წრფივი დიფერენციალური განტოლება
(ახალი გვერდი: '''წრფივი დიფერენციალური განტოლება''' – განტოლება, რომელშიც უ...) |
|||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''წრფივი დიფერენციალური განტოლება''' – განტოლება, რომელშიც უცნობი ფუნქცია და მისი წარმოებულები შედიან პირველ ხარისხში. მას ზოგადად ასეთი სახე აქვს: | + | '''წრფივი დიფერენციალური განტოლება''' – [[განტოლება]], რომელშიც უცნობი [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]] და მისი [[წარმოებული|წარმოებულები]] შედიან პირველ [[ხარისხი (მათემატიკა)|ხარისხში]]. მას ზოგადად ასეთი [[სახე (მათემატიკა)|სახე]] აქვს: |
::y<sup>(n)</sup>+A<sub>1</sub>(x) y<sup>(n-1)</sup> + A<sub>2</sub>(x)y<sup>(n-2)</sup>+...+A<sub>n</sub> (x)y=f(x), (1) | ::y<sup>(n)</sup>+A<sub>1</sub>(x) y<sup>(n-1)</sup> + A<sub>2</sub>(x)y<sup>(n-2)</sup>+...+A<sub>n</sub> (x)y=f(x), (1) | ||
| − | სადაც y=y(x) – საძიებელი ფუნქციაა, y<sup>(n)</sup>,y<sup>(n-1)</sup>,…,y' – მისი წარმოებულები, კოეფიციენტები A<sub>1</sub> (x), A<sub>2</sub> (x),…,A<sub>n</sub> (x) და თავისუფალი წევრი f(x) – მოცემული ფუნქციებია თუ f(x)=0, განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში – არაერთგვაროვანი. | + | სადაც y=y(x) – საძიებელი ფუნქციაა, y<sup>(n)</sup>,y<sup>(n-1)</sup>,…,y' – მისი წარმოებულები, [[კოეფიციენტი (მათემატიკა)|კოეფიციენტები]] A<sub>1</sub> (x), A<sub>2</sub> (x),…,A<sub>n</sub> (x) და თავისუფალი [[წევრი (მათემატიკა)|წევრი]] f(x) – მოცემული ფუნქციებია თუ f(x)=0, განტოლებას ეწოდება [[ერთგვაროვნება (მათემატიკა)|ერთგვაროვანი]], წინააღმდეგ შემთხვევაში – [[არაერთგვაროვნება|არაერთგვაროვანი]]. |
| − | ერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს: | + | ერთგვაროვანი წრფივი [[დიფერენციალური განტოლება|დიფერენციალური განტოლების]] ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს: |
::y<sub>o</sub>=c<sub>1</sub> y<sub>1</sub> (x)+c<sub>2</sub> y<sub>2</sub> (x)+...+c<sub>n</sub> y<sub>n</sub> (x), (2) | ::y<sub>o</sub>=c<sub>1</sub> y<sub>1</sub> (x)+c<sub>2</sub> y<sub>2</sub> (x)+...+c<sub>n</sub> y<sub>n</sub> (x), (2) | ||
სადაც c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>,...,c<sub>n</sub> – ნებისმიერი მუდმივებია, y<sub>1</sub> (x), y<sub>2</sub> (x),...,y<sub>n</sub> (x) – წრფივად დამოუკიდებელი კერძო ამონახსნები. | სადაც c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>,...,c<sub>n</sub> – ნებისმიერი მუდმივებია, y<sub>1</sub> (x), y<sub>2</sub> (x),...,y<sub>n</sub> (x) – წრფივად დამოუკიდებელი კერძო ამონახსნები. | ||
| − | არაერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს: y=y<sub>0</sub>+Y, სადაც y<sub>0</sub> – (1)-ის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნია (მოცემული (2) ტოლობით), ხოლო Y=Y(x) – არაერთგვაროვანი განტოლების კერძო ამონახსნი. | + | [[არაერთგვაროვნება|არაერთგვაროვანი]] წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს: y=y<sub>0</sub>+Y, სადაც y<sub>0</sub> – (1)-ის შესაბამისი [[ერთგვაროვანი განტოლება|ერთგვაროვანი განტოლების]] ზოგადი ამონახსნია (მოცემული (2) [[ტოლობა|ტოლობით]]), ხოლო Y=Y(x) – არაერთგვაროვანი განტოლების კერძო ამონახსნი. |
| − | თუ A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,...,A<sub>n</sub> კოეფიციენტები მუდმივი სიდიდეებია, მაშინ (1) განტოლებას ეწოდება მუდმივკოეფიციენტებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლება. | + | თუ A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,...,A<sub>n</sub> კოეფიციენტები [[მუდმივი სიდიდე|მუდმივი სიდიდეებია]], მაშინ (1) განტოლებას ეწოდება მუდმივკოეფიციენტებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლება. |
| ხაზი 19: | ხაზი 19: | ||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
| + | [[კატეგორია:ალგებრა]] | ||
მიმდინარე ცვლილება 13:33, 2 ოქტომბერი 2023 მდგომარეობით
წრფივი დიფერენციალური განტოლება – განტოლება, რომელშიც უცნობი ფუნქცია და მისი წარმოებულები შედიან პირველ ხარისხში. მას ზოგადად ასეთი სახე აქვს:
- y(n)+A1(x) y(n-1) + A2(x)y(n-2)+...+An (x)y=f(x), (1)
სადაც y=y(x) – საძიებელი ფუნქციაა, y(n),y(n-1),…,y' – მისი წარმოებულები, კოეფიციენტები A1 (x), A2 (x),…,An (x) და თავისუფალი წევრი f(x) – მოცემული ფუნქციებია თუ f(x)=0, განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში – არაერთგვაროვანი.
ერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს:
- yo=c1 y1 (x)+c2 y2 (x)+...+cn yn (x), (2)
სადაც c1,c2,...,cn – ნებისმიერი მუდმივებია, y1 (x), y2 (x),...,yn (x) – წრფივად დამოუკიდებელი კერძო ამონახსნები.
არაერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამონახსნს ასეთი სახე აქვს: y=y0+Y, სადაც y0 – (1)-ის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნია (მოცემული (2) ტოლობით), ხოლო Y=Y(x) – არაერთგვაროვანი განტოლების კერძო ამონახსნი.
თუ A1,A2,...,An კოეფიციენტები მუდმივი სიდიდეებია, მაშინ (1) განტოლებას ეწოდება მუდმივკოეფიციენტებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლება.
