ნამდვილი რიცხვები

ნამდვილი რიცხვები – რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს ერთად ნამდვილი რიცხვები ეწოდებათ. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება R ასოთი.

ნამდვილი რიცხვები შეიძლება განვმარტოთ, როგორც სასრული და უსასრულო ათწილადების ერთობლიობა.

ნამდვილი რიცხვები გამოისახებიან კოორდინატთა წრფეზე, როგორც წერტილები, ისე, რომ ყოველ ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე შეესაბამება ერთი წერტილი და კოორდინატთა წრფის ყოველ წერტილს შეესაბამება ერთი ნამდვილი რიცხვი.

ნამდვილი რიცხვების შეკრებას და გამრავლებას გააჩნიათ შემდეგი თვისებები:

თუ a და b ნამდვილი რიცხვებია (ალგებრული, რაციონალური, მთელი, მთელი დადებითი), მაშინ ასეთებივეა a + b და ab (ჩაკეტილობა),

a + b = b + a (კომუტატურობა, გადანაცვლება),

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (ასოციაციურობა),

a (b c) = (a b) c = a b c (ასოციაციურობა),

a · 1 = a,

a (b + c) = ab + ac (დისტრიბუციულობა),

ტოლობიდან a + c = b + c გამომდინარეობს, რომ a = b.

ტოლობიდან ca = cb, c ≠ 0 გამომდინარეობს, რომ a = b (შეკვეცა).

ნამდვილ რიცხვს 0 (ნული) გააჩნია თვისებები: a + 0 = a, a·0 = 0, ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის.

ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის მოპირდაპირე – a რიცხვი და შებრუნებული რიცხვი a^-1 = 1 /a, შესაბამისად განისაზღვრებიან ტოლობებით:

a +(-a) = a - a = 0, a∙a^-1= 1 (a ≠0).

ნულზე გაყოფა არ შეიძლება

შეკრება და გამრავლება

თუ a და b თუ ნამდვილი რიცხვებია, მაშინ ნამდვილია a + b და a b რიცხვებიც ნამდვილი და ადგილი აქვს ტოლობებს:

a + b = b + a, ab = ba (კომუტატიურობა),

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (bc)=( ab)c = abc (ასოციაციურობა),

a · 1 = a a(b + c)= ab + ac (დისტრიბუციულობა).

თუ a + c = b + c, მაშინ a=b.

თუ ac = bc, c≠ 0, მაშინ a=b.

ნამდვილი 0 (ნული) რიცხვისათვის a + 0 = a, a· 0 = 0

a-ს მოპირდაპირე რიცხვია - a, ხოლო შებრუნებული რიცხვია a^-1)=1/a; შესაბამისად: a + ( - a) = a - a = 0, a· a^-1 = 1 (a≠0).

უტოლობა

თუ a > b, მაშინ:

b < a; a + c > b + c; ac > bc (c > 0); ac < bc (c < 0); -a < -b; 1/a< 1/b.

თუ a ≤ A და b ≤ B, მაშინ: a + b ≤ A + B. დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია.

აბსოლუტური სიდიდე

განსაზღვრის თანახმად |a|=a, თუ a>0, და |a| = - a, თუ a < O.|a| ≥ O.

თუ |a| = O, მაშინ a = O.

||a|-|b||≤|a + b|≤|a|+|b|; ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|;

|ab|=|a|∙|b|; |a/b|=|a|/|b| (b≠O).

თუ |a| ≤ A და |b|≤B, მაშინ: |a + b|≤ A + B და |ab| ≤ AB

ხარისხები და ფესვები

a^m∙aⁿ = a^m+n; a^m//aⁿ = a^m-n; (ab)^m=a^m b^m; (a/b)^m = a^m/b^m; (a^m)ⁿ = a^mn. a^-m = 1/a^m (a ≠ O).

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი