უსასრულოდ დაშორებული ელემენტები

უსასრულოდ დაშორებული ელემენტები (არასაკუთრივი ელემენტები) – გეომეტრიაში, ელემენტები: წერტილი, წრფე, სიბრტყე, რომლებითაც შეივსება შესაბამისად ევკლიდური წრფე, ევკლიდური სიბრტყე ან ევკლიდური სივრცე. წრფეს (სიბრტყეს, სივრცეს), რომელიც შევსებულია არასაკუთრივი წერტილით (წრფით, სიბრტყით) ეწოდება პროექციული წრფე (პროექციული სიბრტყე, პროექციული სივრცე).

არასაკუთრივი ელემენტები გეომეტრიაში დეზარგმა შემოიყვანა (1639). ტერმინი „უსასრულოდ დაშორებული“ პირველად გამოჩნდა კეპლერის „ახალ ასტრონომიაში“ (1609). ტერმინები „საკუთრივი“, „არასაკუთრივი“ მიეკუთვნება შტუდს (1902).

მათემატიკაში იყენებენ რიცხვთა სისტემებთან უსასრულო „არასაკუთრივი ელემენტების“ მიერთების ორ ხერხს:

ა) გეგმილური თვალსაზრისით, წრფეზე არსებობს ერთი „უსასრულოდ დაშორებული წერტილი“. ჩვეულებრივ მეტრიკულ საკოორდინატო სისტემაში ამ ელემენტს შეესაბამება აბსცისა ∞. არასაკუთრივი ელემენტისათვის სრულდება შემდეგი მოქმედებები:

∞ + a = ∞, თუ a სასრულია; ∞ + ∞, არა აქვს აზრი;

∞ · a = ∞, თუ a≠0; ∞ · 0, არა აქვს აზრი.

ბ) ნამდვილი ცვლადის ნამდვილი ფუნქციების შესწავლისას ნამდვილ რიცხვთა სისტემას ავსებენ ორი არასაკუთრივი ელემენტით: +∞ და -∞. ამ შემთხვევაში შეიძლება ჩავთვალოთ, რომ -∞<a<+∞ ყოველი სასრული a რიცხვისათვის და შესაძლებელია უტოლობათა ძირითადი თვისებების შენარჩუნება გაფართოებულ სისტემაში. +∞ და -∞ -თვის მოქმედებები ასე განისაზღვრება:

(+∞)+a = +∞, თუ a≠-∞; (+∞) · a = +∞, თუ a > 0;

(-∞)+ a = -∞, თუ a≠+∞; (+∞) · a = -∞, თუ a < 0;

(+∞) + (-∞), არა აქვს აზრი; (-∞) · a = -∞, თუ a > 0;

(+∞)·0 და (-∞)·0, არა აქვს აზრი; (-∞) · a = +∞, თუ a<0.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი