ფერმა პიერ

ფერმა პიერ (1601 – 1665) — მე-17 საუკუნის ერთ-ერთი უდიდესი ფრანგი მათემატიკოსი: საფუძველი ჩაუყარა რიცხვთა თეორიას, შეისწავლიდა გეომეტრიას, ალგებრას, მათემატიკურ ანალიზს; დეკარტთან ერთად დააფუძნა ანალიზური გეომეტრია; რიცხვთა თეორიაში აღიარებულია მისი ორი თეორემა — ფერმას დიდი და მცირე თეორემა.

პიერ დე-ფერმა დაიბადა 1601 წელს მონტობანში (საფრანგეთი), ვაჭრის ოჯახში. სწავლობდა ტულუზში იურიდიულ მეცნიერებას; რამდენიმე წელი იქ ადვოკატად მუშაობდა, შემდეგ კი იქვე პარლამენტის მრჩეველად დაინიშნა. ამ თანამდებობაზე დარჩა მთელი თავისი სიცოცხლე. აქ მას საკმაო დრო რჩებოდა მეცნიერული მუშაობისათვის. მათემატიკის ყველა დარგში ფერმამ უაღრესად მნიშვნელოვანი შედეგები მიიღო. ის კარგად იცნობდა ძველი თაობის მათემატიკას, რაც ხშირად ფერმას გამოკვლევების გამოსავალ წერტილს წარმოადგენდა. რიცხვთა თეორიაში მისი მუშაობის შედეგები ცნობილი გახდნენ იმ დროის მათემატიკოსებისადმი გაგზავნილი წერილებისა და დიოფანტეს ნაშრომებზე გაცემულ ბაშეს შენიშვნების წყალობით. მათემატიკის სხვა დარგში თავის შედეგებს ფერმა ხშირად უგზავნიდა პარიზის მათემატიკოსებს და ამგვარად ისინი ცნობილი ხდებოდნენ არა მარტო საფრანგეთში, არამედ უცხოეთშიც. თავის სიცოცხლეში ფერმამ გამოაქვეყნა ნაშრომების მხოლოდ ნაწილი და ისიც მეგობრების დაჟინებითი მოთხოვნის შემდეგ. ფერმას დანარჩენი ნაშრომები მრავალ მეცნიერულ წერილებთან ერთად 1679 წელს გამოსცა მისმა შვილმა სათაურით „სხვადა-სხვა თხზულებები“. უფრო გვიან კი გამოიცა ფერმას ნაშრომების სრული კრებული: „ფერმას თხზულებები“. დიდი გავლენა მოახდინა ფერმამ მათემატიკის ყველა დარგზე: რიცხვთა თეორიაზე, გეომეტრიასა და ალგებრაზე. დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა აგრეთვე ფერმას შრომებს დიფერენციალური აღრიცხვის შექმნისათვის.

1637 — 1638 წლებში ფერმასა და დეკარტს შორის პოლემიკამ მწვავე ხასიათი მიიღო. ფერმამ მკაცრად გააკრიტიკა დეკარტის „დიოპტრიკა“ და მასთან ერთად გაუგზავნა დეკარტს თავისი ნაშრომი „მაქსიმუმებისა და მინიმუმების შესახებ“. ამ ნაშრომში ფერმა ფაქტიურად აწარმოებს ოპერაციას, რომელსაც ახლა დიფერენცირება ეწოდება, და იყენებს მას არა მხოლოდ მაქსიმუმსა და მინიმუმზე ამოცანების ამოსახსნელად, არამედ მრუდისადმი მხების გავლების ამოცანების ამოსახსნელადაც. დეკარტიმ ცხარე და არასამართლიანი კრიტიკით უპასუხა ფერმას. ამ დავაში ფერმას მხარეზე გამოდიოდნენ რობერეალი და პასკალი. მოდავენი მაინც მორიგდნენ მერსენის შუამავლობით და თვით ფერმას შემარიგებლური ქცევით. როგორც გადმოგვცემენ, ფერმამ ამ დავაში გამოავლინა თავისი თავი ისეთ ადამიანად, რომელიც თავისუფალია ყოველგვარი წვრილმანი მედიდურობისაგან.

დეკარტთან ერთდროულად, მაგრამ სრულიად დამოუკიდებლად, ფერმასაც შემოჰყავს კოორდინატები. ეს აშკარად ჩანს მისი ნაშრომიდან „Jsagoge“: „...ამიტომ ჩვენ გამოვიყენებთ მეცნიერების ამ დარგისადმი (სახელდობრ, ადგილებზე მოძღვრებისადმი) საგანგებოდ და მისთვის შესაფერ ანალიზს იმისათვის, რომ მომავალში მისი შესწავლა ყველასათვის მისაწვდომი იყოს.

თუ რომელიმე დასკვნით განტოლებაში გვაქვს ორი უცნობი სიდიდე, მაშინ გვაქვს ადგილი და ერთი სიდიდის ბოლო წერტილი შემოხაზავს წრფეს ან მრუდ წირს...

მაგრამ განტოლებებს შეგვიძლია მივცეთ თვალსაჩინო სახე, თუკი ორივე უცნობ სიდიდეს მოვათავსებთ რომელიმე მოცემულ კუთნეში, რომელსაც, მეტ ნაწილად, მივიღებთ მართი კუთხის ტოლად, და თუ მოცემულია მდებარეობა და ერთ-ერთი სიდიდის ბოლო წერტილი...

NZM იყოს მდებარეობით მოცემული წრფე (ნახ. 15) და მასზე უცვლელი N წერტილი. ვთქვათ, NZ უდრის A უცნობ სიდიდეს და ZI მონაკვეთი, რომელიც მასთან ქმნის მოცემულ NZI კუთხეს, მეორე უცნობი სიდიდის ტოლია. თუ შემდეგ DA-ზე უდრის B-ს E-ზე, მაშინ I წერტილი იმყოფება მდებარეობით მოცემულ წრფეზე. მართლაც, როგორც B შეეფარდება D-ს, ისე A შეეფარდება E-ს. ამიტომ A-ს E-სთან შეფარდება მოცემულია (უცვლელია), გარდა ამისა, მოცემულია Z-თან კუთხე, ამიტომ NIZ სამკუთხედის სახე ცნობილია და, მაშასადამე, INZ კუთხეც, მაგრამ N წერტილი მოცემულია და NZ წრფე მდებარეობით ცნობილია. მაშასადამე, NI-ის მდებარეობა მოცემულია და სინთეზის მოხდენა ადვილია.

ნახაზი 15

ამ განტოლებამდე შეიძლება დაყვანა ყველა განტოლებისა, რომელთა წევრები ნაწილობრივ მოცემულია, ნაწილობრივად შეიცავენ A და E უცნობებს, დამოუკიდებლად იმისა, გამრავლებულია ეს უკანასკნელი სიდიდეები რომელიმე მოცემულ სიდიდეებზე, თუ მოცემულია უბრალოდ.

ვთქვათ Z pl. -D A-ზე უდრის B-ს E-ზე. თუ და-ვუშვებთ, რომ D R-ზე ტოლია Zpl.-ის, მაშინ როგორც B შეეფარდება D-ს, ისე R — A შეეფარდება E-ს. თუ ჩვენ მივიღებთ, რომ JIN ტოლია R-ის, მაშინ M წერტილი მოცემული იქნება და, მაშასადამე, MZ უდრის R — 1-ს. ამიტომ ცნობილია MZ-ის ZI-თან შეფარდება. მაგრამ რაკი Z-თან კუთხე ცნობილია, ამიტომ IZM სამკუთხედის სახე ცნობილია და დავასკვნით, რომ MI წრფე მდებარეობით მოცემულია. მაშასადამე, I წერტილი მდებარეობით მოცემულ წრფეზე იმყოფება. იგივე ადვილად მიიღება ყოველი განტოლებისათვის. რომელშიც წევრები გვხვდება A და E სიდიდეებით.

ეს არის ადგილის მარტივი და პირველი განტოლება, რომლის დახმარებით შესაძლებელია ყველა წრფივი ადგილის პოვნა“.

როგორც ვხედავთ, აქ ფერმას წამოყენებული აქვს დებულება იმის შესახებ, რომ ორუცნობიანი პირველი ხარისხის განტოლება წრფეს წარმოადგენს და გვაძლევს აგრეთვე ამ დებულების დამტკიცებასაც. ამ მიზნისათვის მან აიღო ერთი ღერძი აბსცისებისათვის და მასზე გამოსავალი წერტილი მათ ასათვლელად, შემდეგ ორდინატთა მიმართულება, რომლებიც გაავლო აბსცისათა ღერძის ყოველი შესაბამი წერტილიდან ცალ-ცალკე; ვინაიდან მას ორდინატთა ღერძი ჯერ კიდევ არ შემოუყვანია. არ შემოუყვანია აგრეთვე უარყოფითი აბსცისები და ორდინატები. ამ უკანასკნელებს იყენებდნენ, ასე ვთქვათ, შეუგნებლად, რამდენადაც ცნობილ მრუდებს მთლიანად ხაზავდნენ, არ იმტვრევდნენ რა მაზე თავს, შეიძლება თუ არა ერთისა და იმავე განტოლებით ყველა ნაწილის გამოსახვა, უცნობი მრუდის შემთხვევაში ხშირად აღმოცენდებოდა გაუგებრობა, თუ A და E ასოების ნაცვლად, რომლითაც ფერმა სარგებლობს, შემოვიყვანთ x და y, მაშინ ფერმას განტოლება იქნება

Dx = By oby x:y = B:D.

N წერტილი კოორდინატთა სათავეა, NI მასში გამავალი წრფეა, რომლის განტოლება სწორედ ზემომოყვანილი განტოლებაა.

ემდეგ ფერმა გვიჩვენებს, რომ ყოველი ზოგადი სახის წრფივი განტოლება წრფეს გამოსახავს. ეს განტოლებაა

Z- Dx = By;

Z pl. ნიშნავს Z planum, ესე იგი ფართობს; რადგან Dx და By ფართობებს ნიშნავენ, ამიტომ მათი ჯამიც Z ფართობი უნდა იყოს. ფერმას დაშვებით. Z = DR და განტოლება მიიღებს შემდეგ სახეს

D(R-x) = By.

ამის შემდეგ ფერმა გვაძლევს ელიფსის განტოლების პირველ ფორმას: „თუ Bq. ― Aq. აქვს Eq.-თან მოცემული შეფარდება, მაშინ წერტილი ელიფსზე იმყოფება.

ავიღოთ MN, B-ს ტოლი, და გავავლოთ ელიფსი M წვეროთი, NM დიამეტრითა და N ცენტრით (ნახ. 16), რომლის ორდინატები ZI წრფის პარალელურია და ვთქვათ, რომ ორდინატების კვადრატებს აქვს მოცემული შეფარდება დიამეტრის მონავეთებზე აგებულ მართკუთხედთან. მაშინ I წერტილი იმყოფება ასეთ ელიფსზე. მართლაც, NM-ის კვადრატს გამოკლებული NZ-oe კვადრატი ტოლია დიამეტრის მონაკვეთებზე აგებული მართკუთხედისა.

ამ განტოლებამდე მიიყვანება მსგავსი განტოლებები, რომ-ლებსაც აქვთ ერთ მხარეზე Aq., მეორეზე—Eq. საწინააღმდეგი ნიშნით, ამასთან ამ წევრებს აქვთ სხვადასხვა კოეფიციენტები. მართლაც, კოეფიციენტები რომ ერთმანეთის ტოლნი იყვნენ და კუთხე მართი, მაშინ ადგილი იქნება, როგორც უკვე ვთქვით, წრეწირი. თუკი კუთხე მართი არ არის, მაშინ ადგილი იქნება ელიფსი, როდესაც კოეფიციენტები ტოლია. ამის გარდა, თუ განტოლებაში გვაქვს კიდევ წევრები მოცემული სიდიდეების A-ზე და E-ზე ნამრავლით, მაშინ დაყვანა შეიძლება ნაჩვენები ხერხით“.

ნახაზი 15

როგორც ფერმა ამბობს, ორდინატების კვადრატებს აქვს მოცემული შეფარდება (რომელსაც აღვნიზნავთ k-თი) დიამეტრის მონაკვეთებზე აგებული მართკუთხედის ფართობთან, ესე იგი