ლაპლასის განტოლება
(ახალი გვერდი: '''ლაპლასის განტოლება''' – მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი ე...) |
|||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ლაპლასის განტოლება''' – მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება: | + | '''ლაპლასის განტოლება''' – მეორე რიგის [[კერძო წარმოებული|კერძოწარმოებულებიანი]] [[ერთგვაროვნება (მათემატიკა)|ერთგვაროვანი]] [[დიფერენციალური განტოლება]]: |
::::[[ფაილი:Laplasis ga001.png]] | ::::[[ფაილი:Laplasis ga001.png]] | ||
| − | სადაც x,y,z – დამოუკიდებელი ცვლადებია, ხოლო u(x,y,z) – საძებნი ფუნქცია. თუ გამოვიყენებთ ლაპლასის ოპერატორს, მაშინ ლაპლასის განტოლება მოკლედ ასე ჩაიწერება: | + | სადაც x,y,z – [[არგუმენტი (მათემატიკა)|დამოუკიდებელი ცვლადებია]], ხოლო u(x,y,z) – საძებნი [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]]. თუ გამოვიყენებთ [[ლაპლასის ოპერატორი|ლაპლასის ოპერატორს]], მაშინ ლაპლასის [[განტოლება |განტოლება]] მოკლედ ასე ჩაიწერება: |
::::∆u = 0; აქ [[ფაილი:Laplasis ga009.png]] | ::::∆u = 0; აქ [[ფაილი:Laplasis ga009.png]] | ||
| − | თუ საძებნი u ფუნქცია დამოკიდებულია n ცვლადზე x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>, მაშინ ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება: | + | თუ საძებნი u ფუნქცია დამოკიდებულია n [[ცვლადი|ცვლადზე]] x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>, მაშინ ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება: |
::::[[ფაილი:Laplasis ga017.png]] ანუ ∆u=0. | ::::[[ფაილი:Laplasis ga017.png]] ანუ ∆u=0. | ||
| ხაზი 17: | ხაზი 17: | ||
::::[[ფაილი:Laplasis ga023.png]] | ::::[[ფაილი:Laplasis ga023.png]] | ||
| − | პოლარულ | + | [[პოლარული კოორდინატები|პოლარულ კოორდინატებშ]]ი: |
::::[[ფაილი:Laplasis ga025.png]] | ::::[[ფაილი:Laplasis ga025.png]] | ||
| − | განტოლებას სახელი ეწოდა ფრანგი მათემატიკოსის პიერ | + | განტოლებას სახელი ეწოდა ფრანგი მათემატიკოსის [[ლაპლასი პიერ სიმონ|პიერ ლაპლასი]]ს პატივსაცემად, რომელმაც პირველად განიხილა იგი [[გრავიტაციული პოტენციალი|გრავიტაციის პოტენციალი]]ს და [[ცის მექანიკა|ცის მექანიკის]] [[თეორია|თეორიისადმი]] მიძღვნილ შრომაში (1782). |
| − | ლაპლასის განტოლება წარმოადგენს ელიფსური ტიპის მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების ძირითად სახეს, რომელზეც იქმნებოდა და იქმნება ელიფსური განტოლებებისათვის სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. ფუნქციებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლაპლასის განტოლებას, ჰარმონიულ ფუნქციებს უწოდებენ. ლაპლასის განტოლებამდე დაიყვანება ფიზიკისა და ტექნიკის მრავალი ამოცანა. ლაპლასის განტოლება გვხვდება ეილერისა და დალამბერის შრომებშიც, როდესაც ისინი იხილავენ ჰიდრომექანიკის ამოცანებს და კომპლექსური ცვლადის ფუნქციებს. | + | ლაპლასის განტოლება წარმოადგენს [[ელიფსი|ელიფსური]] ტიპის მეორე რიგის [[კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება|კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების]] ძირითად სახეს, რომელზეც იქმნებოდა და იქმნება ელიფსური განტოლებებისათვის [[სასაზღვრო ამოცანა|სასაზღვრო ამოცანების]] [[ამოხსნა|ამოხსნის]] ძირითადი [[მეთოდი (მათემატიკური)|მეთოდები]]. ფუნქციებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლაპლასის განტოლებას, [[ჰარმონიული ფუნქცია (მათემატიკა)|ჰარმონიულ ფუნქციებს]] უწოდებენ. ლაპლასის განტოლებამდე დაიყვანება ფიზიკისა და [[ტექნიკა|ტექნიკის]] მრავალი [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანა]]. ლაპლასის განტოლება გვხვდება [[ეილერი ლეონარდ|ეილერისა]] და დალამბერის შრომებშიც, როდესაც ისინი იხილავენ [[ჰიდრომექანიკა|ჰიდრომექანიკის]] ამოცანებს და [[კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია|კომპლექსური ცვლადის ფუნქციებს]]. |
| − | ეს განტოლება პირველად ეილერმა განიხილა. ლაპლასმა განტოლება ჯერ პოლარულ კოორდინატებში მიიღო (1782), ხოლო მოგვიანებით – დეკარტის კოორდინატებში (1785). განტოლების გარდაქმნა ნებისმიერ მრუდწირულ კოორდინატებში მოგვცა ლამემ (1834). მიღებული აღნიშვნა ∆<sup>2</sup>u = 0, რომელიც შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა მერფიმ XIX ს-ის პირველ ნახევარში, თანდათანობით გამოირჩეოდა მანამდე არსებული უამრავი აღნიშვნიდან. მაგალითად, ფურიე განტოლებას ასე წერდა Du = 0, პუასონი – δu = 0 სახით, ლამე – ∆<sub>2</sub>u = 0 სახით, ბეტი – ∆<sup>2</sup>u = 0 სახით, გიბსი და თეტი – ∇<sup>2</sup>u = 0 სახით და ა.შ. | + | ეს განტოლება პირველად ეილერმა განიხილა. ლაპლასმა განტოლება ჯერ პოლარულ კოორდინატებში მიიღო (1782), ხოლო მოგვიანებით – [[დეკარტის კოორდინატები|დეკარტის კოორდინატებში]] (1785). განტოლების [[გარდაქმნა (მათემატიკაში)|გარდაქმნა]] ნებისმიერ [[მრუდწირული კოორდინატები|მრუდწირულ კოორდინატებში]] მოგვცა ლამემ (1834). მიღებული აღნიშვნა ∆<sup>2</sup>u = 0, რომელიც შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა მერფიმ XIX ს-ის პირველ ნახევარში, თანდათანობით გამოირჩეოდა მანამდე არსებული უამრავი აღნიშვნიდან. მაგალითად, [[ფურიე ჟან ჟოზეფ|ფურიე]] განტოლებას ასე წერდა Du = 0, პუასონი – δu = 0 სახით, ლამე – ∆<sub>2</sub>u = 0 სახით, ბეტი – ∆<sup>2</sup>u = 0 სახით, გიბსი და თეტი – ∇<sup>2</sup>u = 0 სახით და ა.შ. |
მიმდინარე ცვლილება 18:52, 16 მარტი 2024 მდგომარეობით
ლაპლასის განტოლება – მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება:
სადაც x,y,z – დამოუკიდებელი ცვლადებია, ხოლო u(x,y,z) – საძებნი ფუნქცია. თუ გამოვიყენებთ ლაპლასის ოპერატორს, მაშინ ლაპლასის განტოლება მოკლედ ასე ჩაიწერება:
- ∆u = 0; აქ
- ∆u = 0; აქ
თუ საძებნი u ფუნქცია დამოკიდებულია n ცვლადზე x1,x2,...,xn, მაშინ ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება:
ანუ ∆u=0.
ბრტყელი შემთხვევისათვის:
ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება:
განტოლებას სახელი ეწოდა ფრანგი მათემატიკოსის პიერ ლაპლასის პატივსაცემად, რომელმაც პირველად განიხილა იგი გრავიტაციის პოტენციალის და ცის მექანიკის თეორიისადმი მიძღვნილ შრომაში (1782).
ლაპლასის განტოლება წარმოადგენს ელიფსური ტიპის მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების ძირითად სახეს, რომელზეც იქმნებოდა და იქმნება ელიფსური განტოლებებისათვის სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. ფუნქციებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლაპლასის განტოლებას, ჰარმონიულ ფუნქციებს უწოდებენ. ლაპლასის განტოლებამდე დაიყვანება ფიზიკისა და ტექნიკის მრავალი ამოცანა. ლაპლასის განტოლება გვხვდება ეილერისა და დალამბერის შრომებშიც, როდესაც ისინი იხილავენ ჰიდრომექანიკის ამოცანებს და კომპლექსური ცვლადის ფუნქციებს.
ეს განტოლება პირველად ეილერმა განიხილა. ლაპლასმა განტოლება ჯერ პოლარულ კოორდინატებში მიიღო (1782), ხოლო მოგვიანებით – დეკარტის კოორდინატებში (1785). განტოლების გარდაქმნა ნებისმიერ მრუდწირულ კოორდინატებში მოგვცა ლამემ (1834). მიღებული აღნიშვნა ∆2u = 0, რომელიც შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა მერფიმ XIX ს-ის პირველ ნახევარში, თანდათანობით გამოირჩეოდა მანამდე არსებული უამრავი აღნიშვნიდან. მაგალითად, ფურიე განტოლებას ასე წერდა Du = 0, პუასონი – δu = 0 სახით, ლამე – ∆2u = 0 სახით, ბეტი – ∆2u = 0 სახით, გიბსი და თეტი – ∇2u = 0 სახით და ა.შ.
