სრულყოფილი რიცხვი
მ (მომხმარებელმა Echelidze გვერდი „რიცხვი სრულყოფილი“ გადაიტანა გვერდზე „სრულყოფილი რიცხვი“ გადა...) |
|||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''რიცხვი სრულყოფილი''' – მთელი დადებითი რიცხვი, რომელიც ტოლია ყველა თავისი გამყოფის | + | '''რიცხვი სრულყოფილი''' – მთელი [[დადებითი და უარყოფითი რიცხვები|დადებითი რიცხვი]], რომელიც [[ტოლობა|ტოლია]] ყველა თავისი [[გამყოფი (მათემატიკა)|გამყოფის]] [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამი]]სა ერთის ჩათვლით, გარდა თვით ამ [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვი]]სა. |
| − | :მაგალითად ერთეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 6: 6 =1+2+3; | + | :მაგალითად [[ერთეული|ერთეულებში]] ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 6: 6 =1+2+3; |
:ათეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 28: 28 = 1+2+4+7+14; | :ათეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 28: 28 = 1+2+4+7+14; | ||
| ხაზი 9: | ხაზი 9: | ||
:ათასეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 8128. | :ათასეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 8128. | ||
| − | პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სრულყოფილი რიცხვების თეორიის ასაგებად ჯერ კიდევ | + | პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სრულყოფილი [[რიცხვთა თეორია|რიცხვების თეორიის]] ასაგებად ჯერ კიდევ [[ევკლიდე]]მ გადადგა, რომელმაც თავის „[[ევკლიდეს საწყისები|საწყისებში]]“ (წიგნი IX) მოგვცა „სრულყოფილი რიცხვების“ მოსაძებნი [[ფორმულა]]. თუ ჯამი P=1+2+2<sup>2</sup>+2<sup>3</sup>+...+2<sup>n-1</sup> = 2<sup>n</sup>–1 [[მარტივი რიცხვი]]ა, მაშინ 2<sup>n-1</sup>(2<sup>n</sup>–1) ყოველთვის იქნება სრულყოფილი რიცხვი. მაგალითად: თუ n=3, მაშინ 2<sup>3</sup> −1 = 7 მარტივი რიცხვია და, მაშასადამე, 2<sup>3-1</sup> (2<sup>3</sup> –1)= 4∙7=28 იქნება სრულყოფილი რიცხვი. |
| − | 2<sup>n</sup> -1 სახის მარტივ რიცხვებს ეწოდება XVIII საუკუნის ფრანგი მათემატიკოსის მარენ მერსენის რიცხვები. | + | 2<sup>n</sup> -1 სახის მარტივ რიცხვებს ეწოდება XVIII საუკუნის ფრანგი მათემატიკოსის [[მერსენის რიცხვები|მარენ მერსენის რიცხვები]]. |
| − | ევკლიდეს ფორმულის გამოყენებით ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსმა ნიკომახმა (I-II სს.) შეძლო მოეძებნა სრულყოფილი რიცხვები 6, 28, 496, 8128 (როცა n= 1, 2, 4, 6). მეხუთე სრულყოფილი რიცხვი 33550336 (როცა n=12) აღმოაჩინეს მხოლოდ XV ს-ში. შემდგომი სრულყოფილი რიცხვები აღმოაჩინა მერსენმა. ევკლიდეს ფორმულით მოძებნილი ყველა სრულყოფილი რიცხვი ლუწია. არსებობს თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვი – უცნობია. | + | ევკლიდეს ფორმულის გამოყენებით ძველი [[საბერძნეთი|საბერძნეთის]] მათემატიკოსმა [[ნიკომახი|ნიკომახმა]] (I-II სს.) შეძლო მოეძებნა სრულყოფილი რიცხვები 6, 28, 496, 8128 (როცა n= 1, 2, 4, 6). მეხუთე სრულყოფილი რიცხვი 33550336 (როცა n=12) აღმოაჩინეს მხოლოდ XV ს-ში. შემდგომი სრულყოფილი რიცხვები აღმოაჩინა მერსენმა. ევკლიდეს ფორმულით მოძებნილი ყველა სრულყოფილი რიცხვი [[ლუწი რიცხვი|ლუწია]]. არსებობს თუ არა [[კენტი რიცხვი|კენტი]] სრულყოფილი რიცხვი – უცნობია. |
სრულყოფილი რიცხვებია: 2(2<sup>2</sup> – 1), 2<sup>2</sup> (2<sup>3</sup>-1), 2<sup>4</sup> (2<sup>5</sup>-1), 2<sup>6</sup> (2<sup>7</sup>-1), 2<sup>12</sup> (2<sup>13</sup>-1) ⋯ 2<sup>2280</sup> (2<sup>2281</sup>-1). 1957 წლისათვის უდიდესი ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი იყო 2<sup>3216</sup> (2<sup>3217</sup> – 1). ეგმ-ის დახმარებით მოიძებნა დიდი სრულყოფილი რიცხვები; მაგალითად, 1962 წელს რიცხვი 2<sup>4422</sup> (2<sup>4423</sup>-1), ხოლო 1965 წელს რიცხვი 2<sup>11212</sup> (2<sup>11213</sup> – 1). | სრულყოფილი რიცხვებია: 2(2<sup>2</sup> – 1), 2<sup>2</sup> (2<sup>3</sup>-1), 2<sup>4</sup> (2<sup>5</sup>-1), 2<sup>6</sup> (2<sup>7</sup>-1), 2<sup>12</sup> (2<sup>13</sup>-1) ⋯ 2<sup>2280</sup> (2<sup>2281</sup>-1). 1957 წლისათვის უდიდესი ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი იყო 2<sup>3216</sup> (2<sup>3217</sup> – 1). ეგმ-ის დახმარებით მოიძებნა დიდი სრულყოფილი რიცხვები; მაგალითად, 1962 წელს რიცხვი 2<sup>4422</sup> (2<sup>4423</sup>-1), ხოლო 1965 წელს რიცხვი 2<sup>11212</sup> (2<sup>11213</sup> – 1). | ||
| − | სრულყოფილ რიცხვებს გააჩნიათ მთელი რიგი საიდუმლო და ამასთანავე შესანიშნავი თვისებები. მაგალითად, ყველა სრულყოფილი რიცხვი „სამკუთხაა“; ეს ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ სრულყოფილი რიცხვის ტოლი რაოდენობის ბურთულებს, ისინი შეიძლება ისე დავალაგოთ, რომ შეიქმნას ტოლგვერდა სამკუთხედი; ე.ი. ყოველი სრულყოფილი რიცხვი (1+2+3+ ... +n) ჯამის სახისაა. | + | სრულყოფილ რიცხვებს გააჩნიათ მთელი რიგი საიდუმლო და ამასთანავე შესანიშნავი თვისებები. მაგალითად, ყველა სრულყოფილი რიცხვი „სამკუთხაა“; ეს ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ სრულყოფილი რიცხვის ტოლი რაოდენობის ბურთულებს, ისინი შეიძლება ისე დავალაგოთ, რომ შეიქმნას [[ტოლგვერდა (წესიერი) სამკუთხედი|ტოლგვერდა სამკუთხედი]]; ე.ი. ყოველი სრულყოფილი რიცხვი (1+2+3+ ... +n) ჯამის სახისაა. |
| − | ასევე ადვილი შესამჩნევია, რომ ყოველი სრულყოფილი რიცხვი, გარდა 6-ისა, არის კერძო ჯამი კენტი რიცხვების კუბების ჯამის მწკრივისა: 1<sup>3</sup>+3<sup>3</sup> +5<sup>3</sup> +7<sup>3</sup>+... . | + | ასევე ადვილი შესამჩნევია, რომ ყოველი სრულყოფილი რიცხვი, გარდა 6-ისა, არის კერძო ჯამი კენტი რიცხვების [[კუბი|კუბების]] ჯამის [[მწკრივი (მათემატიკა)|მწკრივისა]]: 1<sup>3</sup>+3<sup>3</sup> +5<sup>3</sup> +7<sup>3</sup>+... . |
კიდევ ერთი თვისება: სრულყოფილი რიცხვების გამყოფთა შებრუნებული მნიშვნელობების ჯამი, თვით სრულყოფილი რიცხვის, როგორც გამყოფის ჩათვლით, ყოველთვის 2-ის ტოლია. მაგალითად, რიცხვისათვის 28 გვაქვს: | კიდევ ერთი თვისება: სრულყოფილი რიცხვების გამყოფთა შებრუნებული მნიშვნელობების ჯამი, თვით სრულყოფილი რიცხვის, როგორც გამყოფის ჩათვლით, ყოველთვის 2-ის ტოლია. მაგალითად, რიცხვისათვის 28 გვაქვს: | ||
15:49, 6 ნოემბერი 2023-ის ვერსია
რიცხვი სრულყოფილი – მთელი დადებითი რიცხვი, რომელიც ტოლია ყველა თავისი გამყოფის ჯამისა ერთის ჩათვლით, გარდა თვით ამ რიცხვისა.
- მაგალითად ერთეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 6: 6 =1+2+3;
- ათეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 28: 28 = 1+2+4+7+14;
- ასეულებში 496: 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248;
- ათასეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 8128.
პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სრულყოფილი რიცხვების თეორიის ასაგებად ჯერ კიდევ ევკლიდემ გადადგა, რომელმაც თავის „საწყისებში“ (წიგნი IX) მოგვცა „სრულყოფილი რიცხვების“ მოსაძებნი ფორმულა. თუ ჯამი P=1+2+22+23+...+2n-1 = 2n–1 მარტივი რიცხვია, მაშინ 2n-1(2n–1) ყოველთვის იქნება სრულყოფილი რიცხვი. მაგალითად: თუ n=3, მაშინ 23 −1 = 7 მარტივი რიცხვია და, მაშასადამე, 23-1 (23 –1)= 4∙7=28 იქნება სრულყოფილი რიცხვი.
2n -1 სახის მარტივ რიცხვებს ეწოდება XVIII საუკუნის ფრანგი მათემატიკოსის მარენ მერსენის რიცხვები.
ევკლიდეს ფორმულის გამოყენებით ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსმა ნიკომახმა (I-II სს.) შეძლო მოეძებნა სრულყოფილი რიცხვები 6, 28, 496, 8128 (როცა n= 1, 2, 4, 6). მეხუთე სრულყოფილი რიცხვი 33550336 (როცა n=12) აღმოაჩინეს მხოლოდ XV ს-ში. შემდგომი სრულყოფილი რიცხვები აღმოაჩინა მერსენმა. ევკლიდეს ფორმულით მოძებნილი ყველა სრულყოფილი რიცხვი ლუწია. არსებობს თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვი – უცნობია.
სრულყოფილი რიცხვებია: 2(22 – 1), 22 (23-1), 24 (25-1), 26 (27-1), 212 (213-1) ⋯ 22280 (22281-1). 1957 წლისათვის უდიდესი ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი იყო 23216 (23217 – 1). ეგმ-ის დახმარებით მოიძებნა დიდი სრულყოფილი რიცხვები; მაგალითად, 1962 წელს რიცხვი 24422 (24423-1), ხოლო 1965 წელს რიცხვი 211212 (211213 – 1).
სრულყოფილ რიცხვებს გააჩნიათ მთელი რიგი საიდუმლო და ამასთანავე შესანიშნავი თვისებები. მაგალითად, ყველა სრულყოფილი რიცხვი „სამკუთხაა“; ეს ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ სრულყოფილი რიცხვის ტოლი რაოდენობის ბურთულებს, ისინი შეიძლება ისე დავალაგოთ, რომ შეიქმნას ტოლგვერდა სამკუთხედი; ე.ი. ყოველი სრულყოფილი რიცხვი (1+2+3+ ... +n) ჯამის სახისაა.
ასევე ადვილი შესამჩნევია, რომ ყოველი სრულყოფილი რიცხვი, გარდა 6-ისა, არის კერძო ჯამი კენტი რიცხვების კუბების ჯამის მწკრივისა: 13+33 +53 +73+... .
კიდევ ერთი თვისება: სრულყოფილი რიცხვების გამყოფთა შებრუნებული მნიშვნელობების ჯამი, თვით სრულყოფილი რიცხვის, როგორც გამყოფის ჩათვლით, ყოველთვის 2-ის ტოლია. მაგალითად, რიცხვისათვის 28 გვაქვს:
