის წევრთა შედარებისას. მისი ლოგარითმის ფუძე ახლოსაა 1/e -თან. ინგლისელმა მათემატიკოსმა ბრიგსმა გაამარტივა ნეპერის ცხრილი და დაარწმუნა იგი გადასულიყო ათობით ფუძეზე (1624). ამ ლოგარითმებს შემდგომში უწოდებენ „ათობით“, ანუ „ჩვეულებრივ“ ლოგარითმებს.

ლოგარითმები e ფუძით შემოიღო ლონდონში მათემატიკის მასწავლებელმა სპეიდელმა, რომელმაც 1619 წელს გამოსცა „ახალი ლოგარითმების“ ცხრილი 1-დან 1000-მდე რიცხვებისა. ასეთი ლოგარითმები „ბუნებრივად“ წარმოიქმნებიან ჰიპერბოლით შემოსაზღვრული ფართობის განსაზღვრისას (y=1/x ფუნქციის ინტეგრებისას), ამიტომ მერკატორმა e ფუძის მქონე ლოგარითმებს უწოდა „ნატურალური“, ანუ „ჰიპერბოლური“ (1667-1668). ათიოდე წლით ადრე იტალიელი მათემატიკოსი მენგოლი ადასტურებდა e ფუძის მქონე ლოგარითმების მნიშვნელობას და მათ უწოდებდა Logarithmi naturali.

ტერმინებმა „ლოგარითმი“ და „ანტილოგარითმი“, რომლებიც შემოიღო ნეპერმა, ამჟამინდელი მნიშვნელობა შეიძინეს ვალისის შრომებში (1693). მახასიათებელი (ტერმინთან ერთად) პირველად ბრიგსის შრომაში გამოჩნდა (1624). ნეპერის ცხრილებში რიცხვებიც და მათი ლოგარითმებიც მთელი რიცხვებია. ლოგარითმების ცხრილებში მახასიათებლების გამოტოვება დაიწყეს მას შემდეგ, რაც ეს გააკეთა შერვინმა თავის „მათემატიკურ ცხრილებში“ (1705). მახასიათებლის თავზე მინუს ნიშნის დაწერის ჩვევა შემოიღო ოტრედმა (1652). მანტისა (mantissa – „დანამატი“) შემოიღო ვალისმა, რომელიც ასე უწოდებდა ნებისმიერი ათწილადის წილად ნიშნებს. ამ სიტყვით ეილერმა პირველად ისარგებლა მხოლოდ ლოგარითმის ათობითი ნიშნების აღსანიშნავად (1748).

სიტყვა „ფუძე“ ნასესხებია ხარისხებზე მოქმედების თეორიიდან და ლოგარითმების თეორიაში გადმოტანილია ეილერის მიერ. ზმნა „გალოგარითმება“ იხმარება XIX საუკუნიდან, იგი პირველად გამოიყენა კოპემ.

ნეპერი ლოგარითმის აღსანიშნავად არავითარ სიმბოლოს არ იყენებდა. შემდგომში მიღებულ შემოკლებულ აღნიშვნებს Log,log ან 1 (შემოღებული კეპლერის, ბრიგსის, ოტრედის მიერ შესაბამისად 1624, 1631, 1647 წლებში) ერთმანეთისაგან განუსხვავებლად იყენებოდნ მთელი საუკუნის განმავლობაში. პირველად კოშიმ წამოაყენა წინადადება ათობითი და ნატურალური ლოგარითმების აღსანიშნავად შემოეღოთ სხვადასხვა ნიშნები. თანამედროვესთან მიახლოებული აღნიშვნები შემოიღო გერმანელმა მათემატიკოსმა პრინგსხეიმმა (1893). სწორედ მან აღნიშნა რიცხვის ნატურალური ლოგარითმი ln-ით, რიცხვის ლოგარითმი b ფუძით ^blog-ით, ლოგარითმი კომპლექსური ფუძით log_k-თი.

ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის ხარისხის მაჩვენებელი განსაზღვრეს ვალისმა (1665), იოჰან ბერნულიმ (1694) და ჯონსმა. ალგებრის კურსში ლოგარითმები პირველად ეილერმა ჩართო (1770). მიუხედავად იმისა, რომ ლოგარითმები სწრაფად გავრცელდა და მისი გამოყენებაც მტკიცედ დამკვიდრდა, მათ თეორიაში ბევრი რამ იყო გაურკვეველი თვით გამოჩენილი პირებისთვისაც.

1712-1713 წლებში ლაიბნიცსა და იოჰან ბერნულს შორის წარმოიქმნა ცნობილი დავა (კამათი) უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმების შესახებ. მათ მოჰყავდათ სხვადასხვა არგუმენტი. მაგალითად , ი. ბერნული ამტკიცებდა, რომ In(-x)=lnx, რასაც ასაბუთებდა იმ მოსაზრებით, რომ dln(-x)=dlnx. ამ მოსაზრებას ლაიბნიცი უარყოფდა და მოჰყავდა მაგალითი რომელიც გვაძლევს

ამ კამათის შესახებ ეილერმა გამოაქვეყნა რამდენიმე სტატია (1749, 1762), რომლებმაც გარკვეული სიცხადე შეიტანეს უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმებში, მაგრამ, როგორც ლაკრუა წერდა (1810), „...უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმების საკითხი არ არის თავისუფალი ბუნდოვანობისაგან“.

ათობითი ანტილოგარითმების ცხრილები შეადგინეს ინგლისელმა მათემატიკოსებმა პელიმ და ვ. ვერნერმა (1630-1640 წლებში). ნატურალური ანტილოგარითმები გამოთვლილია ავსტრიელი ოფიცრისა და მათემატიკოსის ვეგას მიერ (1794).

[რედაქტირება] იხილე აგრეთვე

• ლოგარითმი ინტეგრალური
• ლოგარითმის მთავარი მნიშვნელობა
• ლოგარითმული განტოლება
• ლოგარითმული დეკრემენტი → დეკრემენტი
• ლოგარითმული სპირალი
• ლოგარითმული ფუნქცია
• ლოგარითმული ცხრილები
• ლოგარითმული წარმოებული
• ათობითი ლოგარითმი
• ნატურალური ლოგარითმი
• ჰიპერბოლური ლოგარითმი
• ბრიგსის ლოგარითმი
• გაუსის ლოგარითმი

[რედაქტირება] წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი