სიბრტყე (გეომეტრია)
| (ერთი მომხმარებლის 10 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''სიბრტყე''' – [[გეომეტრია|გეომეტრიის]] ერთ-ერთი ძირითადი ცნება, რომელიც აქსიომებით განისაზღვრება წრფესთან და წერტილთან თავისი დამოკიდებულებით. | + | '''სიბრტყე''' – [[გეომეტრია|გეომეტრიის]] ერთ-ერთი ძირითადი ცნება, რომელიც [[აქსიომა|აქსიომებით]] განისაზღვრება [[წრფე|წრფესთან]] და [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილთან]] თავისი [[დამოკიდებულება (მათემატიკური ტერმინი)|დამოკიდებულებით]]. ('''[[ზედაპირი (გეომეტრია)|ზედაპირი]] პირველი რიგის''' – იგივეა, რაც სიბრტყე). |
სიბრტყის დამახასიათებელი თვისება: სიბრტყე არის ზედაპირი, რომელიც მთლიანად მოიცავს მისი ორი ნებისმიერი წერტილის შემაერთებელ წრფეს. | სიბრტყის დამახასიათებელი თვისება: სიბრტყე არის ზედაპირი, რომელიც მთლიანად მოიცავს მისი ორი ნებისმიერი წერტილის შემაერთებელ წრფეს. | ||
| − | სულხან-საბა ორბელიანი ასე განმარტავს: „სიბრტყე – ეპიფანია, რომელ არს სიფრიფანა, არს გარეგნითი კერძო სხეულისა და საჩინო და აქვს ორ კერძო განფენილობა: | + | [[სულხან-საბა ორბელიანი]] ასე განმარტავს: „სიბრტყე – [[ეპიფანია]], რომელ არს სიფრიფანა, არს გარეგნითი კერძო სხეულისა და საჩინო და აქვს ორ კერძო განფენილობა: [[სიგრძე (მათემატიკა)|სიგრძე]]დ მიმართ და [[სივრცე]]დ“. |
| − | '''სიბრტყის განტოლება სხვადასხვა სახით დეკარტის კოორდინატებში.''' | + | '''სიბრტყის [[განტოლება]] სხვადასხვა სახით [[დეკარტის კოორდინატები|დეკარტის კოორდინატებში]].''' |
1) '''ზოგადი სახის.''' Ax + By + Cz + D = 0. | 1) '''ზოგადი სახის.''' Ax + By + Cz + D = 0. | ||
| − | :A, B, C ერთდროულად არ უდრიან ნულს. | + | :A, B, C ერთდროულად არ უდრიან [[ნული|ნულს]]. |
| − | 2) '''ღერძთა მონაკვეთებში.''' სიბრტყე კვეთს 0x ღერძს (a, 0,0) წერტილში, 0y ღერძს (0, b,0) წერტილში, 0z ღერძს (0,0,c) წერტილში | + | 2) '''[[ღერძი|ღერძთა]] [[მონაკვეთი (გეომეტრია)|მონაკვეთებში]].''' სიბრტყე კვეთს 0x ღერძს (a, 0,0) წერტილში, 0y ღერძს (0, b,0) წერტილში, 0z ღერძს (0,0,c) წერტილში: |
:::::[[ფაილი:Sibr001.png]] (a≠0, b≠0, c≠0). | :::::[[ფაილი:Sibr001.png]] (a≠0, b≠0, c≠0). | ||
| − | 3) '''ნორმალური სახის განტოლება.''' x cos α + y cosβ + z cosγ – p = 0, (p>0) სადაც p -კოორდინატთა სათავიდან სიბრტყეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო cosα, cosβ, cosγ – პერპენდიკულარის მიმართულების კოსინუსები: | + | 3) '''[[ნორმალური განტოლება|ნორმალური სახის განტოლება]].''' x cos α + y cosβ + z cosγ – p = 0, (p>0) სადაც p - [[კოორდინატთა სათავე|კოორდინატთა სათავიდან]] სიბრტყეზე დაშვებული [[პერპენდიკულარი|პერპენდიკულარის]] სიგრძეა, ხოლო cosα, cosβ, cosγ – პერპენდიკულარის [[მიმართულება (მათემატიკური)|მიმართულების]] [[კოსინუსი|კოსინუსები]]: |
:::[[ფაილი:Sibr007.png]] | :::[[ფაილი:Sibr007.png]] | ||
| − | 4) '''ნორმალურ სახეზე''' შეიძლება დაყვანილი იქნას '''სიბრტყის''' ზოგადი Ax + By + Cz + D =0 '''განტოლება''', თუ მას გავამრავლებთ მანორმირებელ მამრავლზე | + | 4) '''ნორმალურ სახეზე''' შეიძლება დაყვანილი იქნას '''სიბრტყის''' ზოგადი Ax + By + Cz + D =0 '''განტოლება''', თუ მას [[გამრავლება|გავამრავლებთ]] [[მანორმირებელი მამრავლი|მანორმირებელ მამრავლზე]] |
:::[[ფაილი:Sibr009.png]] | :::[[ფაილი:Sibr009.png]] | ||
| ხაზი 34: | ხაზი 34: | ||
:::A (x - x<sub>0</sub>) + B (y - y<sub>0</sub>) + C (z - z<sub>0</sub>) = 0, | :::A (x - x<sub>0</sub>) + B (y - y<sub>0</sub>) + C (z - z<sub>0</sub>) = 0, | ||
| − | სადაც A, B, C – სიბრტყისადმი [[ფაილი:Sib017.png]] = (A, B, C). | + | სადაც A, B, C – სიბრტყისადმი [[ფაილი:Sib017.png]] = (A, B, C). [[ნორმალი]]ს [[გეგმილი (პროექცია)|გეგმილებია]] [[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა|დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის]] ღერძებზე. |
| ხაზი 42: | ხაზი 42: | ||
| − | 7) თუ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის რადიუს- | + | 7) თუ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის [[რადიუს-ვექტორი]]ა [[ფაილი:Sib025.png]] (x, y, z), ხოლო სიბრტყისადმი ნორმალია [[ფაილი:Sib017.png]] = (A, B, C), მაშინ '''სიბრტყის ზოგადი სახის განტოლება''' ასე ჩაიწერება: [[ფაილი:Sib027.png]] + D = 0. |
| − | 8) '''მანძილი M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) წერტილიდან Ax + By + Cz + D = 0 სიბრტყემდე:''' | + | 8) '''[[მანძილი (გეომეტრია)|მანძილი]] M<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) წერტილიდან Ax + By + Cz + D = 0 სიბრტყემდე:''' |
:::[[ფაილი:Sibr031.png]] | :::[[ფაილი:Sibr031.png]] | ||
| ხაზი 53: | ხაზი 53: | ||
| − | 9) '''კუთხე ორ სიბრტყეს შორის:''' | + | 9) '''[[კუთხე (გეომეტრია)|კუთხე]] ორ სიბრტყეს შორის:''' |
:::[[ფაილი:Sibr035.png]] | :::[[ფაილი:Sibr035.png]] | ||
| ხაზი 63: | ხაზი 63: | ||
| − | 11) '''სიბრტყეები პერპენდიკულარულია, თუ''' | + | 11) '''სიბრტყეები [[პერპენდიკულარი|პერპენდიკულარულია]], თუ''' |
:::A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> + B<sub>1</sub>B<sub>2</sub> + C<sub>1</sub>C<sub>2</sub> = 0. | :::A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> + B<sub>1</sub>B<sub>2</sub> + C<sub>1</sub>C<sub>2</sub> = 0. | ||
| − | + | [[ევკლიდე]]ს მიერ მოცემული წრფის, სიბრტყის, ზედაპირის განსაზღვრებები ჯერ კიდევ უძველეს დროში იწვევდნენ კამათს. წრფის შემთხვევაში გამოსავალი მალე მოიძებნა: უმოკლესის ცნება, რომელიც ორ წერტილს აერთებს – დამაკმაყოფილებელია. სიბრტყის განსაზღვრას უფრო კრიტიკული თვალით უყურებდნენ. [[ლაიბნიცი გოტფრიდ ვილჰელმ|ლაიბნიცის]] განსაზღვრით სიბრტყე არის [[სიმრავლე |სიმრავლე]] წერტილებისა, განტოლება პირველად გვხვდება კლეროს ნაშრომებში, როდესაც იგი იკვლევდა ორმაგი [[სიმრუდე წირის|სიმრუდის წირებს]] (1731), შემდეგ კი პეტერბურგელ მათემატიკოს გერმანთან (1732,1733), და ბოლოს [[ეილერი ლეონარდ|ეილერთან]] („უსასრულო მცირეთა აღრიცხვის შესავალი“, 1748), რის შემდეგაც განტოლება საზოგადოდ იქნა ცნობილი და გავრცელებული. | |
| − | სიბრტყის განტოლება მონაკვეთებში, როგორც ჩანს, პირველად გამოიყენა ლამემ, ისევე, როგორც სიბრტყეთა კონის განტოლება (1816-1818). სიბრტყის ნორმალური სახის განტოლება და ეს სახელწოდებაც თანამედროვე სახით გეომეტრიის სახელმძღვანელოში შემოიღო გესმა (1861), თუმცა იგი ცნობილი იყო კოშისათვის, ლიუილისა და მაგნუსისათვის. | + | სიბრტყის განტოლება მონაკვეთებში, როგორც ჩანს, პირველად გამოიყენა ლამემ, ისევე, როგორც სიბრტყეთა კონის განტოლება (1816-1818). სიბრტყის ნორმალური სახის განტოლება და ეს სახელწოდებაც თანამედროვე სახით [[გეომეტრია|გეომეტრიის]] სახელმძღვანელოში შემოიღო გესმა (1861), თუმცა იგი ცნობილი იყო კოშისათვის, ლიუილისა და მაგნუსისათვის. |
| − | წინადადება იმის შესახებ, რომ ზედაპირზე მდებარე წერტილზე გამავალი ყველა შესაძლო წირის [[მხები]] მდებარეობს ერთ სიბრტყეში, მკაფიოდ ჩამოაყალიბა დიუპენმა („გეომეტრიის განვითარება“,1813). არასასრული სახით ფორმულირებული ის აქვს კლეროს და ეილერს. სასწავლო სახელმძღვანელოში იგი შემოიღო კოშიმ (1826). ცნება და ტერმინი | + | წინადადება იმის შესახებ, რომ ზედაპირზე მდებარე წერტილზე გამავალი ყველა შესაძლო წირის [[მხები]] მდებარეობს ერთ სიბრტყეში, მკაფიოდ ჩამოაყალიბა დიუპენმა („გეომეტრიის განვითარება“,1813). არასასრული სახით ფორმულირებული ის აქვს კლეროს და ეილერს. სასწავლო სახელმძღვანელოში იგი შემოიღო კოშიმ (1826). ცნება და ტერმინი „[[მიმხები სიბრტყე]]“ პირველად გვხვდება [[ბერნული იოჰან|ი. ბერნულის]] შრომაში (1728). „[[გამწრფევი სიბრტყე]]“ (სახელწოდებასთან ერთად) შემოღებულია ფრანგი მათემატიკოსის ლანკრეს მიერ (1806). |
| + | |||
| + | =====იხილე აგრეთვე===== | ||
| + | *[[გამწრფევი სიბრტყე]] | ||
| + | *[[სიბრტყე კვეთის]] | ||
| + | *[[სიბრტყე კომპლექსური]] | ||
| + | *[[კომპლექსური სიბრტყე]] | ||
| + | *[[სიბრტყე მიმხები]] | ||
| + | *[[მიმხები სიბრტყე]] | ||
| + | *[[სიბრტყე მკვეთი]] | ||
| + | *[[მხები სიბრტყე|სიბრტყე მხები]] | ||
| + | *სიბრტყე ნორმალური → [[ნორმალი სიბრტყე]] | ||
| + | *[[სიბრტყე საკოორდინატო]] | ||
| + | *[[სიბრტყე სიმეტრიის]] | ||
| + | *[[სიბრტყის არასრული განტოლება]] | ||
| + | *[[სიბრტყის ნორმალური ვექტორი]] | ||
==წყარო== | ==წყარო== | ||
მიმდინარე ცვლილება 17:15, 22 იანვარი 2024 მდგომარეობით
სიბრტყე – გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება, რომელიც აქსიომებით განისაზღვრება წრფესთან და წერტილთან თავისი დამოკიდებულებით. (ზედაპირი პირველი რიგის – იგივეა, რაც სიბრტყე).
სიბრტყის დამახასიათებელი თვისება: სიბრტყე არის ზედაპირი, რომელიც მთლიანად მოიცავს მისი ორი ნებისმიერი წერტილის შემაერთებელ წრფეს.
სულხან-საბა ორბელიანი ასე განმარტავს: „სიბრტყე – ეპიფანია, რომელ არს სიფრიფანა, არს გარეგნითი კერძო სხეულისა და საჩინო და აქვს ორ კერძო განფენილობა: სიგრძედ მიმართ და სივრცედ“.
სიბრტყის განტოლება სხვადასხვა სახით დეკარტის კოორდინატებში.
1) ზოგადი სახის. Ax + By + Cz + D = 0.
- A, B, C ერთდროულად არ უდრიან ნულს.
2) ღერძთა მონაკვეთებში. სიბრტყე კვეთს 0x ღერძს (a, 0,0) წერტილში, 0y ღერძს (0, b,0) წერტილში, 0z ღერძს (0,0,c) წერტილში:
(a≠0, b≠0, c≠0).
3) ნორმალური სახის განტოლება. x cos α + y cosβ + z cosγ – p = 0, (p>0) სადაც p - კოორდინატთა სათავიდან სიბრტყეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო cosα, cosβ, cosγ – პერპენდიკულარის მიმართულების კოსინუსები:
4) ნორმალურ სახეზე შეიძლება დაყვანილი იქნას სიბრტყის ზოგადი Ax + By + Cz + D =0 განტოლება, თუ მას გავამრავლებთ მანორმირებელ მამრავლზე
μ -ს და D-ს ურთიერთ საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.
5) მოცემულ M0 (x0,y0,z0) წერტილზე გამავალი სიბრტყის განტოლება:
- A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0,
სადაც A, B, C – სიბრტყისადმი 
= (A, B, C). ნორმალის გეგმილებია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე.
6) მოცემულ სამ M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) და M3 (x3, y3, z3) წერტილზე გამავალი სიბრტყის განტოლება:
7) თუ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის რადიუს-ვექტორია 
(x, y, z), ხოლო სიბრტყისადმი ნორმალია = (A, B, C), მაშინ სიბრტყის ზოგადი სახის განტოლება ასე ჩაიწერება: 
+ D = 0.
8) მანძილი M0 (x0, y0, z0) წერტილიდან Ax + By + Cz + D = 0 სიბრტყემდე:
- ანუ d = | x0 cos α + y0 cosβ + z0 cosγ - p |
9) კუთხე ორ სიბრტყეს შორის:
10) სიბრტყეები პარალელურია, თუ
11) სიბრტყეები პერპენდიკულარულია, თუ
- A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
ევკლიდეს მიერ მოცემული წრფის, სიბრტყის, ზედაპირის განსაზღვრებები ჯერ კიდევ უძველეს დროში იწვევდნენ კამათს. წრფის შემთხვევაში გამოსავალი მალე მოიძებნა: უმოკლესის ცნება, რომელიც ორ წერტილს აერთებს – დამაკმაყოფილებელია. სიბრტყის განსაზღვრას უფრო კრიტიკული თვალით უყურებდნენ. ლაიბნიცის განსაზღვრით სიბრტყე არის სიმრავლე წერტილებისა, განტოლება პირველად გვხვდება კლეროს ნაშრომებში, როდესაც იგი იკვლევდა ორმაგი სიმრუდის წირებს (1731), შემდეგ კი პეტერბურგელ მათემატიკოს გერმანთან (1732,1733), და ბოლოს ეილერთან („უსასრულო მცირეთა აღრიცხვის შესავალი“, 1748), რის შემდეგაც განტოლება საზოგადოდ იქნა ცნობილი და გავრცელებული.
სიბრტყის განტოლება მონაკვეთებში, როგორც ჩანს, პირველად გამოიყენა ლამემ, ისევე, როგორც სიბრტყეთა კონის განტოლება (1816-1818). სიბრტყის ნორმალური სახის განტოლება და ეს სახელწოდებაც თანამედროვე სახით გეომეტრიის სახელმძღვანელოში შემოიღო გესმა (1861), თუმცა იგი ცნობილი იყო კოშისათვის, ლიუილისა და მაგნუსისათვის.
წინადადება იმის შესახებ, რომ ზედაპირზე მდებარე წერტილზე გამავალი ყველა შესაძლო წირის მხები მდებარეობს ერთ სიბრტყეში, მკაფიოდ ჩამოაყალიბა დიუპენმა („გეომეტრიის განვითარება“,1813). არასასრული სახით ფორმულირებული ის აქვს კლეროს და ეილერს. სასწავლო სახელმძღვანელოში იგი შემოიღო კოშიმ (1826). ცნება და ტერმინი „მიმხები სიბრტყე“ პირველად გვხვდება ი. ბერნულის შრომაში (1728). „გამწრფევი სიბრტყე“ (სახელწოდებასთან ერთად) შემოღებულია ფრანგი მათემატიკოსის ლანკრეს მიერ (1806).
[რედაქტირება] იხილე აგრეთვე
- გამწრფევი სიბრტყე
- სიბრტყე კვეთის
- სიბრტყე კომპლექსური
- კომპლექსური სიბრტყე
- სიბრტყე მიმხები
- მიმხები სიბრტყე
- სიბრტყე მკვეთი
- სიბრტყე მხები
- სიბრტყე ნორმალური → ნორმალი სიბრტყე
- სიბრტყე საკოორდინატო
- სიბრტყე სიმეტრიის
- სიბრტყის არასრული განტოლება
- სიბრტყის ნორმალური ვექტორი
