დეკარტე რენე
| (ერთი მომხმარებლის 27 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
[[ფაილი:Descart.JPG|thumb|200პქ|რენე დეკარტე]] | [[ფაილი:Descart.JPG|thumb|200პქ|რენე დეკარტე]] | ||
| − | '''დეკარტე რენე''' - | + | '''დეკარტე რენე''' - (ფრანგ. René Descartes; დ. 31 მარტი, 1596, ლაე ― გ. 11 თებერვალი, 1650, სტოკჰოლმი), ფრანგი ფილოსოფოსი და მათემატიკოსი. |
| − | + | ==== ბიოგრაფია ==== | |
| + | რენე დეკარტი დაიბადა 1596 წლის 31 მარტს ტურენში ([[საფრანგეთი]]), [[აზნაური]]ს ოჯახში. დედა ჭლექით გარდაიცვალა დეკარტის დაბადების რამდენიმე დღის შემდეგ; თვითონაც ბავშვობაში მეტად სუსტი ყოფილა. 8 წლის დეკარტი შეიყვანეს [[იეზუიტები|იეზუიტთა]] სკოლაში, სადაც ასწავლიდნენ სქოლასტურ ფილოსოფიას და ბუნებისმეტყველებას; განსაკუთრებულ ინტერესს იგი იჩენდა [[მათემატიკა|მათემატიკისადმი]]. ცხრა წლის განმავლობაში იქ სწავლის ნაყოფს დეკარტი მაინც და მაინც დიდად არ აფასებდა. მაშინდელმა მეცნიერებამ ის სკეპტიციზმამდე მიიყვანა. თეოლოგიისადმი დეკარტი არავითარ მოწოდებას არ გრძნობდა, ამიტომ ფილოსოფიას მიმართა. აქაც მალე დარწმუნდა, რომ საუკუნეთა განმავლობაში ჭეშმარიტისათვის ფილოსოფიას არ მიუგნია; ამასთან იგი არც მასთან დაკავშირებულ მეცნიერებათა წარმატებაშია დარწმუნებუნებული. ერთადერთი საგანი, რაშიც დეკარტიმ იპოვა კმაყოფილება, მათემატიკა იყო, თუმცა მათემატიკის შესახებაც გაკვირვებით ამბობდა, თუ რატომ არ არის აგებული გრანიტისებური სიმტკიცის ასეთ საფუძველზე უფრო მაღალი რამ, ვიდრე მისი პრაქტიკულ [[მექანიკა]]ში გამოყენება. სასკოლო განათლებას დეკარტიმ ზურგი შეაქცია და გადაწყვიტა, არ ეძებნა სხვა მეცნიერება, გარდა იმისა, რომელსაც ის იპოვიდა თავის თავში ან „სამყაროს წიგნში“. ამისათვის მან ბევრი დრო მოანდომა მოგზაურობას, რომ თავისი თავი გამოეცადა სხვადასხვა მდგომარეობაში. აგრეთვე, უხდებოდა რა სხვადასხვა ხალხში ყოფნა, სწავლობდა მათ ყოფაცხოვრებას და აგროვებდა გამოცდილებას. | ||
| − | + | ===== სწავლისა და მოგზაურობის წლები ===== | |
| + | იეზუიტთა სკოლის დამთავრებისას (1612 წელს) დეკარტს მომავლისათვის გარკვეული გეგმა არ ჰქონია. იგი, როგორც წარმოშობით აზნაური, იძულებული იყო, მაშინდელი ტრადიციის ძალით, სამხედრო კარიერისათვის მომზადებულიყო. ამის გამო ის დიდ დროს ანდომებდა ფიზიკურ ვარჯიშს, რათა გაემაგრებინა თავისი ჯანმრთელობა და გამოეწრთო ორგანიზმი. მალე დეკარტი მიემგზავრება პარიზში, სადაც არაწესიერ ცნოვრებას ეწევა მოქეიფე და ქალებთან მოსეირნე ახალგაზრდათა წრეში. პარიზში დეკარტი შეხვდა თავის სკოლის ამხანაგს, მერსენს. ამ დროისათვის მერსენი უკვე ბერი იყო და ეწეოდა მეცნიერულ კვლევა-ძიებას. მან დეკარტსაც გაუღვიძა მეცნიერებისადმი თითქმის მიყრუებული ინტერესი. დეკარტს მალე მობეზრდა უქნარა საზოგადოებაში ყოფნა და მოულოდნელად გაქრა თავისი ნაცნობების წრიდან; მამამაც კი არ იცოდა, თუ სად იმყოფებოდა შვილი ორი წლის განმავლობაში. დეკარტი განცალკევებულად დასახლდა პარიზის გარეუბანში. აქ მეცნიერებაში ჩაფლულ ახალგაზრდას ხელს არ უშლიდა დიდი [[ქალაქი]]ს ხმაური, მაგრამ მეცნიერული მუშაობაც მალე მობეზრდა და გაემგზავრა ჰოლანდიაში მოხალისედ მორიც ორანელის ჯარში. | ||
| − | + | ჯარში ყოფნის დროს დეკარტს ბევრი თავისუფალი დრო ჰქონდა და ხშირად უნდებოდა ქალაქში გასეირნება. და აი, ერთხელ დეკარტის ყურადღება მიიპყრო [[ქუჩა]]ში კედელზე გაკრული განცხადების წინ მდგომმა ჯგუფმა. განცხადება დაწერილი იყო დეკარტისათვის უცხო, ფლამანდურ ენაზე. მან ერთ-ერთ გამვლელთაგანს თხოვნით მიმართა, რომ მისთვის გადაეთარგმნა განცხადების შინაარსი; განცხადება საჯარო გამოწვევა იყო რომელიღაც გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნაზე. ეს უცნობი გამვლელი, რომელსაც დეკარტიმ მიმართა, აღმოჩნდა მათემატიკის პროფესორი ბეკმანი, მან დეკარტს ირონიით უპასუხა, რომ გადაუთარგმნის ამოცანის შინაარსს, თუკი განიზრახავს მის ამოხსნას. დეკარტიმ მეორე დღესვე მიუტანა ბეკმანს ამოხსნილი ამოცანა და ამის შემდეგ მან დაიწყო ბეკმანის ხელმძღვანელობით მათემატიკაში მეცადინეობა, რომელიც გრძელდებოდა ჰოლანდიაში ყოფნის ორი წლის განმავლობაში. | |
| − | + | უკვე დაწყებული ოცდაათწლიანი ომის სისხლისმღვრელ ბრძოლებში მონაწილეობის მიღების სურვილი აიძულებს დეკარტს დატოვოს მშვიდობიანი ჰოლანდია. ის ჩაეწერა ბოჰემიაში მიმავალ ბავარიის ჯარში და მონაწილეობა მიიღო პრაღასთან ბრძოლაში. მეორე დღესვე დეკარტიმ დატოვა გამარჯვებული ჯარი, 1621 წელს კი [[სამხედრო სამსახური|სამხედრო სამსახურს]] სულ დაანება თავი, განაცხადა რა, რომ ბევრს სამხედრო სამსახურში იზიდავს უქმად ყოფნა და გარყვნილებაო. მიუხედავად ამისა, დეკარტიმ სამხედრო სამსახურის პერიოდმიც უაღრესად დიდი საქმე გააკეთა მეცნიერებაში; მაგალითად, ზამთარში მიყრუებულ პატარა ქალაქ ნეიბურგში უსაქმოდ ყოფნა გამოიყენა მეცნიერული მუშაობისათვის და სწორედ იქ, როგორც თვითონ ამბობს, 1619 წლის 10 ნოემბერს უეცრად მიაგნო თავის ანალიზურ მეთოდს, რომლის პირველი ნაყოფი [[ანალიზური გეომეტრია]] იყო. | |
| − | + | სამხედრო სამსახურიდან წასვლის შემდეგ დეკარტი მიემგზავრება ბრიუსელსა და ჰააგაში, გაივლის საფრანგეთში, რომ იქ გაყიდოს შთამომავლობით მიღებული მამული, იქიდან კი მიემგზავრება [[იტალია]]ში. 1625 წელს დეკარტი დაბრუნდა პარიზში, რომელიც მაშინ სამეცნიერო ცენტრი იყო. მერსენის გარშემო თავმოყრილ მეცნიერთა ჯგუფმა უკვე შეადგინა მომავალი აკადემიის ჩანასახი და დეკარტიც ამ ჯგუფის ერთ-ერთი საქმიანი წევრი გახდა. რამდენიმე ხნის შემდეგ მუდამ ახალ შთაბეჭდილებათა მაძიებელი დეკარტი მონაწილეობას ღებულობს ჰუგენოტების უკანასკნელი ციხე-სიმაგრის — ლა-როშელის — ალყასა და მეფის ამალასთან ერთად აღებულ ქალაქში შესვლაში. | |
| − | + | დეკარტის ახალი იდეების მიმდევართა წრე თანდათან ფართოვდება. მისი მეგობარი მეცნიერები დაჟინებით მოითხოვენ, რომ დეკარტს მალე გამოექვეყნებინა სისტემა, რომლისაგან ისინი მოელოდნენ ფილოსოფიის განახლებას და მეცნიერების რეფორმას. მაგრამ პარიზის ღვთისმეტყველების ფაკულტეტი მტრულად იყო განწყობილი დეკარტის იდეების მიმართ და იმუქრებოდა კიდეც. ამის გამო 1629 წელს დეკარტიმ დატოვა საფრანგეთი და გადასახლდა ჰოლანდიაში, რომ იქ, თანახმად მისი დევიზისა: „კარგად იცხოვრა იმან, ვინც კარგად დაიმალა“, — გაეგრძელებინა მეცადინეობა უფრო მშვიდობიან პირობებში. | |
| + | ===== სტოკჰოლმი ===== | ||
| + | გადასახლების ოთხი წლის შემდეგ დეკარტი წერს შრომას: „სამყარო ანუ ტრაქტატი სინათლის შესახებ“. მაგრამ ეკლესიის შიშით მან ეს შრომა ვერ გამოაქვეყნა, რადგან ის შეიცავდა ეკლესიის დოგმების საწინააღმდეგო აზრებს; ნაშრომი გამოქვეყნდა მხოლოდ მისი სიკვდილის შემდეგ. თავისუფალი აზროვნებისათვის ეკლესიის მხრივ დევნისაგან დეკარტს ძალიან იცავდა მერსენი. როდესაც დეკარტი უკვე სახელგანთქმული გახდა მთელ [[ევროპა]]ში, მასსა და [[შვედეთი]]ს მეფე ქრისტინეს შორის გაიმართა ფილოსოფიური შინაარსის მიწერ-მოწერა, რის შემდეგ მეფემ დეკარტი მიიწვია თავისთან — სტოკჰოლმში. დეკარტი პირველ ხანებში არ თანხმდებოდა გამგზავრებაზე და ამბობდა: „ის ადამიანი, რომელიც ტურენის ბაღებში დაიბადა და ახლა ცხოვრობს ისეთ ქვეყანაში, სადაც თაფლი თუ არა, რძე მაინც დის იმაზე მეტი, ვიდრე აღთქმის ქვეყანაში, ძნელად გადაწყვეტს წასვლას დათვების ქვეყანაში, რათა იქ იცხოვროს კლდეებსა და ყინულებში“. მიუხედავად ამ სიტყვებისა, დეკარტი მაინც დათანხმდა და 1649 წელს გაემგზავრა სტოკჰოლმში, სადაც ის მეტად გულთბილად მიიღეს. მეფე ქრისტინეს უნდოდა დეკარტი სამუშაოდ დაეტოვებინა შვედეთში და მას სამეფოს საუკეთესო ადგილას დიდი მამულიც აჩუქა. მანდეკარტი მიიწვია იმ ანგარიშით, რომ დეკარტს მისთვის გაკვეთილები მიეცა ახალ ფილოსოფიაში და დახმარებოდა სტოკჰოლმში მეცნიერებათა აკადემიის დაარსებაში. | ||
| + | დეკარტი ბევრს მუშაობდა სტოკჰოლმში აკადემიის დაარსების საკითხებზე; გარდა ამისა, ის ყოველ დღე, დილის ხუთ საათზე უნდა გამოცხადებულიყო სასახლის [[ბიბლიოთეკა]]ში მეფე ქრისტინესთან სამეცადინოდ. ყინვიან ზამთარში სახლიდან ისე ადრე გამოსვლამ ძალიან ცუდად იმოქმედა დეკარტის ისედაც სუსტ ჯანმრთელობაზე: ამის გამო ერთხელ მას უთქვამს: „ვისაც უნდა ეს კარგი მათემატიკოსი იყოს და მასთან ერთად ჯანმრთელობა შეინარჩუნოს, დილით არ უნდა ადგეს მანამდე, სანამ კარგად არ გამოიძინებს და თვითონაც არ იგრძნობს ლოგინის დატოვების სურვილს“. | ||
| − | + | იქაურმა პირველმავე ზამთარმა დაღუპა დეკარტის ჯანმრთელობა: 1650 წლის თებერვალში იგი ფილტვების ანთებით გარდაიცვალა. გარდაცვალების 16 წლის შემდეგ საფრანგეთის მთავრობამ, რომელიც დეკარტის სიცოცხლეში მასზე ძალიან ცოტას ზრუნავდა, მოითხოვა მისი ნეშტის სამშობლოში გადმოსვენება: იგი ზარ-ზეიმით დაკრძალეს პარიზში, ახლანდელ პანთეონში, მაგრამ მაინც ქებათა-ქების შესხმა ყველას სასტიკად აუკრძალეს. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | [[ | + | ==== სამეცნიერო საქმიანობა ==== |
| − | [[კატეგორია: | + | |
| + | ჰოლანდიაში ყოფნის დროს 1637 წელს დეკარტიმ გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომი „ფილოსოფიური ცდები“, რომელიც ოთხ თხზულებას შეიცავს: 1) „მსჯელობა მეთოდზე“, 2) „მეტეორები“, 3) „დიოპტრიკა“ და 4) „გეომეტრია“. უკანასკნელის გარდა დეკარტის მათემატიკურ ნაშრომებს ვპოულობთ სხვადასხვა პირთან მიწერ-მოწერაში. | ||
| + | |||
| + | ===== რენე დეკარტის მათემატიკური რეფორმა: გადასვლა ანტიკური სტატიკიდან ანალიზურ გეომეტრიაზე ===== | ||
| + | მათემატიკის განვითარებაში დეკარტის დიდი დამსახურება ნათელი რომ გახდეს მკითხველისათვის, საჭიროა ორიოდე სიტყვით შევეხოთ იმ დამახასიათებელ პირობებსა და მიზეზებს, რომლებმაც გავლენა იქონიეს მათემატიკურ მეცნიერებათა განვითარებაში, განსაზღვრეს მათემატიკის შინაარსი. | ||
| + | |||
| + | ისტორიკოს ცეიტენის გადმოცემით, ძველი საბერძნეთის [[გეომეტრია]]მ განვითარების უმაღლეს საფეხურს მიაღწია ძველი ერას დასასრულს. მისი აზრით, გეომეტრიამ განვითარება შეწყვიტა ჩვენი ერადან. ამის მთავარ მიზეზებად ცეიტენი თვლის: | ||
| + | |||
| + | 1) ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების მიერ გამოყენებითი მათემატიკის უგულებელყოფას.<br /> | ||
| + | 2) თვით მეცნიერული კვლევითი მეთოდის უვარგისობას. | ||
| + | |||
| + | პირველი მიზეზი არ შეიძლება სავსებით მართებულად ჩაითვალოს: მართალია, [[ევკლიდე]] უგულებელჰყოფდა მათემატიკის გამოყენებით მხარეს, მაგრამ [[არქიმედე]] ამ მხრივ დიდ მუშაობას ეწეოდა. ის ხომ სტატიკის ფუძემდებელია და საერთოდ ყოველი მის მიერ ამოხსნილი ამოცანა გამოყენებითი ხასიათისაა? | ||
| + | |||
| + | მეორე მიზეზი კი აუცილებლად მხედველობაში მისაღებია. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების მიერ ხმარებული დამტკიცების — ამოწურვის — მეთოდი მეტად ვეებერთელა და უმარჯვო იყო, მათ გეომეტრიაში გააკეთეს ყველაფერი, რისი გაკეთებაც ამ მეთოდის საშუალებით შეიძლებოდა. შემდეგში, გეომეტრიის განვითარებისათვის აუცილებელი იყო მეთოდის შეცვლა, ეს კი ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა ვერ შეძლეს. დეკარტიმ კი ახალი მეთოდი გამოიგონა, რომელსაც ის „ანალიზურ მეთოდს“ უწოდებს; ეს მეთოდი ზოგადი ფილოსოფიური თვალსაზრისით იმაში მდგომარეობს, რომ თეორიული სიძნელე უნდა დაიშალოს მის შემადგენელ ་ ნაწილებად და შემდეგ უადვილესსა და უმარტივესიდან ვიაროთ უფრო რთულისაკენ. დეკარტის გეომეტრია წარმოადგენს მისი ზოგადი ანალიზური მეთოდის გამოყენებას. | ||
| + | |||
| + | საკითხი იბადება, რატომ ვერ შეძლეს ძველმა ბერძნებმა თავიანთი ამოწურვის მეთოდის შეცვლა სხვა მეთოდით? სხვა შესაძლო მიზეზებთან ერთად ამის ერთ-ერთი მთავარი მიზეზია თვით ამოწურვის მეთოდის გამოგონების მიზეზი. ისტორიკოსების გადმოცემით, ამოწურვის მეთოდის მიზანი იყო უსასრულობის ცნების გარეშე თეორემების დამტკიცება, თუმცა ამ მეთოდით დამტკიცებისას ძველი ბერძნები მაინც იძულებული იყვნენ ამ ცნებას დაყრდნობოდნენ, მაგრამ შენიღბულად, სიტყვა „[[უსასრულობა (მათემატიკა)|უსასრულობის]]“ გვერდის ახვევით. | ||
| + | |||
| + | რამ აიძულა ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსები, რომ ასეთი მეთოდი გამოეგონებინათ? ისტორიკოსების გადმოცემით, მათემატიკოსებსა და [[სოფისტები|სოფისტებს]] შორის დავა მიმდინარეობდა უსასრულობის ცნების და საერთოდ მოძრაობის რეალობის გარშემო. ძენონი სავსებით უარყოფდა მოძრაობის ფიზიკურ რეალობას, მისი ცნობილი სოფიზმები ამტკიცებს მოძრაობის შეუძლებლობას: რადგან საბერძნეთის მათემატიკოსებმა ძენონის სოფიზმები ვერ დაარღვიეს, ამიტომ ძენონს დაუჯერეს და მოძრაობის რეალობაზე და მასთან დაკავშირებული უსასრულობის ცნებაზე სამუდამოდ ხელი აიღეს. ამრიგად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკის განვითარების საქმეს სოფისტებმა დიდი ზიანი მიაყენეს. რადგან მოძრაობის რეალობა უარყოფილ იქნა, ძველ საბერძნეთში მექანიკის განვითარება სტატიკის იქით არ წასულა: გეომეტრიაც კი იმდენად განვითარდა, რამდენადაც ამას სტატიკა მოითხოვდა. გეომეტრიის განვითარებაზე რომ სტატიკას ჰქონდა გავლენა, ამაში გვარწმუნებს [[არქიმედე]]ს ნაშრომები. სტატიკის ყოველ ამოცანას არქიმედე წყვეტს სათანადო გეომეტრიული თეორემების გამოყენებით. არქიმედე არა თუ გეომეტრიას იყენებდა სტატიკაში, არამედ, პირიქით, სტატიკას იყენებდა გეომეტრიული ამოცანების ამოსახსნელად (მაგალითად, პარაბოლური სეგმენტის კვადრატურის მექანიკური ხერხი). | ||
| + | |||
| + | ამრიგად, გეომეტრიის განვითარება უნდა შესუსტებულიყო, რადგან მექანიკის განვითარება შეჩერდა. | ||
| + | |||
| + | უნდა აღინიშნოს, რომ პირველი ნაბიჯი მათემატიკაში, სახელდობრ გეომეტრიაში, [[მოძრაობა|მოძრაობის]] ცნების შეყვანის საქმეში ისევ ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა გადადგეს; ეს ემჩნევა არქიმედეს მიერ ზოგიერთი მრუდის, კერძოდ [[ხვია (სპირალი)|ხვია]]ს, განსაზღვრას: „თუ წრფეს მის ერთ დამაგრებულ ბოლო [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილი]]ს გარშემო თანაბრად ვამოძრავებთ [[სიბრტყე (გეომეტრია)|სიბრტყე]]ზე მანამდე, სანამ ის მის საწყის მდებარეობას არ დაუბრუნდება და იმავე დროს ამ წრფეზე დამაგრებული ბოლო წერტილიდან თანაბრად ვამოძრავებთ რომელიმე წერტილს, მაშინ ეს წერტილი ხვიას შემოწერს“ (იხ. Oeuyres d'Archimede, traduites par F. Peyrard 1807, 33. 236). არქიმედე აგრეთვე განიხილავდა ნაკვთის ბრუნვით შექმნილ სხეულებსაც. | ||
| + | |||
| + | [[დინამიკა (მექანიკა)|დინამიკის]] გამოგონების ჩანასახს ძველ საბერძნეთშიც ვხედავთ, მაგალითად, პაპოსის თეორემაში, რომელიც შემდეგში გულდენმა ხელმეორედ აღმოაჩინა. | ||
| + | |||
| + | [[გალილეი გალილეო|გალილეი]]ს მიერ დინამიკის გამოგონებამ გამოიწვია აუცილებელი საჭიროება გეომეტრიის განვითარებისა ანუ ისეთი ახალი გეომეტრიისა, რომელიც მოძრაობისა და [[ცვლადი სიდიდე|ცვლადი სიდიდის]] ცნებაზე უნდა ყოფილიყო აგებული. სწორედ ასეთია დეკარტის ანალიზური გეომეტრია. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გამოგონებაში დეკარტის დახმარება გაუწია ისევ ძველი საბერძნეთის მათემატიკოს პაპოსის ნაშრომმა, რომელშიც მოცემული ოთხი წრფისადმი გეომეტრიული ადგილის განზოგადება ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი გამოსავალი წერტილი გახდა დეკარტის ანალიზური გეომეტრიისათვის. | ||
| + | |||
| + | დეკარტის უაღრესად დიდი ღვაწლი იმაშია, რომ მან შემოიყვანა ასოებრი [[ალგებრა]] და ცვლადი სიდიდე, რომლებიც სრულიად უცხო იყო ძველი საბერძნეთის მათემატიკისათვის, მოახდინა გეომეტრიის არითმეტიზაცია; მისი გეომეტრიის პირველსავე გვერდზე ის წერს: „მე უშიშრად შემოვიყვან ამ არითმეტიკულ ტერმინებს გეომეტრიაში“, დეკარტმა მოგვცა გეომეტრიისადმი ალგებრის გამოყენება კოორდინატთა მეთოდთან დაკავშირებით, რომელსაც ჩვენ ახლა ანალიზურ გეომეტრიას ვუწოდებთ. ამ რეფორმებით დეკარტმა თამამად გადადგა პირველი ნაბიჯიუმაღლესი მათემატიკის შექმნისაკენ. | ||
| + | |||
| + | მოძრაობისა და ცვლადი სიდიდის მათემატიკაში შეყვანამ უსასრულობის მათემატიკის წარმოშობაზედაც გავლენა იქონია. [[უსასრულობა (მათემატიკა)|უსასრულობის]] ცნება, რომელიც სოფისტების გავლენით ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა უარჰყვეს, თავის ადგილს იჭერს მათემატიკაში, ამის შემდეგ, ბუნებრივია, აუცილებლად უნდა წარმოშობილიყო დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვა. ამას ადასტურებს აგრეთვე ენგელსის სიტყვები: „დეკარტის ცვლადი სიდიდე მათემატიკაში მობრუნების წერტილი იყო. მისი წყალობით მათემატიკაში შევიდა მოძრაობა და დიალექტიკა და მისივე წყალობით დაუყოვნებლივ აუცილებელი შეიქნა დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვა, რომელიც მაშინვე წარმოდგა და რომელიც ნიუტონმა და ლაიბნიცმა კი არ გამოიგონეს, არამედ ზოგადად და მთლიანად დაამთავრეს. | ||
| + | |||
| + | ===== გეომეტრიის დაყვანა არითმეტიკულ მოქმედებებამდე ===== | ||
| + | დეკარტის გეომეტრია სამი წიგნისაგან შედგება. პირველი წიგნის — „იმ ამოცანების შესახებ, რომლებიც შეიძლება ავაგოთ მხოლოდ წრისა და წრფეწირების საშუალებით“ დასაწყისში დეკარტი ამბობს, რომ გეომეტრიის ყველა ამოცანის მიყვანა შეიძლება ისეთ ტერმინებამდე, რომ მათ ასაგებად საჭირო იქნება რომელიღაც წრფეწირების მხოლოდ სიგრძის ცოდნა. ალგებრას დეკარტი უკავშირებს გეომეტრიას სიდიდეთა გამომსახველი ნაკვეთების საშუალებით. არითმეტიკული მოქმედებების გეომეტრიულ აგებულებებთან ურთიერთობას დეკარტი ხსნის შემდეგნაირად: „ისე როგორც არითმეტიკა შედგება მხოლოდ ოთხი ან ხუთი მოქმედებისაგან, სახელდობრ, [[შეკრება (არითმეტიკა)|შეკრება]], გამოკლება, [[გამრავლება]], [[გაყოფა (მათემატიკა)|გაყოფა]] და [[ფესვის ამოღება]], რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს რომელიღაც გვარის გაყოფად, ამის მსგავსად გეომეტრიაში საძებნი [[წირი|წირების]] განსაზღვრისათვის საჭიროა ამ წირებს მივუმატოთ ან გამოვაკლოთ სხვები; ანდა, თუ გვაქვს წირი, რომელსაც რიცხვებთან უფრო მჭიდრო კავშირის დასამყარებლად ვუწოდებთ ერთეულს და რომლის შერჩევა ჩვეულებრივად შეიძლება ნებისმიერად, და თუ გვაქვს კიდევ ორი სხვა წირი, საჭიროა ვიპოვოთ მეოთხე წირი, რომელიც ისე შეეფარდება ამ ორთაგან ერთს, როგორც ერთეული მეორეს; ეს კი იგივეა, რაც გამრავლება. ანდა ვიპოვოთ მეოთხე წირი, რომელიც ისე შეეფარდება ამ ორთაგან ერთს, როგორც ერთეული მეორეს: ეს კი იგივეა, რაც გაყოფა, ანდა, დასასრულ, ვიპოვოთ ერთი ან ორი, ან რამდენიმე საშუალო პროპორციულები ერთეულსა და რომელიმე მეორე წირს შორის; ეს კი იგივეა, რაც კვადრატული ან კუბური ფესვის ამოღება“. | ||
| + | [[ფაილი:Dekart naxazi.png|მარჯვნივ|150პქ|]] | ||
| + | ამასთან ერთად დეკარტი გვაძლევს ახსნას, თუ როგორ უნდა ავაგოთ ეს მოსაძებნი წირები. შემდეგ ის განიხილავს გეომეტრიაში ასოებრი აღნიშვნის ხმარების საკითხს: „ხშირად საჭირო არ არის ამ წირების [[ქაღალდი|ქაღალდზე]] გავლება, არამედ საკმარისია მათი აღნიშვნა [[ასო (ნიშანი)|ასო]]ებით, თითოეული წირი თითო ასოთი, ასე, BD წირი რომ მივუმატოთ GH წირს, ერთ მათგანს ვუწოდებ a-ს, მეორე — b-ს და ვწერ a + b; ვწერ a — b, როდესაც a-ს გამოვაკლებ b-ს, ხოლო ab-ს — მათი გადამრავლების შემთხვევაში; a-ს b-ზე გაყოფის დროს ვწერ [[ფაილი:Ab.png|15px|]] და aa ანუ a<sup>2</sup>, როდესაც a-ს თავის თავზე ვამრავლებ; a<sup>2</sup>, – როდესაც მას კიდევ a-ზე ვამრავლებ და ასე უსასრულოდ;[[ფაილი:Dekart 1.png|100px|]] ვწერ, როდესაც a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup> გამოსახულებიდან კვადრატულ [[ფესვი (მათემატიკა)|ფესვს]] ამოვიღებ, და [[ფაილი:Dekart 2.png|130px|]], — როდესაც კუბურ ფესვს ამოვიღებ, a<sup>3</sup> - b<sup>3</sup> + ab გამოსახულებიდან და ასე შემდეგ“. | ||
| + | |||
| + | ამოცანის ამოსახსნელი [[განტოლება|განტოლების]] მიღების შესახებ დეკარტი ამბობს: „თუ რომელიმე ამოცანის ამოხსნა გვსურს, საჭიროა ჯერ მისი განხილვა, როგორც ამოხსნილის, და სახელების მინიჭება ყველა წირისათვის როგორც ცნობილი, ისე უცნობისათვის, რომლებიც საჭიროა ამოცანის ასაგებად. შემდეგ კი, არ გავატარებთ რა არავითარ განსხვავებას ამ ცნობილებსა და უცნობებს შორის, უნდა გავითვალისწინოთ სიძნელე, მივსდიოთ რა იმ წესს, რომელიც უფრო ბუნებრივად გვიჩვენებს, თუ როგორ არიან ისინი ერთმანეთისაგან დამოკიდებული მანამ, სანამ არ იქნება მოძებნილი ერთისა და იმავე სიდიდის ორგვარად გამოსახვის საშუალება: ეს არის ის, რასაც განტოლება ეწოდება, ვინაიდან ამ ორი ხერხიდან ერთის საშუალებით მიღებული წევრები უდრის მეორეს საშუალებით მიღებულთ“. ამის შემდეგ დეკარტი გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა ავაგოთ მხოლოდ წრფისა და [[წრე|წრის]] საშუალებით (ანუ სახაზავისა და ფარგლის საზუალებით) განტოლებები: | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Dekart 3.png|200px|]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | მათ ამოხსნებს დეკარტი წერს შემდეგი სახით: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Dekart 5.png|250px|]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | (<big>∞</big> რის მის მიერ შემოყვანილი ტოლობის ნიშანი). | ||
| + | |||
| + | იქვე მოცემულია სათანადო ოთხი ნაკვთი. | ||
| + | |||
| + | დაბოლოს დეკარტი წერს: „იგივე ფესვები შეიძლება უამრავი სხვა ხერხით მოვძებნოთ; ამ სხვა ხერხების მოყვანა მსურდა მხოლოდ მათი სიმარტივის გამო და იმის ჩვენების მიზნით, რომ ჩვეულებრივი გეომეტრიის ყველა ამოცანა შეიძლება ავაგოთ ისე, რომ არ მივმართოთ სხვას, გარდა იმისა, რასაც შეიცავს ჩემ მიერ ახსნილი ოთხი ნაკვთი. მე მგონია, ძველებმა ვერ შეამჩნიეს ეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი არ დაწერდნენ იმდენ სქელ წიგნებს, რომლებშიც მარტო წინადადებათა მიმდევრობა გვიჩვენებს, რომ მათ არ გააჩნდათ ჭეშმარიტი მეთოდი, რომელიც საშუალებას მისცემდა ყველაფერი ეპოვნათ“. | ||
| + | |||
| + | ამის შემდეგ დეკარტს მოყავს პაპოსის წიგნიდან გრძელი ციტატა: „აი, როგორია ის ადგილი — სამი ან ოთხი წირის მიმართ, რომლის შესახებ აპოლონიუსი თავის თავზე დიდ ქებას ფლანგავს, არ ამჟღავნებს რა არავითარ მადლობას მისი წინაპრების მიმართ. თუ მოცემულია სამი [[წრფე]] და ამ წრფეებისადმი ერთისა და იმავე წერტილიდან გავლებულია მოცემული კუთხით სამი წრფე და აგრეთვე მოცემულია გავლებულ ორ წრფეზე აგებული [[მართკუთხედი]]ს შეფარდება მესამეს კვადრატთან, მაშინ წერტილი იმყოფება მდებარეობით მოცემული სხეულის ადგილზე, ე. ი. სამი [[კონუსური კვეთები|კონუსური კვეთიდან]] ერთ-ერთზე. შემდეგ, თუ მოცემული ოთხი წრფისადმი მოცემული კუთხით გავავლებთ სხვა ოთხ წრფეს და მოცემულია ორ გავლებულ წრფეზე მართკუთხედის შეფარდება ორ სხვა წრფეზე მართკუთხედთან, მაშინ წერტილი იმყოფება მდებარეობით მოცემულ კონუსურ კვეთზე. მეორეს მხრივ, თუ მხოლოდ ორი წრფე იქნება, მაშინ დადგენილია, რომ ადგილი ბრტყელი იქნება“… აშკარაა, ეს უკანასკნელი არის ახლა ჩვენ მიერ ხმარებული [[ირიბკუთხა კოორდინატები]]ს მიმართ წირის განხილვა. სწორედ პაპოსის ამ სიტყვებმა მისცა დეკარტს [[კოორდინატები]]ს შემოღებისა და ანალიზური გეომეტრიის გამოგონების საბაბი. დეკარტი ავითარებს პაპოსის აზრს და ამ უკანასკნელის ამოცანას აყალიბებს ალგებრული მეთოდით: დავუშვათ, რომ (ნახ.10) AB, AD, EF, GH და ასე შემდეგ მდებარეობით მოცემული წრფეებია. უნდა მოიძებნოს რაიმე წერტილი, მაგალითად C, რომლიდან შეიძლება გავავლოთ თითო წრფე მოცემული კუთხით თითოეული მოცემული წრფისადმი ისე, რომ საძებნი წერტილიდან გავლებული ორი წრფის ან მეტის ნამრავლს ჰქონდეს მოცემული შეფარდება დანარჩენის ნამრავლთან, მაგალითად CB·CD:CH·CF = a, სადაც a მოცემულია. პაპოსის ამ ამოცანისადმი, რომელიც, მისი სიტყვით, სავსებით ვერ ამოხსნა ვერც [[ევკლიდე]]მ და ვერც აპოლონიუსმა, დეკარტიმ გამოიყენა ალგებრული ანალიზი. მან დაუშვა, რომ ამოცანა უკვე ამოხსნილია და მოცემული EG და მოსაძებნი BC მიიღო მთავარ წრფეებად. ვთქვათ, პირველის მონაკვეთი AB = x და მეორესი BC = y. ვინაიდან ABR [[სამკუთხედი]]ს ყველა კუთხე ცნობილია, ამის გამო ცნობილია მისი გვერდების შეფარდებაც, მაგალითად AB: BR, რომელსაც დეკარტი აღნიშნავს ス:b, ასე რომ, [[ფაილი:Rene 11.png|60px|]] და [[ფაილი:Rene 2.png|80px|]]. ცნობილია აგრეთვე DRC სამკუთხედის კუთხეები და, მაშასადამე, მისი გვერდების შეფარდებაც CR:CD = ス:c, აქედან | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 3.png|200px|]] | ||
| + | |||
| + | ამგვარად შეიძლება გამოისახოს x-ით და y-ით C წერტილიდან გავლებული ყველა წირი CB, CH, CF. თუ ამ გამოსახულებას ჩავსვამთ ტოლობაში CB·CD·CH·CF = a, რომელიც ამოცანის მოთხოვნილებას გამოსახავს, მივიღებთ x და y-ის დამაკავშირებელ განტოლებას, ამ განტოლებიდან y-ის მოცემული მნიშვნელობით [[ფაილი:Rene naxaz .png|thumb|მარჯვნივ|200px|ნახაზი 2]] შეიძლება x-ის განსაზღვრა და მოსაძებნი C წერტილის მდებარეობაც მოიძებნება. მაგრამ y სიდიდე შეიძლება ნებისმიერად აღებულ იქნას; y-ის ყოველ მნიშვნელობას შეესაბამება x-ის განსაზღვრული მნიშვნელობა და მოსაძებნი წერტილის გარკვეული მდებარეობა. ამ წერტილის ყველა შესაძლო მდებარეობა, რომელიც ამოცანის პირობას აკმაყოფილებს, შეადგენს გარკვეულ გეომეტრიულ ადგილს ანუ გარკვეულ მრუდს. x და y, რომლებიც განსაზღვრავენ მისი ყოველი წერტილის მდებარეობას, აკმაყოფილებს განტოლებას CB·CD:CH·CF = a, რომელიც წარმოდგენილია F(a, y) = 0 სახით, არის მრუდის განტოლება. | ||
| + | ===== მრუდი წირების ბუნება და კლასიფიკაცია ===== | ||
| + | დეკარტის მეორე წიგნში „მრუდი წირების ბუნების შესახებ“ უფრო დაწვრილებით არის განხილული მრუდები, რომელთა კერძო სახეებია უკვე მოძებნილი გეომეტრიული ადგილები. ეს წიგნი მოცულობით უფრო დიდია და მას დეკარტი თვლიდა ამ შრომის მთავარ ნაწილად. ამ წიგნში დეკარტი ამტკიცებს, რომ მეორე ხარისხის განტოლება კონუსურ კვეთას წარმოადგენს და რომ სამი და ოთხი წრფის მიმართ ადგილები, მეორე ხარისხის განტოლებით გამოსახულნი, კონუსური კვეთები არიან. y-ის მიმართ განტოლების ამოხსნით დეკარტი ღებულობს გამოსახულებას: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 4.png|240px|]] | ||
| + | |||
| + | აქ y — ax — b წარმოადგენს მუდმივ სიდიდეზე გამრავლებულ მანძილს y = ax + b წრფიდან; x სიდიდეები პროპორციულია მონაკვეთებისა, რომლებსაც ორდინატები მოკვეთენ ამ წირზე. ამიტომ კოორდინატთა ახალ სისტემაში, რომელშიც აბსცისთა ღერძად აღებულია y = ax + b წრფე, ხოლო ორდინატის | ||
| + | მიმართულებად დატოვებულია წინანდელი, მრუდი გამოისახება განტოლებით | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 5.png|200px|]] | ||
| + | |||
| + | ალგებრულ მრუდთა კლასიფიკაციის შემოყვანა მათი განტოლებების ხარისხის მიხედვით დეკარტს ეკუთვნის. 2n+1 და 2n ხარისხის განტოლებებით წარმოდგენილ მრუდებს დეკარტი აერთიანებს ერთ „გვარში“ (genre). ასეთ არასწორ დაშვებამდე დეკარტი მიიყვანა იმ მოსაზრებამ, რომ, თუ ერთუცნობიანი მე-4 ხარისხის განტოლება შეიძლება დაყვანილ იქნას მე-3 ხარისნის განტოლებამდე, ასევე მე-6 ხარისხის განტოლებაც დაიყვანება მე-5 ხარისხის განტოლებამდე და ასე შემდეგ. ვინაიდან დეკარტიმ ვერ ააგო მესამე და უმაღლესი რიგის მრუდების თეორია, ამიტომ მან ჯერ მოძებნა ისეთი მრუდები, რომელთა მექანიკურად აგება ადვილია, ხოლო შემდეგ ისეთები, რომლებიც განიხილებიან როგორც უმარტივესი ნიმუშები მოცემული გვარისა. ორივე ამ მოთხოვნილებას აკმაყოფილებს მრუდი | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 6.png|240px|]] | ||
| + | |||
| + | დეკარტი უჩვენებს, რომ ეს მრუდი არის გეომეტრიული ადგილი 5 წრფისადმი და ეკუთვნის იმ მრუდთა კლასს, რომელთა აგება შეიძლება შემდეგი ზოგადი ხერხის საშუალებით. | ||
| + | |||
| + | დავუშვათ, რომ წრფე ბრუნავს უძრავი (O, b) წერტილის გარშემო. ამ წრფისა და აბსცისათა ღერძის გადაკვეთის წერტილთან დაკავშირებით მოძრაობს რომელიღაც მრუდი f(x¹, y) = 0, სადაც x¹ აბსცისას ვთვლით მბრუნავი წრფის აბსცისათა ღერძთან გადაკვეთის წერტილიდან. ვთქვათ, საძებნი წირი გეომეტრიული ადგილია მბრუნავი წრფისა და მოძრავი წირის გადაკვეთის წერტილებისა. მის განტოლებას ვიპოვით, თუ მოძრავი წირის განტოლებაში ჩავსვამთ მწიშვნელობას [[ფაილი:Rene 7.png|100px|]]. ზემოთ დაწერილი განტოლება მიიღება იმ შემთხვევაში, როდესაც b = 2a და პარაბოლა y² = a (a–x¹) მოძრავი წირია. ამგვარად აგებული წირის განზოგადებას დეკარტი ღებულობს ერთი მხრივ ირიბკუთხოვანი კოორდინატების გამოყენებით, მეორე მხრივ უძრავ წრფეთა შორის სხვადასხვა მანძილის აღებით. აგების ხერxი აღებულია კონქოიდის აგების ხერხიდან, რომლისთვის მოძრავი წირია წრეწირი ცენტრით მბრუნავი წრფისა და აბსცისათა ღერძის გადაკვეთის წერტილზე. თუ მოძრავ წირს წრფით შევცვლით, მიიღება ჰიპერბოლა, რომლის განტოლებას დეკარტი იძლევა. | ||
| + | |||
| + | ===== განტოლებათა თეორია და ნორმალების მეთოდი ===== | ||
| + | განტოლებათა თეორიაში დეკარტის მიერ შეტანილი არსებითად ახალი რამ ისაა, რომ მან პირველად დაიწყო განტოლების ჩაწერა ნულის ტოლი მარჯვენა ნაწილით, ნაცვლად ტოლობის ორივე მხარეზე დადებითკოეფიციენტებიანი წევრების დალაგებისა. დეკარტს ეკუთვნის აგრეთვე თეორემები ფესვების კოეფიციენტებთან კავშირის და განტოლების ფესვების რიცხვის შესახებ. | ||
| + | |||
| + | დეკარტს ამავე წიგნში მოცემული აქვს განუზღვრელკოეფიციენტების ხერხი. იგი მდგომარეობს შემდეგში: ვთქვათ, მოცემულია ტოლობა | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 8.png|340px|]] | ||
| + | |||
| + | აქ a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>...,a<sub>m</sub>, b<sub>0</sub>, b<sub>2</sub>... b<sub>m</sub> მუდმივი კოეფიციენტებია, | ||
| + | დამოუკიდებელნი x ცვლადისაგან, რომლებსაც შეუძლიათ ყოველგვარი მნიშვნელობის მიღება. ვინაიდან მოცემულ განტოლებას უნდა აკმაყოფილებდეს x-ის ყოველი მნიშვნელობა, ამიტომ მას აკმაყოფილებს x = 0 მნიშვნელობაც; ამ მნიშვნელობის განტოლებაში ჩასმა განტოლების ორივე ნაწილის ყველა წევრს ნულად გადააქცევს, გარდა პირველებისა, და მივიღებთ a<sub>0</sub>= b<sub>0</sub>. დარჩება განტოლება | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 9.png|340px|]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ანუ x-ზე შეკვეცის შემდეგ გვექნება | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene12.png|340px|]] | ||
| + | |||
| + | ეს ტოლობა კი უნდა დააკმაყოფილოს x = 0 სიდიდემ და მივიღებთ a<sub>1</sub> = b<sub>1</sub> და ასე შემდეგ. | ||
| + | |||
| + | დეკარტი უსასრულოდ მცირეთა ანალიზის ფუძემდებელია. წირისადმი მოცემულ წერტილში მხების გავლების ამოცანა დიფერენციალური აღრიცხვის ძირითადი ამოცანაა; დეკარტიმ მოგვცა ნორმალის გავლების ხერხი. ცხადია, ნორმალის მიმართულება აგრეთვე განსაზღვრავს მხების მიმართულებას. მეორე წიგნში დე- კარტი წერს: | ||
| + | |||
| + | „რაც საჭიროა წირთა მოძღვრებაზე საწყისებიდან, აქ მოვიყვან ყველაფერს იმის შემდეგ, როცა მივცემ ისეთ წრფეთა გავლების ზოგად ხერხს, რომლებიც მართი კუთხით გადაკვეთენ მრუდ წირებს ნებისმიერ წერტილებში. და ვბედავ იმის თქმას, რომ ეს ამოცანა გაცილებით უფრო სასარგებლო და ზოგადია არა მარტო ჩემთვის ცნობილ ამოცანებში, არამედ ყველა იმ ამოცანაში, რომლის ცოდნა გეომეტრიაში ოდესმე მსურდა“. | ||
| + | |||
| + | ამ სიტყვების შემდეგ, რომლებითაც მან დიფერენციალური აღრიცხვის წარმოშობა იწინასწარმეტყველა, მოჰყავს „ზოგადი ხერxი იმ წრფეთა მოძებნისა, რომლებიც მოცემულ წირებს ანდა მათ მხებებს გადაკვეთენ მართი კუთხით. | ||
| + | |||
| + | დავუშვათ, რომ CE მრუდი წირია (ნახ. 11) და C წერტილში უნდა გავავლოთ წრფე, რომელიც მასთან მართ კუთხეს ქმნის. დავუშვებ, რომ ეს უკვე გაკეთებულია და საძიებელია წირი CP. მას გავაგრძელებ P წერტილამდე, სადაც ის შეხვდება GA წოფეს, რომელსაც ვთვლი იმ წრფედ, რომლის წერტილებს უფარდებენ CE წირის ყველა წერტილს; ასე რომ, დავუშვებ რა M.A ანუ CB <big>∞</big> y და CM ანუ BA <big>∞</big> x (ნახ. 12), მაქვს რომელიღაც განტოლება, x-სა და y-ს შორის შეფარდების გამომსახველი. შემდეგ დავუშვებ PC <big>∞</big> s და PA <big>∞</big> v და, მაშასადამე, PM <big>∞</big> v - y; შემდეგ PMC მართკუთხა სამკუთხედიდან მაქვს, რომ ss ფუძის კვადრატი უდრის xx + vv-20y + yy ორი გვერდის კვადრატებს; ე. ი. მაქვს, რომ | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:X usasrul.png|340px|]] | ||
| + | |||
| + | ვსარგებლობ ამ განტოლებით, და ერთ-ერთს ორი განუზღვრელი x ანუ y სიდიდეებიდან ვაშორებ იმ განტოლებას, რომელიც ჩემთვის გამოსახავს CE წრფის ყველა წერტილის ფარდობას GA წრფის წერტილებისადმი. ამის გაკეთება ადვილია; თუ მსურს x-ის მოშორება, ყველგან x-ის ნაცვლად ჩავსვამ [[ფაილი:RENE 02.png|150px]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[ფაილი:Naxazi 4.png|thumb|მარცხნივ|340px|ნახაზი 11]] | ||
| + | ამ გამოსახვის კვადრატს—xx-ის ნაცვლად და კუბს x<sup>2</sup>-ის ნაცვლად და ასე შემდეგ; თუ მსურს y-ის მოშორება, მის ნაცვლად ჩავსვამ [[ფაილი:Rene 03.png|150px]] და ამ გამოსახვის კვადრატსა და კუბს. | ||
| + | |||
| + | [[ფაილი:Rene naxaz 3.png|thumb|მარჯვნივ|250px|ნახაზი 12]] | ||
| + | |||
| + | yy-ისა და y<sup>3</sup>-ის ნაცვლად და ასე შემდეგ. ამრიგად, ყოველთვის მიიღება განტოლება, რომელშიც იქნება მხოლოდ ერთი განუსაზღვრელი სიდიდე x ან y. | ||
| + | |||
| + | მაგალითად (ნახ. 12), თუ MA არის ელიფსის დიამეტრის მონაკვეთი, რომლისთვის CM შეუღლებული ორდინატია, r მისი წრფივი გვერდია და q — განივი, მაშინ აპოლონიუსის პირველი წიგნის მე-13 თეორემის თანახმად | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Rene 04.png|200პქ]] | ||
| + | |||
| + | აქედან x-ის გამორიცხვის შემდეგ დარჩება: | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Ssvv.png|200პქ]] | ||
| + | |||
| + | ანუ | ||
| + | |||
| + | :::::::[[ფაილი:Yy plusi.png|200პქ]] უდრის არაფერს, | ||
| + | |||
| + | ვინაიდან აქ უკეთესია მთელი გამოსახვის ერთად განხილვა, ვიდრე ერთი მისი ნაწილის მეორესთან გატოლება“... | ||
| + | |||
| + | ნორმალის გავლების ეს მეთოდი დეკარტიმ გადმოსცა ვრცლად და ჩვენ მას მისი აზრის მსვლელობის დაურღვევლად მოკლედ გადმოვცემთ. ვთქვათ, C(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>;) არის მრუდის წერტილი და P(x<sub>2</sub>, O) ის წერტილია, რომელშიც C(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) წერტილიდან მრუდისადმი გავლებული ნორმალი აბსცისათა ღერის გადაკვეთს. ასეთ მემთხვევაში წრეწირს P(x<sub>2</sub>,0) ცენტრით და [[ფაილი:Fesvi x1.png|100px|]] რადიუსით უნდა ჰქონდეს მრუდთან ერთ P(x<sub>2</sub>, 0) წერტილში შეერთებული ორი საერთო წერტილი. თუ აბსცისათა ღერძზე P(x<sub>1</sub>, 0) წერტილს ნებისმიერად ავიღებთ, მაშინ მრუდისა და P(x<sub>2</sub>, 0) ცენტრით და [[ფაილი:Fesvi x1.png|100px|]] რადიუსით წრეწირის გადაკვეთის წერტილების აბსცისები განისაზღვრებიან იმ განტოლებიდან, რომელსაც მივიღებთ y-ის გამორიცხვით მრუდისა და წრეწირის განტოლებიდან. თუ ამ განტოლების ყველა წევრს მარცხენა მხარეზე გადავიტანთ, მაშინ ამ ნაწილში მამრავლად შევა x — x<sub>1</sub>, ვინაიდან x — x<sub>1</sub> იძლევა ერთ-ერთ გადაკვეთის წერტილს. მაგრამ რადგან P(x<sub>2</sub>, 0) წერტილი მრუდის ნორმალზე უნდა მდებარეობდეს, ამიტომ გადაკვეთის მეორე წერტილი პირველს უნდა დაემთხვეს, ე. ი. x = x<sub>1</sub> იქნება განტოლების ორჯერადი ფესვი, და მარცხენა მამრავლად უნდა შევიდეს (x — x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>. ეს მოთხოვნა საზღვრავს x<sub>2</sub> სიდიდეს ერთი პირობით, რომელსაც ის უნდა აკმაყოფილებდეს. x<sub>2</sub>-ს მოძებნის შემდეგ ნორმალზე მდებარეობას განვსაზღვრავთ და, მაშასადამე, მხების მდებარეობასაც. X<sub>2</sub>-ს განმსაზღვრელი განტოლების მისაღებად დეკარტი იყენებს განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდს. თუ მრუდის წრეწირთან გადაკვეთის წერტილების აბსცისების განმსაზღვრელი n ხარისხის განტოლებაა, მაშინ დეკარტი დაუშვებს, რომ განტოლების მარცხენა ნაწილი იგივურად ტოლია (x —x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>-ისა და (n — 2) ხარისხის განუსაზღვრელ კოეფიციენტებიანი მრავალწევრის ნამრავლისა. მაშინ x<sub>2</sub>-ის განსაზღვრისათვის განტოლება მიიღება განუზღვრელი კოეფიციენტების გამორიცხვით, რომლებსაც მივიღებთ შესაბამი კოეფიციენტების გატოლებით ორივე n ხარისხის იგივურ გამოსახულებებში. | ||
| + | |||
| + | [[ფაილი:Naxaz 13.png|thumb|marcxniv|250px|ნახაზი 13]] | ||
| + | |||
| + | დასასრულს, დეკარტი გვაძლევს ნორმალის გავლების ზოგადი მეთოდის გამოყენების მაგალითს, სახელდობრ, კონქოიდისადმი ნორმალის გავლების მოკლე და მარტივ ხერხს. | ||
| + | |||
| + | ასე, მაგალითად (ნახ. 13), თუ DC არის ძველთა პირველიკონქოიდი, A მისი პოლუსია და BH სახაზავი. ასე რომ, A-კენ მიმართული და CD წირსა და BH წრფეს შორის მოთავსებული ყველა წრფე, როგორიცაა DB და CE, ტოლია და თუ საჭიროა CG წირის მოძებნა, რომელიც წირს გადაკვეთს მართი კუთხით C წერტილში, მაშინ, აქ მოცემული მეთოდის თანახმად, BH წირის იმ წერტილის მოსაძებნად, რომელშიც უნდა გაიაროს CG წირმა, დაგვჭირდებოდა ისეთივე გამოთვლების ჩატარება, შესაძლებელია უფრო ვრცელისაც, ვიდრე წინათ. მაგრამ იმის აგება, რომელსაც ამ გამოთვლებიდან მივიღებთ, ძალიან მარტივია. საჭიროა მხოლოდ CA წრფეზე ავიღოთ CH-ის ტოლი CF, სადაც CH არის HB-ს მართობული, შემდეგ F წერტილში გავავლოთ FG, BA-ს პარალელური და EA-ს ტოლი. ამგვარად მიიღება G წერტილი, რომელშიც უნდა გაიაროს CG საძიებელმა წირმა“. | ||
| + | |||
| + | დეკარტი განსაზღვრავს ციკლოიდის წერტილში ნორმალს, გაავლებს რა მას მგორავი წრისა და ციკლოიდის შეხების წერტილში. მოყვანილი დამტკიცება იმაში მდგომარეობს, რომ წრე განხილულია, როგორც უსასრულო რიცხვის გვერდებიანი მრავალკუთხედი. ამ დამტკიცების გამოყენება შეიძლება გორვის დროს შემოხაზული კიდევ სხვა წირებისადმი. | ||
| + | |||
| + | გაგრძელებული და შემოკლებული ციკლოიდებისადმი დეკარტიმ ააგო ნორმალები. უკანასკნელ შემთხვევაში ეს აგება მას საშუალებას აძლევს მიიღოს წირის გადაღუნვის წერტილები; დეკარტი უჩვენებს, რომ ნორმალი, გავლებული გადაღუნვის წერტილში, შეეხება, იმ წრეწირს, რომელზედაც იმყოფება შემოკლებული ციკლოიდის შემომწერი წერტილი. | ||
| + | |||
| + | ==იხილე აგრეთვე== | ||
| + | * [[დეკარტე რენე (ფსიქოლოგიის ლექსიკონი)|დეკარტე რენე]] | ||
| + | |||
| + | ==წყარო== | ||
| + | [[მათემატიკის ისტორია]] | ||
| + | [[კატეგორია:მათემატიკოსები]] | ||
[[კატეგორია:ფრანგი მათემატიკოსები]] | [[კატეგორია:ფრანგი მათემატიკოსები]] | ||
| − | [[კატეგორია:ფრანგი | + | [[კატეგორია:ფრანგი ფილოსოფოსები]] |
| − | + | ||
მიმდინარე ცვლილება 11:55, 22 იანვარი 2026 მდგომარეობით
დეკარტე რენე - (ფრანგ. René Descartes; დ. 31 მარტი, 1596, ლაე ― გ. 11 თებერვალი, 1650, სტოკჰოლმი), ფრანგი ფილოსოფოსი და მათემატიკოსი.
სარჩევი |
[რედაქტირება] ბიოგრაფია
რენე დეკარტი დაიბადა 1596 წლის 31 მარტს ტურენში (საფრანგეთი), აზნაურის ოჯახში. დედა ჭლექით გარდაიცვალა დეკარტის დაბადების რამდენიმე დღის შემდეგ; თვითონაც ბავშვობაში მეტად სუსტი ყოფილა. 8 წლის დეკარტი შეიყვანეს იეზუიტთა სკოლაში, სადაც ასწავლიდნენ სქოლასტურ ფილოსოფიას და ბუნებისმეტყველებას; განსაკუთრებულ ინტერესს იგი იჩენდა მათემატიკისადმი. ცხრა წლის განმავლობაში იქ სწავლის ნაყოფს დეკარტი მაინც და მაინც დიდად არ აფასებდა. მაშინდელმა მეცნიერებამ ის სკეპტიციზმამდე მიიყვანა. თეოლოგიისადმი დეკარტი არავითარ მოწოდებას არ გრძნობდა, ამიტომ ფილოსოფიას მიმართა. აქაც მალე დარწმუნდა, რომ საუკუნეთა განმავლობაში ჭეშმარიტისათვის ფილოსოფიას არ მიუგნია; ამასთან იგი არც მასთან დაკავშირებულ მეცნიერებათა წარმატებაშია დარწმუნებუნებული. ერთადერთი საგანი, რაშიც დეკარტიმ იპოვა კმაყოფილება, მათემატიკა იყო, თუმცა მათემატიკის შესახებაც გაკვირვებით ამბობდა, თუ რატომ არ არის აგებული გრანიტისებური სიმტკიცის ასეთ საფუძველზე უფრო მაღალი რამ, ვიდრე მისი პრაქტიკულ მექანიკაში გამოყენება. სასკოლო განათლებას დეკარტიმ ზურგი შეაქცია და გადაწყვიტა, არ ეძებნა სხვა მეცნიერება, გარდა იმისა, რომელსაც ის იპოვიდა თავის თავში ან „სამყაროს წიგნში“. ამისათვის მან ბევრი დრო მოანდომა მოგზაურობას, რომ თავისი თავი გამოეცადა სხვადასხვა მდგომარეობაში. აგრეთვე, უხდებოდა რა სხვადასხვა ხალხში ყოფნა, სწავლობდა მათ ყოფაცხოვრებას და აგროვებდა გამოცდილებას.
[რედაქტირება] სწავლისა და მოგზაურობის წლები
იეზუიტთა სკოლის დამთავრებისას (1612 წელს) დეკარტს მომავლისათვის გარკვეული გეგმა არ ჰქონია. იგი, როგორც წარმოშობით აზნაური, იძულებული იყო, მაშინდელი ტრადიციის ძალით, სამხედრო კარიერისათვის მომზადებულიყო. ამის გამო ის დიდ დროს ანდომებდა ფიზიკურ ვარჯიშს, რათა გაემაგრებინა თავისი ჯანმრთელობა და გამოეწრთო ორგანიზმი. მალე დეკარტი მიემგზავრება პარიზში, სადაც არაწესიერ ცნოვრებას ეწევა მოქეიფე და ქალებთან მოსეირნე ახალგაზრდათა წრეში. პარიზში დეკარტი შეხვდა თავის სკოლის ამხანაგს, მერსენს. ამ დროისათვის მერსენი უკვე ბერი იყო და ეწეოდა მეცნიერულ კვლევა-ძიებას. მან დეკარტსაც გაუღვიძა მეცნიერებისადმი თითქმის მიყრუებული ინტერესი. დეკარტს მალე მობეზრდა უქნარა საზოგადოებაში ყოფნა და მოულოდნელად გაქრა თავისი ნაცნობების წრიდან; მამამაც კი არ იცოდა, თუ სად იმყოფებოდა შვილი ორი წლის განმავლობაში. დეკარტი განცალკევებულად დასახლდა პარიზის გარეუბანში. აქ მეცნიერებაში ჩაფლულ ახალგაზრდას ხელს არ უშლიდა დიდი ქალაქის ხმაური, მაგრამ მეცნიერული მუშაობაც მალე მობეზრდა და გაემგზავრა ჰოლანდიაში მოხალისედ მორიც ორანელის ჯარში.
ჯარში ყოფნის დროს დეკარტს ბევრი თავისუფალი დრო ჰქონდა და ხშირად უნდებოდა ქალაქში გასეირნება. და აი, ერთხელ დეკარტის ყურადღება მიიპყრო ქუჩაში კედელზე გაკრული განცხადების წინ მდგომმა ჯგუფმა. განცხადება დაწერილი იყო დეკარტისათვის უცხო, ფლამანდურ ენაზე. მან ერთ-ერთ გამვლელთაგანს თხოვნით მიმართა, რომ მისთვის გადაეთარგმნა განცხადების შინაარსი; განცხადება საჯარო გამოწვევა იყო რომელიღაც გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნაზე. ეს უცნობი გამვლელი, რომელსაც დეკარტიმ მიმართა, აღმოჩნდა მათემატიკის პროფესორი ბეკმანი, მან დეკარტს ირონიით უპასუხა, რომ გადაუთარგმნის ამოცანის შინაარსს, თუკი განიზრახავს მის ამოხსნას. დეკარტიმ მეორე დღესვე მიუტანა ბეკმანს ამოხსნილი ამოცანა და ამის შემდეგ მან დაიწყო ბეკმანის ხელმძღვანელობით მათემატიკაში მეცადინეობა, რომელიც გრძელდებოდა ჰოლანდიაში ყოფნის ორი წლის განმავლობაში.
უკვე დაწყებული ოცდაათწლიანი ომის სისხლისმღვრელ ბრძოლებში მონაწილეობის მიღების სურვილი აიძულებს დეკარტს დატოვოს მშვიდობიანი ჰოლანდია. ის ჩაეწერა ბოჰემიაში მიმავალ ბავარიის ჯარში და მონაწილეობა მიიღო პრაღასთან ბრძოლაში. მეორე დღესვე დეკარტიმ დატოვა გამარჯვებული ჯარი, 1621 წელს კი სამხედრო სამსახურს სულ დაანება თავი, განაცხადა რა, რომ ბევრს სამხედრო სამსახურში იზიდავს უქმად ყოფნა და გარყვნილებაო. მიუხედავად ამისა, დეკარტიმ სამხედრო სამსახურის პერიოდმიც უაღრესად დიდი საქმე გააკეთა მეცნიერებაში; მაგალითად, ზამთარში მიყრუებულ პატარა ქალაქ ნეიბურგში უსაქმოდ ყოფნა გამოიყენა მეცნიერული მუშაობისათვის და სწორედ იქ, როგორც თვითონ ამბობს, 1619 წლის 10 ნოემბერს უეცრად მიაგნო თავის ანალიზურ მეთოდს, რომლის პირველი ნაყოფი ანალიზური გეომეტრია იყო.
სამხედრო სამსახურიდან წასვლის შემდეგ დეკარტი მიემგზავრება ბრიუსელსა და ჰააგაში, გაივლის საფრანგეთში, რომ იქ გაყიდოს შთამომავლობით მიღებული მამული, იქიდან კი მიემგზავრება იტალიაში. 1625 წელს დეკარტი დაბრუნდა პარიზში, რომელიც მაშინ სამეცნიერო ცენტრი იყო. მერსენის გარშემო თავმოყრილ მეცნიერთა ჯგუფმა უკვე შეადგინა მომავალი აკადემიის ჩანასახი და დეკარტიც ამ ჯგუფის ერთ-ერთი საქმიანი წევრი გახდა. რამდენიმე ხნის შემდეგ მუდამ ახალ შთაბეჭდილებათა მაძიებელი დეკარტი მონაწილეობას ღებულობს ჰუგენოტების უკანასკნელი ციხე-სიმაგრის — ლა-როშელის — ალყასა და მეფის ამალასთან ერთად აღებულ ქალაქში შესვლაში.
დეკარტის ახალი იდეების მიმდევართა წრე თანდათან ფართოვდება. მისი მეგობარი მეცნიერები დაჟინებით მოითხოვენ, რომ დეკარტს მალე გამოექვეყნებინა სისტემა, რომლისაგან ისინი მოელოდნენ ფილოსოფიის განახლებას და მეცნიერების რეფორმას. მაგრამ პარიზის ღვთისმეტყველების ფაკულტეტი მტრულად იყო განწყობილი დეკარტის იდეების მიმართ და იმუქრებოდა კიდეც. ამის გამო 1629 წელს დეკარტიმ დატოვა საფრანგეთი და გადასახლდა ჰოლანდიაში, რომ იქ, თანახმად მისი დევიზისა: „კარგად იცხოვრა იმან, ვინც კარგად დაიმალა“, — გაეგრძელებინა მეცადინეობა უფრო მშვიდობიან პირობებში.
[რედაქტირება] სტოკჰოლმი
გადასახლების ოთხი წლის შემდეგ დეკარტი წერს შრომას: „სამყარო ანუ ტრაქტატი სინათლის შესახებ“. მაგრამ ეკლესიის შიშით მან ეს შრომა ვერ გამოაქვეყნა, რადგან ის შეიცავდა ეკლესიის დოგმების საწინააღმდეგო აზრებს; ნაშრომი გამოქვეყნდა მხოლოდ მისი სიკვდილის შემდეგ. თავისუფალი აზროვნებისათვის ეკლესიის მხრივ დევნისაგან დეკარტს ძალიან იცავდა მერსენი. როდესაც დეკარტი უკვე სახელგანთქმული გახდა მთელ ევროპაში, მასსა და შვედეთის მეფე ქრისტინეს შორის გაიმართა ფილოსოფიური შინაარსის მიწერ-მოწერა, რის შემდეგ მეფემ დეკარტი მიიწვია თავისთან — სტოკჰოლმში. დეკარტი პირველ ხანებში არ თანხმდებოდა გამგზავრებაზე და ამბობდა: „ის ადამიანი, რომელიც ტურენის ბაღებში დაიბადა და ახლა ცხოვრობს ისეთ ქვეყანაში, სადაც თაფლი თუ არა, რძე მაინც დის იმაზე მეტი, ვიდრე აღთქმის ქვეყანაში, ძნელად გადაწყვეტს წასვლას დათვების ქვეყანაში, რათა იქ იცხოვროს კლდეებსა და ყინულებში“. მიუხედავად ამ სიტყვებისა, დეკარტი მაინც დათანხმდა და 1649 წელს გაემგზავრა სტოკჰოლმში, სადაც ის მეტად გულთბილად მიიღეს. მეფე ქრისტინეს უნდოდა დეკარტი სამუშაოდ დაეტოვებინა შვედეთში და მას სამეფოს საუკეთესო ადგილას დიდი მამულიც აჩუქა. მანდეკარტი მიიწვია იმ ანგარიშით, რომ დეკარტს მისთვის გაკვეთილები მიეცა ახალ ფილოსოფიაში და დახმარებოდა სტოკჰოლმში მეცნიერებათა აკადემიის დაარსებაში.
დეკარტი ბევრს მუშაობდა სტოკჰოლმში აკადემიის დაარსების საკითხებზე; გარდა ამისა, ის ყოველ დღე, დილის ხუთ საათზე უნდა გამოცხადებულიყო სასახლის ბიბლიოთეკაში მეფე ქრისტინესთან სამეცადინოდ. ყინვიან ზამთარში სახლიდან ისე ადრე გამოსვლამ ძალიან ცუდად იმოქმედა დეკარტის ისედაც სუსტ ჯანმრთელობაზე: ამის გამო ერთხელ მას უთქვამს: „ვისაც უნდა ეს კარგი მათემატიკოსი იყოს და მასთან ერთად ჯანმრთელობა შეინარჩუნოს, დილით არ უნდა ადგეს მანამდე, სანამ კარგად არ გამოიძინებს და თვითონაც არ იგრძნობს ლოგინის დატოვების სურვილს“.
იქაურმა პირველმავე ზამთარმა დაღუპა დეკარტის ჯანმრთელობა: 1650 წლის თებერვალში იგი ფილტვების ანთებით გარდაიცვალა. გარდაცვალების 16 წლის შემდეგ საფრანგეთის მთავრობამ, რომელიც დეკარტის სიცოცხლეში მასზე ძალიან ცოტას ზრუნავდა, მოითხოვა მისი ნეშტის სამშობლოში გადმოსვენება: იგი ზარ-ზეიმით დაკრძალეს პარიზში, ახლანდელ პანთეონში, მაგრამ მაინც ქებათა-ქების შესხმა ყველას სასტიკად აუკრძალეს.
[რედაქტირება] სამეცნიერო საქმიანობა
ჰოლანდიაში ყოფნის დროს 1637 წელს დეკარტიმ გამოაქვეყნა თავისი ნაშრომი „ფილოსოფიური ცდები“, რომელიც ოთხ თხზულებას შეიცავს: 1) „მსჯელობა მეთოდზე“, 2) „მეტეორები“, 3) „დიოპტრიკა“ და 4) „გეომეტრია“. უკანასკნელის გარდა დეკარტის მათემატიკურ ნაშრომებს ვპოულობთ სხვადასხვა პირთან მიწერ-მოწერაში.
[რედაქტირება] რენე დეკარტის მათემატიკური რეფორმა: გადასვლა ანტიკური სტატიკიდან ანალიზურ გეომეტრიაზე
მათემატიკის განვითარებაში დეკარტის დიდი დამსახურება ნათელი რომ გახდეს მკითხველისათვის, საჭიროა ორიოდე სიტყვით შევეხოთ იმ დამახასიათებელ პირობებსა და მიზეზებს, რომლებმაც გავლენა იქონიეს მათემატიკურ მეცნიერებათა განვითარებაში, განსაზღვრეს მათემატიკის შინაარსი.
ისტორიკოს ცეიტენის გადმოცემით, ძველი საბერძნეთის გეომეტრიამ განვითარების უმაღლეს საფეხურს მიაღწია ძველი ერას დასასრულს. მისი აზრით, გეომეტრიამ განვითარება შეწყვიტა ჩვენი ერადან. ამის მთავარ მიზეზებად ცეიტენი თვლის:
1) ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების მიერ გამოყენებითი მათემატიკის უგულებელყოფას.
2) თვით მეცნიერული კვლევითი მეთოდის უვარგისობას.
პირველი მიზეზი არ შეიძლება სავსებით მართებულად ჩაითვალოს: მართალია, ევკლიდე უგულებელჰყოფდა მათემატიკის გამოყენებით მხარეს, მაგრამ არქიმედე ამ მხრივ დიდ მუშაობას ეწეოდა. ის ხომ სტატიკის ფუძემდებელია და საერთოდ ყოველი მის მიერ ამოხსნილი ამოცანა გამოყენებითი ხასიათისაა?
მეორე მიზეზი კი აუცილებლად მხედველობაში მისაღებია. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების მიერ ხმარებული დამტკიცების — ამოწურვის — მეთოდი მეტად ვეებერთელა და უმარჯვო იყო, მათ გეომეტრიაში გააკეთეს ყველაფერი, რისი გაკეთებაც ამ მეთოდის საშუალებით შეიძლებოდა. შემდეგში, გეომეტრიის განვითარებისათვის აუცილებელი იყო მეთოდის შეცვლა, ეს კი ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა ვერ შეძლეს. დეკარტიმ კი ახალი მეთოდი გამოიგონა, რომელსაც ის „ანალიზურ მეთოდს“ უწოდებს; ეს მეთოდი ზოგადი ფილოსოფიური თვალსაზრისით იმაში მდგომარეობს, რომ თეორიული სიძნელე უნდა დაიშალოს მის შემადგენელ ་ ნაწილებად და შემდეგ უადვილესსა და უმარტივესიდან ვიაროთ უფრო რთულისაკენ. დეკარტის გეომეტრია წარმოადგენს მისი ზოგადი ანალიზური მეთოდის გამოყენებას.
საკითხი იბადება, რატომ ვერ შეძლეს ძველმა ბერძნებმა თავიანთი ამოწურვის მეთოდის შეცვლა სხვა მეთოდით? სხვა შესაძლო მიზეზებთან ერთად ამის ერთ-ერთი მთავარი მიზეზია თვით ამოწურვის მეთოდის გამოგონების მიზეზი. ისტორიკოსების გადმოცემით, ამოწურვის მეთოდის მიზანი იყო უსასრულობის ცნების გარეშე თეორემების დამტკიცება, თუმცა ამ მეთოდით დამტკიცებისას ძველი ბერძნები მაინც იძულებული იყვნენ ამ ცნებას დაყრდნობოდნენ, მაგრამ შენიღბულად, სიტყვა „უსასრულობის“ გვერდის ახვევით.
რამ აიძულა ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსები, რომ ასეთი მეთოდი გამოეგონებინათ? ისტორიკოსების გადმოცემით, მათემატიკოსებსა და სოფისტებს შორის დავა მიმდინარეობდა უსასრულობის ცნების და საერთოდ მოძრაობის რეალობის გარშემო. ძენონი სავსებით უარყოფდა მოძრაობის ფიზიკურ რეალობას, მისი ცნობილი სოფიზმები ამტკიცებს მოძრაობის შეუძლებლობას: რადგან საბერძნეთის მათემატიკოსებმა ძენონის სოფიზმები ვერ დაარღვიეს, ამიტომ ძენონს დაუჯერეს და მოძრაობის რეალობაზე და მასთან დაკავშირებული უსასრულობის ცნებაზე სამუდამოდ ხელი აიღეს. ამრიგად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკის განვითარების საქმეს სოფისტებმა დიდი ზიანი მიაყენეს. რადგან მოძრაობის რეალობა უარყოფილ იქნა, ძველ საბერძნეთში მექანიკის განვითარება სტატიკის იქით არ წასულა: გეომეტრიაც კი იმდენად განვითარდა, რამდენადაც ამას სტატიკა მოითხოვდა. გეომეტრიის განვითარებაზე რომ სტატიკას ჰქონდა გავლენა, ამაში გვარწმუნებს არქიმედეს ნაშრომები. სტატიკის ყოველ ამოცანას არქიმედე წყვეტს სათანადო გეომეტრიული თეორემების გამოყენებით. არქიმედე არა თუ გეომეტრიას იყენებდა სტატიკაში, არამედ, პირიქით, სტატიკას იყენებდა გეომეტრიული ამოცანების ამოსახსნელად (მაგალითად, პარაბოლური სეგმენტის კვადრატურის მექანიკური ხერხი).
ამრიგად, გეომეტრიის განვითარება უნდა შესუსტებულიყო, რადგან მექანიკის განვითარება შეჩერდა.
უნდა აღინიშნოს, რომ პირველი ნაბიჯი მათემატიკაში, სახელდობრ გეომეტრიაში, მოძრაობის ცნების შეყვანის საქმეში ისევ ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა გადადგეს; ეს ემჩნევა არქიმედეს მიერ ზოგიერთი მრუდის, კერძოდ ხვიას, განსაზღვრას: „თუ წრფეს მის ერთ დამაგრებულ ბოლო წერტილის გარშემო თანაბრად ვამოძრავებთ სიბრტყეზე მანამდე, სანამ ის მის საწყის მდებარეობას არ დაუბრუნდება და იმავე დროს ამ წრფეზე დამაგრებული ბოლო წერტილიდან თანაბრად ვამოძრავებთ რომელიმე წერტილს, მაშინ ეს წერტილი ხვიას შემოწერს“ (იხ. Oeuyres d'Archimede, traduites par F. Peyrard 1807, 33. 236). არქიმედე აგრეთვე განიხილავდა ნაკვთის ბრუნვით შექმნილ სხეულებსაც.
დინამიკის გამოგონების ჩანასახს ძველ საბერძნეთშიც ვხედავთ, მაგალითად, პაპოსის თეორემაში, რომელიც შემდეგში გულდენმა ხელმეორედ აღმოაჩინა.
გალილეის მიერ დინამიკის გამოგონებამ გამოიწვია აუცილებელი საჭიროება გეომეტრიის განვითარებისა ანუ ისეთი ახალი გეომეტრიისა, რომელიც მოძრაობისა და ცვლადი სიდიდის ცნებაზე უნდა ყოფილიყო აგებული. სწორედ ასეთია დეკარტის ანალიზური გეომეტრია. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გამოგონებაში დეკარტის დახმარება გაუწია ისევ ძველი საბერძნეთის მათემატიკოს პაპოსის ნაშრომმა, რომელშიც მოცემული ოთხი წრფისადმი გეომეტრიული ადგილის განზოგადება ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი გამოსავალი წერტილი გახდა დეკარტის ანალიზური გეომეტრიისათვის.
დეკარტის უაღრესად დიდი ღვაწლი იმაშია, რომ მან შემოიყვანა ასოებრი ალგებრა და ცვლადი სიდიდე, რომლებიც სრულიად უცხო იყო ძველი საბერძნეთის მათემატიკისათვის, მოახდინა გეომეტრიის არითმეტიზაცია; მისი გეომეტრიის პირველსავე გვერდზე ის წერს: „მე უშიშრად შემოვიყვან ამ არითმეტიკულ ტერმინებს გეომეტრიაში“, დეკარტმა მოგვცა გეომეტრიისადმი ალგებრის გამოყენება კოორდინატთა მეთოდთან დაკავშირებით, რომელსაც ჩვენ ახლა ანალიზურ გეომეტრიას ვუწოდებთ. ამ რეფორმებით დეკარტმა თამამად გადადგა პირველი ნაბიჯიუმაღლესი მათემატიკის შექმნისაკენ.
მოძრაობისა და ცვლადი სიდიდის მათემატიკაში შეყვანამ უსასრულობის მათემატიკის წარმოშობაზედაც გავლენა იქონია. უსასრულობის ცნება, რომელიც სოფისტების გავლენით ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა უარჰყვეს, თავის ადგილს იჭერს მათემატიკაში, ამის შემდეგ, ბუნებრივია, აუცილებლად უნდა წარმოშობილიყო დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვა. ამას ადასტურებს აგრეთვე ენგელსის სიტყვები: „დეკარტის ცვლადი სიდიდე მათემატიკაში მობრუნების წერტილი იყო. მისი წყალობით მათემატიკაში შევიდა მოძრაობა და დიალექტიკა და მისივე წყალობით დაუყოვნებლივ აუცილებელი შეიქნა დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვა, რომელიც მაშინვე წარმოდგა და რომელიც ნიუტონმა და ლაიბნიცმა კი არ გამოიგონეს, არამედ ზოგადად და მთლიანად დაამთავრეს.
[რედაქტირება] გეომეტრიის დაყვანა არითმეტიკულ მოქმედებებამდე
დეკარტის გეომეტრია სამი წიგნისაგან შედგება. პირველი წიგნის — „იმ ამოცანების შესახებ, რომლებიც შეიძლება ავაგოთ მხოლოდ წრისა და წრფეწირების საშუალებით“ დასაწყისში დეკარტი ამბობს, რომ გეომეტრიის ყველა ამოცანის მიყვანა შეიძლება ისეთ ტერმინებამდე, რომ მათ ასაგებად საჭირო იქნება რომელიღაც წრფეწირების მხოლოდ სიგრძის ცოდნა. ალგებრას დეკარტი უკავშირებს გეომეტრიას სიდიდეთა გამომსახველი ნაკვეთების საშუალებით. არითმეტიკული მოქმედებების გეომეტრიულ აგებულებებთან ურთიერთობას დეკარტი ხსნის შემდეგნაირად: „ისე როგორც არითმეტიკა შედგება მხოლოდ ოთხი ან ხუთი მოქმედებისაგან, სახელდობრ, შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა და ფესვის ამოღება, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს რომელიღაც გვარის გაყოფად, ამის მსგავსად გეომეტრიაში საძებნი წირების განსაზღვრისათვის საჭიროა ამ წირებს მივუმატოთ ან გამოვაკლოთ სხვები; ანდა, თუ გვაქვს წირი, რომელსაც რიცხვებთან უფრო მჭიდრო კავშირის დასამყარებლად ვუწოდებთ ერთეულს და რომლის შერჩევა ჩვეულებრივად შეიძლება ნებისმიერად, და თუ გვაქვს კიდევ ორი სხვა წირი, საჭიროა ვიპოვოთ მეოთხე წირი, რომელიც ისე შეეფარდება ამ ორთაგან ერთს, როგორც ერთეული მეორეს; ეს კი იგივეა, რაც გამრავლება. ანდა ვიპოვოთ მეოთხე წირი, რომელიც ისე შეეფარდება ამ ორთაგან ერთს, როგორც ერთეული მეორეს: ეს კი იგივეა, რაც გაყოფა, ანდა, დასასრულ, ვიპოვოთ ერთი ან ორი, ან რამდენიმე საშუალო პროპორციულები ერთეულსა და რომელიმე მეორე წირს შორის; ეს კი იგივეა, რაც კვადრატული ან კუბური ფესვის ამოღება“.
ამასთან ერთად დეკარტი გვაძლევს ახსნას, თუ როგორ უნდა ავაგოთ ეს მოსაძებნი წირები. შემდეგ ის განიხილავს გეომეტრიაში ასოებრი აღნიშვნის ხმარების საკითხს: „ხშირად საჭირო არ არის ამ წირების ქაღალდზე გავლება, არამედ საკმარისია მათი აღნიშვნა ასოებით, თითოეული წირი თითო ასოთი, ასე, BD წირი რომ მივუმატოთ GH წირს, ერთ მათგანს ვუწოდებ a-ს, მეორე — b-ს და ვწერ a + b; ვწერ a — b, როდესაც a-ს გამოვაკლებ b-ს, ხოლო ab-ს — მათი გადამრავლების შემთხვევაში; a-ს b-ზე გაყოფის დროს ვწერ 
და aa ანუ a2, როდესაც a-ს თავის თავზე ვამრავლებ; a2, – როდესაც მას კიდევ a-ზე ვამრავლებ და ასე უსასრულოდ;
ვწერ, როდესაც a2+b2 გამოსახულებიდან კვადრატულ ფესვს ამოვიღებ, და 
, — როდესაც კუბურ ფესვს ამოვიღებ, a3 - b3 + ab გამოსახულებიდან და ასე შემდეგ“.
ამოცანის ამოსახსნელი განტოლების მიღების შესახებ დეკარტი ამბობს: „თუ რომელიმე ამოცანის ამოხსნა გვსურს, საჭიროა ჯერ მისი განხილვა, როგორც ამოხსნილის, და სახელების მინიჭება ყველა წირისათვის როგორც ცნობილი, ისე უცნობისათვის, რომლებიც საჭიროა ამოცანის ასაგებად. შემდეგ კი, არ გავატარებთ რა არავითარ განსხვავებას ამ ცნობილებსა და უცნობებს შორის, უნდა გავითვალისწინოთ სიძნელე, მივსდიოთ რა იმ წესს, რომელიც უფრო ბუნებრივად გვიჩვენებს, თუ როგორ არიან ისინი ერთმანეთისაგან დამოკიდებული მანამ, სანამ არ იქნება მოძებნილი ერთისა და იმავე სიდიდის ორგვარად გამოსახვის საშუალება: ეს არის ის, რასაც განტოლება ეწოდება, ვინაიდან ამ ორი ხერხიდან ერთის საშუალებით მიღებული წევრები უდრის მეორეს საშუალებით მიღებულთ“. ამის შემდეგ დეკარტი გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა ავაგოთ მხოლოდ წრფისა და წრის საშუალებით (ანუ სახაზავისა და ფარგლის საზუალებით) განტოლებები:
მათ ამოხსნებს დეკარტი წერს შემდეგი სახით:
(∞ რის მის მიერ შემოყვანილი ტოლობის ნიშანი).
იქვე მოცემულია სათანადო ოთხი ნაკვთი.
დაბოლოს დეკარტი წერს: „იგივე ფესვები შეიძლება უამრავი სხვა ხერხით მოვძებნოთ; ამ სხვა ხერხების მოყვანა მსურდა მხოლოდ მათი სიმარტივის გამო და იმის ჩვენების მიზნით, რომ ჩვეულებრივი გეომეტრიის ყველა ამოცანა შეიძლება ავაგოთ ისე, რომ არ მივმართოთ სხვას, გარდა იმისა, რასაც შეიცავს ჩემ მიერ ახსნილი ოთხი ნაკვთი. მე მგონია, ძველებმა ვერ შეამჩნიეს ეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი არ დაწერდნენ იმდენ სქელ წიგნებს, რომლებშიც მარტო წინადადებათა მიმდევრობა გვიჩვენებს, რომ მათ არ გააჩნდათ ჭეშმარიტი მეთოდი, რომელიც საშუალებას მისცემდა ყველაფერი ეპოვნათ“.
ამის შემდეგ დეკარტს მოყავს პაპოსის წიგნიდან გრძელი ციტატა: „აი, როგორია ის ადგილი — სამი ან ოთხი წირის მიმართ, რომლის შესახებ აპოლონიუსი თავის თავზე დიდ ქებას ფლანგავს, არ ამჟღავნებს რა არავითარ მადლობას მისი წინაპრების მიმართ. თუ მოცემულია სამი წრფე და ამ წრფეებისადმი ერთისა და იმავე წერტილიდან გავლებულია მოცემული კუთხით სამი წრფე და აგრეთვე მოცემულია გავლებულ ორ წრფეზე აგებული მართკუთხედის შეფარდება მესამეს კვადრატთან, მაშინ წერტილი იმყოფება მდებარეობით მოცემული სხეულის ადგილზე, ე. ი. სამი კონუსური კვეთიდან ერთ-ერთზე. შემდეგ, თუ მოცემული ოთხი წრფისადმი მოცემული კუთხით გავავლებთ სხვა ოთხ წრფეს და მოცემულია ორ გავლებულ წრფეზე მართკუთხედის შეფარდება ორ სხვა წრფეზე მართკუთხედთან, მაშინ წერტილი იმყოფება მდებარეობით მოცემულ კონუსურ კვეთზე. მეორეს მხრივ, თუ მხოლოდ ორი წრფე იქნება, მაშინ დადგენილია, რომ ადგილი ბრტყელი იქნება“… აშკარაა, ეს უკანასკნელი არის ახლა ჩვენ მიერ ხმარებული ირიბკუთხა კოორდინატების მიმართ წირის განხილვა. სწორედ პაპოსის ამ სიტყვებმა მისცა დეკარტს კოორდინატების შემოღებისა და ანალიზური გეომეტრიის გამოგონების საბაბი. დეკარტი ავითარებს პაპოსის აზრს და ამ უკანასკნელის ამოცანას აყალიბებს ალგებრული მეთოდით: დავუშვათ, რომ (ნახ.10) AB, AD, EF, GH და ასე შემდეგ მდებარეობით მოცემული წრფეებია. უნდა მოიძებნოს რაიმე წერტილი, მაგალითად C, რომლიდან შეიძლება გავავლოთ თითო წრფე მოცემული კუთხით თითოეული მოცემული წრფისადმი ისე, რომ საძებნი წერტილიდან გავლებული ორი წრფის ან მეტის ნამრავლს ჰქონდეს მოცემული შეფარდება დანარჩენის ნამრავლთან, მაგალითად CB·CD:CH·CF = a, სადაც a მოცემულია. პაპოსის ამ ამოცანისადმი, რომელიც, მისი სიტყვით, სავსებით ვერ ამოხსნა ვერც ევკლიდემ და ვერც აპოლონიუსმა, დეკარტიმ გამოიყენა ალგებრული ანალიზი. მან დაუშვა, რომ ამოცანა უკვე ამოხსნილია და მოცემული EG და მოსაძებნი BC მიიღო მთავარ წრფეებად. ვთქვათ, პირველის მონაკვეთი AB = x და მეორესი BC = y. ვინაიდან ABR სამკუთხედის ყველა კუთხე ცნობილია, ამის გამო ცნობილია მისი გვერდების შეფარდებაც, მაგალითად AB: BR, რომელსაც დეკარტი აღნიშნავს ス:b, ასე რომ, 
და 
. ცნობილია აგრეთვე DRC სამკუთხედის კუთხეები და, მაშასადამე, მისი გვერდების შეფარდებაც CR:CD = ス:c, აქედან
[რედაქტირება] მრუდი წირების ბუნება და კლასიფიკაცია
დეკარტის მეორე წიგნში „მრუდი წირების ბუნების შესახებ“ უფრო დაწვრილებით არის განხილული მრუდები, რომელთა კერძო სახეებია უკვე მოძებნილი გეომეტრიული ადგილები. ეს წიგნი მოცულობით უფრო დიდია და მას დეკარტი თვლიდა ამ შრომის მთავარ ნაწილად. ამ წიგნში დეკარტი ამტკიცებს, რომ მეორე ხარისხის განტოლება კონუსურ კვეთას წარმოადგენს და რომ სამი და ოთხი წრფის მიმართ ადგილები, მეორე ხარისხის განტოლებით გამოსახულნი, კონუსური კვეთები არიან. y-ის მიმართ განტოლების ამოხსნით დეკარტი ღებულობს გამოსახულებას:
აქ y — ax — b წარმოადგენს მუდმივ სიდიდეზე გამრავლებულ მანძილს y = ax + b წრფიდან; x სიდიდეები პროპორციულია მონაკვეთებისა, რომლებსაც ორდინატები მოკვეთენ ამ წირზე. ამიტომ კოორდინატთა ახალ სისტემაში, რომელშიც აბსცისთა ღერძად აღებულია y = ax + b წრფე, ხოლო ორდინატის მიმართულებად დატოვებულია წინანდელი, მრუდი გამოისახება განტოლებით
ალგებრულ მრუდთა კლასიფიკაციის შემოყვანა მათი განტოლებების ხარისხის მიხედვით დეკარტს ეკუთვნის. 2n+1 და 2n ხარისხის განტოლებებით წარმოდგენილ მრუდებს დეკარტი აერთიანებს ერთ „გვარში“ (genre). ასეთ არასწორ დაშვებამდე დეკარტი მიიყვანა იმ მოსაზრებამ, რომ, თუ ერთუცნობიანი მე-4 ხარისხის განტოლება შეიძლება დაყვანილ იქნას მე-3 ხარისნის განტოლებამდე, ასევე მე-6 ხარისხის განტოლებაც დაიყვანება მე-5 ხარისხის განტოლებამდე და ასე შემდეგ. ვინაიდან დეკარტიმ ვერ ააგო მესამე და უმაღლესი რიგის მრუდების თეორია, ამიტომ მან ჯერ მოძებნა ისეთი მრუდები, რომელთა მექანიკურად აგება ადვილია, ხოლო შემდეგ ისეთები, რომლებიც განიხილებიან როგორც უმარტივესი ნიმუშები მოცემული გვარისა. ორივე ამ მოთხოვნილებას აკმაყოფილებს მრუდი
დეკარტი უჩვენებს, რომ ეს მრუდი არის გეომეტრიული ადგილი 5 წრფისადმი და ეკუთვნის იმ მრუდთა კლასს, რომელთა აგება შეიძლება შემდეგი ზოგადი ხერხის საშუალებით.
დავუშვათ, რომ წრფე ბრუნავს უძრავი (O, b) წერტილის გარშემო. ამ წრფისა და აბსცისათა ღერძის გადაკვეთის წერტილთან დაკავშირებით მოძრაობს რომელიღაც მრუდი f(x¹, y) = 0, სადაც x¹ აბსცისას ვთვლით მბრუნავი წრფის აბსცისათა ღერძთან გადაკვეთის წერტილიდან. ვთქვათ, საძებნი წირი გეომეტრიული ადგილია მბრუნავი წრფისა და მოძრავი წირის გადაკვეთის წერტილებისა. მის განტოლებას ვიპოვით, თუ მოძრავი წირის განტოლებაში ჩავსვამთ მწიშვნელობას 
. ზემოთ დაწერილი განტოლება მიიღება იმ შემთხვევაში, როდესაც b = 2a და პარაბოლა y² = a (a–x¹) მოძრავი წირია. ამგვარად აგებული წირის განზოგადებას დეკარტი ღებულობს ერთი მხრივ ირიბკუთხოვანი კოორდინატების გამოყენებით, მეორე მხრივ უძრავ წრფეთა შორის სხვადასხვა მანძილის აღებით. აგების ხერxი აღებულია კონქოიდის აგების ხერხიდან, რომლისთვის მოძრავი წირია წრეწირი ცენტრით მბრუნავი წრფისა და აბსცისათა ღერძის გადაკვეთის წერტილზე. თუ მოძრავ წირს წრფით შევცვლით, მიიღება ჰიპერბოლა, რომლის განტოლებას დეკარტი იძლევა.
[რედაქტირება] განტოლებათა თეორია და ნორმალების მეთოდი
განტოლებათა თეორიაში დეკარტის მიერ შეტანილი არსებითად ახალი რამ ისაა, რომ მან პირველად დაიწყო განტოლების ჩაწერა ნულის ტოლი მარჯვენა ნაწილით, ნაცვლად ტოლობის ორივე მხარეზე დადებითკოეფიციენტებიანი წევრების დალაგებისა. დეკარტს ეკუთვნის აგრეთვე თეორემები ფესვების კოეფიციენტებთან კავშირის და განტოლების ფესვების რიცხვის შესახებ.
დეკარტს ამავე წიგნში მოცემული აქვს განუზღვრელკოეფიციენტების ხერხი. იგი მდგომარეობს შემდეგში: ვთქვათ, მოცემულია ტოლობა
აქ a0, a1, a2...,am, b0, b2... bm მუდმივი კოეფიციენტებია, დამოუკიდებელნი x ცვლადისაგან, რომლებსაც შეუძლიათ ყოველგვარი მნიშვნელობის მიღება. ვინაიდან მოცემულ განტოლებას უნდა აკმაყოფილებდეს x-ის ყოველი მნიშვნელობა, ამიტომ მას აკმაყოფილებს x = 0 მნიშვნელობაც; ამ მნიშვნელობის განტოლებაში ჩასმა განტოლების ორივე ნაწილის ყველა წევრს ნულად გადააქცევს, გარდა პირველებისა, და მივიღებთ a0= b0. დარჩება განტოლება
ანუ x-ზე შეკვეცის შემდეგ გვექნება
ეს ტოლობა კი უნდა დააკმაყოფილოს x = 0 სიდიდემ და მივიღებთ a1 = b1 და ასე შემდეგ.
დეკარტი უსასრულოდ მცირეთა ანალიზის ფუძემდებელია. წირისადმი მოცემულ წერტილში მხების გავლების ამოცანა დიფერენციალური აღრიცხვის ძირითადი ამოცანაა; დეკარტიმ მოგვცა ნორმალის გავლების ხერხი. ცხადია, ნორმალის მიმართულება აგრეთვე განსაზღვრავს მხების მიმართულებას. მეორე წიგნში დე- კარტი წერს:
„რაც საჭიროა წირთა მოძღვრებაზე საწყისებიდან, აქ მოვიყვან ყველაფერს იმის შემდეგ, როცა მივცემ ისეთ წრფეთა გავლების ზოგად ხერხს, რომლებიც მართი კუთხით გადაკვეთენ მრუდ წირებს ნებისმიერ წერტილებში. და ვბედავ იმის თქმას, რომ ეს ამოცანა გაცილებით უფრო სასარგებლო და ზოგადია არა მარტო ჩემთვის ცნობილ ამოცანებში, არამედ ყველა იმ ამოცანაში, რომლის ცოდნა გეომეტრიაში ოდესმე მსურდა“.
ამ სიტყვების შემდეგ, რომლებითაც მან დიფერენციალური აღრიცხვის წარმოშობა იწინასწარმეტყველა, მოჰყავს „ზოგადი ხერxი იმ წრფეთა მოძებნისა, რომლებიც მოცემულ წირებს ანდა მათ მხებებს გადაკვეთენ მართი კუთხით.
დავუშვათ, რომ CE მრუდი წირია (ნახ. 11) და C წერტილში უნდა გავავლოთ წრფე, რომელიც მასთან მართ კუთხეს ქმნის. დავუშვებ, რომ ეს უკვე გაკეთებულია და საძიებელია წირი CP. მას გავაგრძელებ P წერტილამდე, სადაც ის შეხვდება GA წოფეს, რომელსაც ვთვლი იმ წრფედ, რომლის წერტილებს უფარდებენ CE წირის ყველა წერტილს; ასე რომ, დავუშვებ რა M.A ანუ CB ∞ y და CM ანუ BA ∞ x (ნახ. 12), მაქვს რომელიღაც განტოლება, x-სა და y-ს შორის შეფარდების გამომსახველი. შემდეგ დავუშვებ PC ∞ s და PA ∞ v და, მაშასადამე, PM ∞ v - y; შემდეგ PMC მართკუთხა სამკუთხედიდან მაქვს, რომ ss ფუძის კვადრატი უდრის xx + vv-20y + yy ორი გვერდის კვადრატებს; ე. ი. მაქვს, რომ
ვსარგებლობ ამ განტოლებით, და ერთ-ერთს ორი განუზღვრელი x ანუ y სიდიდეებიდან ვაშორებ იმ განტოლებას, რომელიც ჩემთვის გამოსახავს CE წრფის ყველა წერტილის ფარდობას GA წრფის წერტილებისადმი. ამის გაკეთება ადვილია; თუ მსურს x-ის მოშორება, ყველგან x-ის ნაცვლად ჩავსვამ 
ამ გამოსახვის კვადრატს—xx-ის ნაცვლად და კუბს x2-ის ნაცვლად და ასე შემდეგ; თუ მსურს y-ის მოშორება, მის ნაცვლად ჩავსვამ 
და ამ გამოსახვის კვადრატსა და კუბს.
yy-ისა და y3-ის ნაცვლად და ასე შემდეგ. ამრიგად, ყოველთვის მიიღება განტოლება, რომელშიც იქნება მხოლოდ ერთი განუსაზღვრელი სიდიდე x ან y.
მაგალითად (ნახ. 12), თუ MA არის ელიფსის დიამეტრის მონაკვეთი, რომლისთვის CM შეუღლებული ორდინატია, r მისი წრფივი გვერდია და q — განივი, მაშინ აპოლონიუსის პირველი წიგნის მე-13 თეორემის თანახმად
აქედან x-ის გამორიცხვის შემდეგ დარჩება:
ანუ
უდრის არაფერს,
ვინაიდან აქ უკეთესია მთელი გამოსახვის ერთად განხილვა, ვიდრე ერთი მისი ნაწილის მეორესთან გატოლება“...
ნორმალის გავლების ეს მეთოდი დეკარტიმ გადმოსცა ვრცლად და ჩვენ მას მისი აზრის მსვლელობის დაურღვევლად მოკლედ გადმოვცემთ. ვთქვათ, C(x1, y1;) არის მრუდის წერტილი და P(x2, O) ის წერტილია, რომელშიც C(x1, y1) წერტილიდან მრუდისადმი გავლებული ნორმალი აბსცისათა ღერის გადაკვეთს. ასეთ მემთხვევაში წრეწირს P(x2,0) ცენტრით და 
რადიუსით უნდა ჰქონდეს მრუდთან ერთ P(x2, 0) წერტილში შეერთებული ორი საერთო წერტილი. თუ აბსცისათა ღერძზე P(x1, 0) წერტილს ნებისმიერად ავიღებთ, მაშინ მრუდისა და P(x2, 0) ცენტრით და რადიუსით წრეწირის გადაკვეთის წერტილების აბსცისები განისაზღვრებიან იმ განტოლებიდან, რომელსაც მივიღებთ y-ის გამორიცხვით მრუდისა და წრეწირის განტოლებიდან. თუ ამ განტოლების ყველა წევრს მარცხენა მხარეზე გადავიტანთ, მაშინ ამ ნაწილში მამრავლად შევა x — x1, ვინაიდან x — x1 იძლევა ერთ-ერთ გადაკვეთის წერტილს. მაგრამ რადგან P(x2, 0) წერტილი მრუდის ნორმალზე უნდა მდებარეობდეს, ამიტომ გადაკვეთის მეორე წერტილი პირველს უნდა დაემთხვეს, ე. ი. x = x1 იქნება განტოლების ორჯერადი ფესვი, და მარცხენა მამრავლად უნდა შევიდეს (x — x1)2. ეს მოთხოვნა საზღვრავს x2 სიდიდეს ერთი პირობით, რომელსაც ის უნდა აკმაყოფილებდეს. x2-ს მოძებნის შემდეგ ნორმალზე მდებარეობას განვსაზღვრავთ და, მაშასადამე, მხების მდებარეობასაც. X2-ს განმსაზღვრელი განტოლების მისაღებად დეკარტი იყენებს განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდს. თუ მრუდის წრეწირთან გადაკვეთის წერტილების აბსცისების განმსაზღვრელი n ხარისხის განტოლებაა, მაშინ დეკარტი დაუშვებს, რომ განტოლების მარცხენა ნაწილი იგივურად ტოლია (x —x1)2-ისა და (n — 2) ხარისხის განუსაზღვრელ კოეფიციენტებიანი მრავალწევრის ნამრავლისა. მაშინ x2-ის განსაზღვრისათვის განტოლება მიიღება განუზღვრელი კოეფიციენტების გამორიცხვით, რომლებსაც მივიღებთ შესაბამი კოეფიციენტების გატოლებით ორივე n ხარისხის იგივურ გამოსახულებებში.
დასასრულს, დეკარტი გვაძლევს ნორმალის გავლების ზოგადი მეთოდის გამოყენების მაგალითს, სახელდობრ, კონქოიდისადმი ნორმალის გავლების მოკლე და მარტივ ხერხს.
ასე, მაგალითად (ნახ. 13), თუ DC არის ძველთა პირველიკონქოიდი, A მისი პოლუსია და BH სახაზავი. ასე რომ, A-კენ მიმართული და CD წირსა და BH წრფეს შორის მოთავსებული ყველა წრფე, როგორიცაა DB და CE, ტოლია და თუ საჭიროა CG წირის მოძებნა, რომელიც წირს გადაკვეთს მართი კუთხით C წერტილში, მაშინ, აქ მოცემული მეთოდის თანახმად, BH წირის იმ წერტილის მოსაძებნად, რომელშიც უნდა გაიაროს CG წირმა, დაგვჭირდებოდა ისეთივე გამოთვლების ჩატარება, შესაძლებელია უფრო ვრცელისაც, ვიდრე წინათ. მაგრამ იმის აგება, რომელსაც ამ გამოთვლებიდან მივიღებთ, ძალიან მარტივია. საჭიროა მხოლოდ CA წრფეზე ავიღოთ CH-ის ტოლი CF, სადაც CH არის HB-ს მართობული, შემდეგ F წერტილში გავავლოთ FG, BA-ს პარალელური და EA-ს ტოლი. ამგვარად მიიღება G წერტილი, რომელშიც უნდა გაიაროს CG საძიებელმა წირმა“.
დეკარტი განსაზღვრავს ციკლოიდის წერტილში ნორმალს, გაავლებს რა მას მგორავი წრისა და ციკლოიდის შეხების წერტილში. მოყვანილი დამტკიცება იმაში მდგომარეობს, რომ წრე განხილულია, როგორც უსასრულო რიცხვის გვერდებიანი მრავალკუთხედი. ამ დამტკიცების გამოყენება შეიძლება გორვის დროს შემოხაზული კიდევ სხვა წირებისადმი.
გაგრძელებული და შემოკლებული ციკლოიდებისადმი დეკარტიმ ააგო ნორმალები. უკანასკნელ შემთხვევაში ეს აგება მას საშუალებას აძლევს მიიღოს წირის გადაღუნვის წერტილები; დეკარტი უჩვენებს, რომ ნორმალი, გავლებული გადაღუნვის წერტილში, შეეხება, იმ წრეწირს, რომელზედაც იმყოფება შემოკლებული ციკლოიდის შემომწერი წერტილი.
