ნამდვილი რიცხვები
| (2 მომხმარებლების 4 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ნამდვილი რიცხვები''' – რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს ერთად ნამდვილი რიცხვები ეწოდებათ. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება R ასოთი. | + | '''ნამდვილი რიცხვები''' – [[რაციონალური რიცხვები|რაციონალურ]] და [[ირაციონალური რიცხვი|ირაციონალურ რიცხვებს]] ერთად ნამდვილი [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვები]] ეწოდებათ. ნამდვილ რიცხვთა [[სიმრავლე]] აღინიშნება R ასოთი. |
| − | ნამდვილი რიცხვები შეიძლება განვმარტოთ, როგორც სასრული და უსასრულო ათწილადების ერთობლიობა. | + | ნამდვილი რიცხვები შეიძლება განვმარტოთ, როგორც სასრული და [[უსასრულო ათწილადი|უსასრულო ათწილადების]] ერთობლიობა. |
| − | ნამდვილი რიცხვები გამოისახებიან კოორდინატთა | + | ნამდვილი რიცხვები გამოისახებიან [[კოორდინატები|კოორდინატთა]] [[წრფე]]ზე, როგორც [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილები]], ისე, რომ ყოველ ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე შეესაბამება ერთი წერტილი და კოორდინატთა წრფის ყოველ წერტილს შეესაბამება ერთი ნამდვილი რიცხვი. |
| − | ნამდვილი რიცხვების | + | ნამდვილი რიცხვების [[შეკრება (არითმეტიკა)|შეკრება]]ს და [[გამრავლება|გამრავლებას]] გააჩნიათ შემდეგი თვისებები: |
| − | თუ a და b ნამდვილი რიცხვებია (ალგებრული, რაციონალური, მთელი, მთელი დადებითი), მაშინ ასეთებივეა a + b და ab (ჩაკეტილობა), | + | თუ a და b ნამდვილი რიცხვებია ([[ალგებრული რიცხვი|ალგებრული]], რაციონალური, [[მთელი რიცხვი|მთელი]], მთელი დადებითი), მაშინ ასეთებივეა a + b და ab (ჩაკეტილობა), |
| − | :a + b = b + a (კომუტატურობა, გადანაცვლება), | + | :a + b = b + a ([[კომუტატიურობა|კომუტატურობა]], [[გადანაცვლება (მათემატიკა)|გადანაცვლება]]), |
| − | :a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (ასოციაციურობა), | + | :a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c ([[ასოციაციურობა]]), |
:a (b c) = (a b) c = a b c (ასოციაციურობა), | :a (b c) = (a b) c = a b c (ასოციაციურობა), | ||
:a · 1 = a, | :a · 1 = a, | ||
| − | :a (b + c) = ab + ac (დისტრიბუციულობა), | + | :a (b + c) = ab + ac ([[დისტრიბუციულობა |დისტრიბუციულობა]]), |
| − | :ტოლობიდან a + c = b + c გამომდინარეობს, რომ a = b. | + | : [[ტოლობა|ტოლობიდან]] a + c = b + c გამომდინარეობს, რომ a = b. |
:ტოლობიდან ca = cb, c ≠ 0 გამომდინარეობს, რომ a = b (შეკვეცა). | :ტოლობიდან ca = cb, c ≠ 0 გამომდინარეობს, რომ a = b (შეკვეცა). | ||
| − | ნამდვილ რიცხვს 0 (ნული) გააჩნია თვისებები: a + 0 = a, a·0 = 0, ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის. | + | ნამდვილ რიცხვს 0 ([[ნული]]) გააჩნია თვისებები: a + 0 = a, a·0 = 0, ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის. |
| − | ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის მოპირდაპირე – a რიცხვი და შებრუნებული რიცხვი a<sup>-1</sup> = 1 /a, შესაბამისად განისაზღვრებიან ტოლობებით: | + | ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის მოპირდაპირე – a რიცხვი და [[შებრუნებული რიცხვი]] a<sup>-1</sup> = 1 /a, შესაბამისად განისაზღვრებიან ტოლობებით: |
| − | a +(-a) = a - a = 0, a∙a<sup>-1</sup>= 1 (a ≠0). | + | :a +(-a) = a - a = 0, a∙a<sup>-1</sup>= 1 (a ≠0). |
| − | ''ნულზე გაყოფა არ შეიძლება'' | + | ''ნულზე [[გაყოფა (მათემატიკა)|გაყოფა]] არ შეიძლება'' |
| − | + | ===== შეკრება და გამრავლება ===== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
თუ a და b თუ ნამდვილი რიცხვებია, მაშინ ნამდვილია a + b და a b რიცხვებიც ნამდვილი და ადგილი აქვს ტოლობებს: | თუ a და b თუ ნამდვილი რიცხვებია, მაშინ ნამდვილია a + b და a b რიცხვებიც ნამდვილი და ადგილი აქვს ტოლობებს: | ||
| ხაზი 44: | ხაზი 40: | ||
ნამდვილი 0 (ნული) რიცხვისათვის a + 0 = a, a· 0 = 0 | ნამდვილი 0 (ნული) რიცხვისათვის a + 0 = a, a· 0 = 0 | ||
| − | a-ს მოპირდაპირე რიცხვია - a, ხოლო შებრუნებული რიცხვია a<sup>-1</sup>)=1/a; შესაბამისად: a + ( - a) = a - a = 0, a· a<sup>-1</sup> = 1 (a≠0). | + | a-ს [[მოპირდაპირე რიცხვები|მოპირდაპირე რიცხვია]] - a, ხოლო შებრუნებული რიცხვია a<sup>-1</sup>)=1/a; შესაბამისად: a + ( - a) = a - a = 0, a· a<sup>-1</sup> = 1 (a≠0). |
| − | + | ===== უტოლობა ===== | |
თუ a > b, მაშინ: | თუ a > b, მაშინ: | ||
| ხაზი 54: | ხაზი 50: | ||
თუ a ≤ A და b ≤ B, მაშინ: a + b ≤ A + B. | თუ a ≤ A და b ≤ B, მაშინ: a + b ≤ A + B. | ||
| − | დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია. | + | დადებითი რიცხვების [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამი]] და [[ნამრავლი]] დადებითია. |
| − | + | ===== აბსოლუტური სიდიდე ===== | |
| − | განსაზღვრის თანახმად |a|=a, თუ a>0, და |a| = - a, თუ a < O.|a| ≥ O. | + | [[განსაზღვრება (მათემატიკა)|განსაზღვრის]] თანახმად |a|=a, თუ a>0, და |a| = - a, თუ a < O.|a| ≥ O. |
თუ |a| = O, მაშინ a = O. | თუ |a| = O, მაშინ a = O. | ||
| ხაზი 70: | ხაზი 66: | ||
| − | + | ===== ხარისხები და ფესვები ===== | |
a<sup>m</sup>∙a<sup>n</sup> = a<sup>m+n</sup>; a<sup>m/</sup>/a<sup>n</sup> = a<sup>m-n</sup>; (ab)<sup>m</sup>=a<sup>m</sup> b<sup>m</sup>; (a/b)<sup>m</sup> = a<sup>m</sup>/b<sup>m</sup>; (a<sup>m</sup>)<sup>n</sup> = a<sup>mn</sup>. a<sup>-m</sup> = 1/a<sup>m</sup> (a ≠ O). | a<sup>m</sup>∙a<sup>n</sup> = a<sup>m+n</sup>; a<sup>m/</sup>/a<sup>n</sup> = a<sup>m-n</sup>; (ab)<sup>m</sup>=a<sup>m</sup> b<sup>m</sup>; (a/b)<sup>m</sup> = a<sup>m</sup>/b<sup>m</sup>; (a<sup>m</sup>)<sup>n</sup> = a<sup>mn</sup>. a<sup>-m</sup> = 1/a<sup>m</sup> (a ≠ O). | ||
| ხაზი 85: | ხაზი 81: | ||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
[[კატეგორია:ალგებრა]] | [[კატეგორია:ალგებრა]] | ||
| + | [[კატეგორია:მათემატიკური ანალიზის დარგები]] | ||
მიმდინარე ცვლილება 13:31, 19 ივლისი 2024 მდგომარეობით
ნამდვილი რიცხვები – რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს ერთად ნამდვილი რიცხვები ეწოდებათ. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება R ასოთი.
ნამდვილი რიცხვები შეიძლება განვმარტოთ, როგორც სასრული და უსასრულო ათწილადების ერთობლიობა.
ნამდვილი რიცხვები გამოისახებიან კოორდინატთა წრფეზე, როგორც წერტილები, ისე, რომ ყოველ ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე შეესაბამება ერთი წერტილი და კოორდინატთა წრფის ყოველ წერტილს შეესაბამება ერთი ნამდვილი რიცხვი.
ნამდვილი რიცხვების შეკრებას და გამრავლებას გააჩნიათ შემდეგი თვისებები:
თუ a და b ნამდვილი რიცხვებია (ალგებრული, რაციონალური, მთელი, მთელი დადებითი), მაშინ ასეთებივეა a + b და ab (ჩაკეტილობა),
- a + b = b + a (კომუტატურობა, გადანაცვლება),
- a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (ასოციაციურობა),
- a (b c) = (a b) c = a b c (ასოციაციურობა),
- a · 1 = a,
- a (b + c) = ab + ac (დისტრიბუციულობა),
- ტოლობიდან a + c = b + c გამომდინარეობს, რომ a = b.
- ტოლობიდან ca = cb, c ≠ 0 გამომდინარეობს, რომ a = b (შეკვეცა).
ნამდვილ რიცხვს 0 (ნული) გააჩნია თვისებები: a + 0 = a, a·0 = 0, ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის.
ყოველი ნამდვილი a რიცხვისათვის მოპირდაპირე – a რიცხვი და შებრუნებული რიცხვი a-1 = 1 /a, შესაბამისად განისაზღვრებიან ტოლობებით:
- a +(-a) = a - a = 0, a∙a-1= 1 (a ≠0).
ნულზე გაყოფა არ შეიძლება
სარჩევი |
[რედაქტირება] შეკრება და გამრავლება
თუ a და b თუ ნამდვილი რიცხვებია, მაშინ ნამდვილია a + b და a b რიცხვებიც ნამდვილი და ადგილი აქვს ტოლობებს:
a + b = b + a, ab = ba (კომუტატიურობა),
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (bc)=( ab)c = abc (ასოციაციურობა),
a · 1 = a a(b + c)= ab + ac (დისტრიბუციულობა).
თუ a + c = b + c, მაშინ a=b.
თუ ac = bc, c≠ 0, მაშინ a=b.
ნამდვილი 0 (ნული) რიცხვისათვის a + 0 = a, a· 0 = 0
a-ს მოპირდაპირე რიცხვია - a, ხოლო შებრუნებული რიცხვია a-1)=1/a; შესაბამისად: a + ( - a) = a - a = 0, a· a-1 = 1 (a≠0).
[რედაქტირება] უტოლობა
თუ a > b, მაშინ:
b < a; a + c > b + c; ac > bc (c > 0); ac < bc (c < 0); -a < -b; 1/a< 1/b.
თუ a ≤ A და b ≤ B, მაშინ: a + b ≤ A + B. დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია.
[რედაქტირება] აბსოლუტური სიდიდე
განსაზღვრის თანახმად |a|=a, თუ a>0, და |a| = - a, თუ a < O.|a| ≥ O.
თუ |a| = O, მაშინ a = O.
||a|-|b||≤|a + b|≤|a|+|b|; ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a|∙|b|; |a/b|=|a|/|b| (b≠O).
თუ |a| ≤ A და |b|≤B, მაშინ: |a + b|≤ A + B და |ab| ≤ AB
[რედაქტირება] ხარისხები და ფესვები
am∙an = am+n; am//an = am-n; (ab)m=am bm; (a/b)m = am/bm; (am)n = amn. a-m = 1/am (a ≠ O).
