ბეტა-ფუნქცია
NPLG Wiki Dictionaries გვერდიდან
(სხვაობა ვერსიებს შორის)
(ახალი გვერდი: '''ბეტა ფუნქცია''' – ორი ცვლადის ფუნქცია, რომელიც ეილერის პირვე...) |
|||
| (ერთი მომხმარებლის 2 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ბეტა ფუნქცია''' – ორი | + | '''ბეტა ფუნქცია''' – ორი [[ცვლადი]]ს [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]], რომელიც [[ეილერი ლეონარდ|ეილერის]] პირველი გვარის [[ინტეგრალი]]ს ტოლია და ასე აღინიშნება B(p, q) და როცა p >0, q >0 განისაზღვრება [[ტოლობა|ტოლობით]]. |
::{| | ::{| | ||
| ხაზი 9: | ხაზი 9: | ||
თუ p და q კომპლექსურია, მაშინ (*) ინტეგრალი იკრიბება, როცა Rep >0, Req >0. | თუ p და q კომპლექსურია, მაშინ (*) ინტეგრალი იკრიბება, როცა Rep >0, Req >0. | ||
| − | (*) – ის მონათესავე ინტეგრალს [[ფაილი:Beta001.png]]t<sup>p-1</sup> (1-t)<sup>p-1</sup> | + | (*) – ის მონათესავე ინტეგრალს [[ფაილი:Beta001.png]]t<sup>p-1</sup> (1-t)<sup>p-1</sup> dt იხილავდა [[ვალისი ჯონი|ვალისი]] (1659), [[ნიუტონი ისააკ|ნიუტონი]] (1676), სტირლინგი (1730). მაგრამ, (*) ინტეგრალისადმი მიძღვნილი პირველსაწყისი მნიშვნელოვანი შრომები ეკუთვნის ეილერს (1730). სახელწოდება „ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი“ შემოიღო [[ლეჟანდრი ადრიანი|ლეჟანდრმა]] (1811), ხოლო სახელწოდება „ბეტა-ფუნქცია“ და აღნიშვნა B(p, q) – ბინემ (1839). |
აღსანიშნავია B(p, q) ფუნქციის შემდეგი თვისებები: | აღსანიშნავია B(p, q) ფუნქციის შემდეგი თვისებები: | ||
| ხაზი 23: | ხაზი 23: | ||
::3) B(p,n) = B(n,p) = [[ფაილი:Beta007.png]], როცა ∀m, n∈ N. | ::3) B(p,n) = B(n,p) = [[ფაილი:Beta007.png]], როცა ∀m, n∈ N. | ||
| + | |||
:კერძოდ, B(p,1) = [[ფაილი:Integralu gan031.png]]; B(m,n) = [[ფაილი:Beta009.png]], როცა p >0, n∈ N | :კერძოდ, B(p,1) = [[ფაილი:Integralu gan031.png]]; B(m,n) = [[ფაილი:Beta009.png]], როცა p >0, n∈ N | ||
| ხაზი 38: | ხაზი 39: | ||
::6) B(p,1-p) = [[ფაილი:Beta015.png]] 0 < a <1. | ::6) B(p,1-p) = [[ფაილი:Beta015.png]] 0 < a <1. | ||
| + | |||
==წყარო== | ==წყარო== | ||
[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | [[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | ||
| − | |||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
[[კატეგორია:ფუნქციები]] | [[კატეგორია:ფუნქციები]] | ||
მიმდინარე ცვლილება 23:48, 15 ივლისი 2024 მდგომარეობით
ბეტა ფუნქცია – ორი ცვლადის ფუნქცია, რომელიც ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალის ტოლია და ასე აღინიშნება B(p, q) და როცა p >0, q >0 განისაზღვრება ტოლობით.
B(p,q) = 
tp-1 (1-t)q-1 dt (Rep>0, Req>0) (*)
- (ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი),
თუ p და q კომპლექსურია, მაშინ (*) ინტეგრალი იკრიბება, როცა Rep >0, Req >0.
(*) – ის მონათესავე ინტეგრალს 
tp-1 (1-t)p-1 dt იხილავდა ვალისი (1659), ნიუტონი (1676), სტირლინგი (1730). მაგრამ, (*) ინტეგრალისადმი მიძღვნილი პირველსაწყისი მნიშვნელოვანი შრომები ეკუთვნის ეილერს (1730). სახელწოდება „ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი“ შემოიღო ლეჟანდრმა (1811), ხოლო სახელწოდება „ბეტა-ფუნქცია“ და აღნიშვნა B(p, q) – ბინემ (1839).
აღსანიშნავია B(p, q) ფუნქციის შემდეგი თვისებები:
- 1) B(p,q) = B(q,p), როცა p>0, q>0.
- 2) B(p,q) =
B(p, q-1), როცა p>0, q >1;
- 2) B(p,q) =
- B(p,q) =
B(p-1,q), როცა p >1, q>0.
- B(p,q) =
- 3) B(p,n) = B(n,p) =
, როცა ∀m, n∈ N.
- 3) B(p,n) = B(n,p) =
- კერძოდ, B(p,1) =
; B(m,n) = 
, როცა p >0, n∈ N
- 4) ადგილი აქვს ტოლობასაც:
- 5) B(p, q) ფუნქცია გამა-ფუნქციის საშუალებით ასე გამოისახება:
- B(p,q) =
= B(q,p).
- B(p,q) =
- 6) B(p,1-p) =
0 < a <1.
- 6) B(p,1-p) =
