ლაგრანჟის განტოლებები

ლაგრანჟის განტოლებები – მეორე რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემა, რომელიც აღწერს მექანიკური სისტემის მოძრაობას მასზე მოდებული ძალების მოქმედებით.

ეს განტოლებები პირველად მიიღო ლაგრანჟმა 1760 წელს. მან განტოლებები დაადგინა ორი ფორმით: ლაგრანჟის პირველი გვარის განტოლებები მოცემულია დეკარტის კოორდინატებში, რომლებიც შეიცავენ ლაგრანჟის (უცნობ) მამრავლს; ლაგრანჟის მეორე გვარის განტოლებები მოცემულია განზოგადებულ კოორდინატებში.

ლაგრანჟის პირველი გვარის განტოლებები: თუ m მასის ნივთიერი წერტილი (F_x,F_y,F_z) ძალის მოქმედებით Oxyz სივრცეში მოძრაობს f(x,y,z) = 0 ზედაპირზე, მაშინ მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს აქვთ შემდეგი სახე:

ლაგრანჟის მეორე გვარის განტოლებები: არათავისუფალი ჰოლონომური მექანიკური სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში:

(i = 1,2,…,s) ,

სადაც q_i – სისტემის განზოგადებული კოორდინატებია, _i – განზოგადებული სიჩქარეები Q_i - qi – განზოგადებული კოორდინატის შესაბამისი განზოგადებული ძალები, T = T(qi, _i) – სისტემის კინეტიკური ენერგია, s – სისტემის თავისუფლების ხარისხის რიცხვი, t – დრო.

თუ ძალთა ველი პოტენციურია, მაშინ ლაგრანჟის მეორე გვარის განტოლებებს აქვთ სახე:

(i = 1,2,…,s).

სადაც L=T-Π ; L -ს ეწოდება ლაგრანჟის ფუნქცია (ან კინეტიკური პოტენციალი), Π – სისტემის პოტენციური ენერგიაა.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი