ჯგუფი (მათემატიკა)
ჯგუფი – თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება.
ჯგუფი ეწოდება ელემენტთა არაცარიელ G სიმრავლეს, რომლისთვისაც განსაზღვრულია ერთი ბინარული ოპერაცია *, რომელიც აკმაყოფილებს ასოციაციურობის პირობას: a*(b*c) = (a*b)*c და ისეთი, რომ a*x=b და y*a=b განტოლებები ცალსახად ამოხსნადია ნებისმიერი a და b-თვის: a,bϵG.
ჯგუფში არსებობს ერთეული; ე.ი. ისეთი e ელემენტი, რომ ყოველი a-თვის G-დან მართებულია ტოლობა: a*e=e*a=a; G-ს ყოველი a ელემენტისათვის არსებობს შებრუნებული ელემენტი a-1 ისეთი, რომ
- a*a-1 = a-1*a=e.
ჯგუფთა თეორია ზოგადი სახით შეისწავლის იმ მათემატიკურ მოქმედებათა (რიცხვთა გამრავლება, ვექტორთა შეკრება, გარდაქმნათა თანამიმდევრული განხორციელება და ა.შ.) თვისებებს, რომლებსაც იყენებენ მათემატიკასა და სხვა დარგში. ამ თვისებებს იგი სწავლობს იმ ელემენტთა ბუნებისაგან დამოუკიდებლად, რომლებზეც ხდება მოქმედება. ამავე დროს ჯგუფთა თეორია შეისწავლის მხოლოდ ისეთ მოქმედებებს, რომელთაც ახასიათებს ზემოთ მითითებული თვისებები.
ჯგუფის ცნება მათემატიკაში შემოიღო ლაგრანჟმა (1770). ტერმინი groupe პირველად გალუამ გამოიყენა თავის ცნობილ წერილში შევალიესადმი (1830). საბოლოოდ ეს ტერმინი დაფუძნდა კელის (1854) და სილვესტრის (1860) შრომების შემდეგ. კელის სტატია შეიცავს ყველაზე ადრეულ ცდას ჩამოაყალიბოს აბსტრაქტული ჯგუფის ცნება. ეს ცნება მოგვიანებით მოგვცეს კრონეკერმა (1870), ვებერმა (1882) და ფრობენიუსმა (1887). გეომეტრიულ გამოკვლევებში ჯგუფის ცნების გამოყენება დაიწყო დაახლოებით 1871 წ-ს ფ. კლაინის და ს. ლი-ს შრომებით, რომლებიც ჯგუფის ცნების მნიშვნელობას გაეცნენ პარიზში, ჟორდანთან. მათ ეს გამოხატეს ცნობილ „ერლანგენის პროგრამაში“ (1872). ჯგუფის ცნების აქსიომატიკა ძირითადად დასრულდა XX ს-ის 30-იან წლებში.
უსასრულო ჯგუფების პირველი კვლევა ჟორდანიდან იწყება (1870). რამდენიმე წლის შემდეგ მათი შესწავლა მნიშვნელოვნად გაფართოვდა და გაგრძელდა სხვადასხვა მიმართულებით, განსაკუთრებით ს. ლი-ს შრომებში, რომელმაც შექმნა მათემატიკის ეს ახალი განშტოება (1888-1893). მასვე ეკუთვნის ტერმინოლოგია „სასრული ჯგუფი“, „გარდაქმნათა უწყვეტი ჯგუფი“, „მხები გარდაქმნა“ და ა.შ.
ჯგუფთა თეორია ალგებრის ერთ-ერთი ყველაზე უფრო განვითარებული დარგია. მას ფართოდ იყენებენ როგორც მათემატიკაში, ისე სხვა დარგებში.
