უტოლობა

უტოლობა – ორი გამოსახულებისაგან შემდგარი ფორმულა, როდესაც გამოსახულებებს შორის მოთავსებულია ერთ-ერთი შემდეგი ნიშნებიდან >, ≥, <, ≤, ≠, >>, <<. უტოლობები გამოსახავენ რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის თანაფარდობას, რომლებიც მიუთითებენ, თუ რომელი მათგანია მეტი ან ნაკლები.

უტოლობას ეწოდება იგივეობრივი, თუ ის მართებულია მასში შემავალ ასოთა ყველა მნიშვნელობისათვის.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს უცნობთა იმ მნიშვნელობების პოვნას, რომლებისთვისაც მოცემული უტოლობა მართებულია.

უტოლობათა თვისებები ბევრად ანალოგიურია განტოლებათა თვისებებისა:

უტოლობიდან a > b, გამომდინარეობს:

b<a, a+c>b+c, ac>bc (c>0), ac <bc (c<0), -a<-b, 1/ a< 1/b (ab > 0).

დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია.

უტოლობებიდან a ≤ A და b ≤ B, გამომდინარეობს a + b ≤ A+B.

მრავალი უტოლობის სახელი ანალოგიურია შესაბამისი განტოლების სახელთან; მაგალითად:

განტოლება:		უტოლობა:
ა) ax+b=0, a #0 პირველი ხარისხის განტოლება.		ა) ax+b > 0, a≠0 პირველი ხარისხის უტოლობა.
ბ) ax2+bx+c=0, a #0 >კვადრატული განტოლება.		ბ) ax2+bx+c > 0, ან ax2+bx+c<0, a≠0 კვადრატული უტოლობა.
გ) aoxn+a1xn-1 + . . . +an = 0, a≠0, n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის ალგებრული განტოლება		გ) aoxn+ a1xn-1+...+an>0, a≠0, n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის >ალგებრული უტოლობა
დ) lgx = 2 - ლოგარითმული განტოლება		დ) Igx > 2 (ან lgx < 2) – ლოგარითმული უტოლობა.

ქვემოთ მოგვყავს ზოგიერთი მნიშვნელოვანი უტოლობა:

1) უტოლობა მოდულებისათვის. ნებისმიერი ნამდვილი ან კომპლექსური a₁,a₂,⋯a_n რიცხვებისათვის სამართლიანია უტოლობა

| a₁ + a₂ + ...+ a_n | ≤ |a₁ | + | a₂ | +...| +a_n |.

2) უტოლობები საშუალო მნიშვნელობებისათვის. ყველაზე უფრო ცნობილია უტოლობები, რომლებიც აკავშირებენ ჰარმონიულ, გეომეტრიულ, არითმეტიკულ და კვადრატულ საშუალოებს:

აქ ყველა a₁, a₂, ⋯,a_n რიცხვი დადებითია.

sinx ≤ x; sinx ≥ x - sinx ≤ x - და ა. შ.

cosx ≥ 1 - ; cosx ≤ 1 - 1 – cosx ≤ ; 1 – cosx ≥ და ა.შ.

ტოლობის ნიშნის შემოღების შემდეგ ინგლისელმა მეცნიერმა თომას ჰარიოტმა შემოიღო ამჟამდ გამოყენებული უტოლობის ნიშნები (ჰარიოტის ნაწარმოების პუბლიკაცია მოხდა მისი გარდაცვალების შემდეგ, 1631). მან თავისი ახლად შემოღებული აღნიშვნები ასე დაასაბუთა: თუ ორი სიდიდე ტოლი არ არის, მაშინ ამ თანაფარდობის გამომსახველი მონაკვეთები არ არიან პარალელურნი, ისინი იკვეთებიან. გადაკვეთა შეიძლება მოხდეს მარჯვნივ (>) ან მარცხნივ (<). მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობის ნიშნები შემოთავაზებული იყო 74 წლით გვიან, ვიდრე ტოლობის ნაშანი, მათი გამოყენება გაცილებით ადრე დაიწყეს. ერთ-ერთი მიზეზი იყო ის, რომ სტამბაში უტოლობისათვის გამოიყენეს უკვე არსებული ასო V, მაშინ, როცა ტოლობის ასაწყობი ნიშანი მათ არ გააჩნდათ. ნიშნები ≥ და ≤ გამოყენებული იქნა ერთი საუკუნის შემდეგ პარიზელი ჰიდროგრაფის ბუგეს მიერ და მალე დაიწყეს მათი გამოყენება (თუმცა ვალისის მიერ 1670 წ. შემოთავაზებული ანალოგიური ნიშნები, როგორც ჩანს შეუმჩნეველი დარჩა). ნიშნები >> და << შემოღებულ იქნა პუანკარეს და ბორელის მიერ (1901) მწკრივების შედარებისას და შემდგომში მიიღეს „გაცილებით მეტის“ და „გაცილებით ნაკლების“ მნიშვნელობა.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი