ინტერპოლაცია

ინტერპოლაცია – ფუნქციის შუალედ მნიშვნელობათა მონახვა მისი ზოგიერთი ცნობილი მნიშვნელობის მიხედვით, ე.ი. f(x) ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობის მოძებნა იმ x წერტილებში, რომლებიც მდებარეობენ x_i (i=0,1,2,...,n) წერტილებს შორის, როდესაც ცნობილია f(x_i) ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ ამ წერტილებში x₀<x₁<x₂<...<x_n. უმარტივესი წრფივი ინტერპოლაცია წერტილისათვის xϵ[x₀;x₁] ხორციელდება ფორმულით

ინტერპოლაციას მიმართავენ, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ცხრილის სახით, აგრეთვე, როდესაც ექსპერიმენტიდან ცნობილია მხოლოდ ფუნქციის საბოლოო რიცხვითი მნიშვნელობები.

თუ საკითხი ისმის ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაზე [x₀;x_n] შუალედის გარეთ მდებარე x წერტილში, მაშინ ამ ამოცანას ფუნქციის ექსტრაპოლაცია ეწოდება.

ინტერპოლაციისათვის ცნობილია მრავალი ფორმულა, მაგალითად, ლაგრანჟის ინტერპოლირების ფორმულა, ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა და სხვ.

ტერმინი ლათინური წარმოშობისაა interpolare – „მიმსგავსება“, „განახლება“, „შეცვლა“. ეს სიტყვა თავდაპირველად ნიშნავდა ხელნაწერის მიმსგავსებას, განახლებას, ანუ ხელნაწერ დოკუმენტში ერთი ან რამდენიმე ისეთი სიტყვის ჩართვას, რომელიც არ იყო დედანში. თანამედროვე აზრით ეს სიტყვა პირველად გამოიყენა ვალისმა (1656), ასტრონომიული და მათემატიკური ცხრილების შედგენისას.

წრფივი ინტერპოლაციით უკვე პტოლემეოსი სარგებლობდა. ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა გამოქვეყნდა „Methodus differentialis“ -ში (1711), მაგრამ ეს ფორმულა ნახსენები იყო ჯერ კიდევ 1676 წლის წერილში. რამდენიმე წლით ადრე (1670) ანალოგიური ფორმულა მიიღო ჯ. გრეგორიმ. თავისი ინტერპოლირების ფორმულის შესახებ ნიუტონი წერდა: ეს არის „ერთ-ერთი იმ ყველაზე მნიშვნელოვანი პრობლემებიდან, რომლის ამოხსნის იმედიც მე შეიძლება მქონოდა!“. თუნდაც ის ფაქტი, რომ ამ პრობლემის გადაწყვეტა გრეგორიმაც შეძლო, ადასტურებს მის ღრმა ერუდიციას, რომელიც სათანადოდ მხოლოდ მოგვიანებით შეფასდა. ნიუტონი, ისევე როგორც გრეგორი, სხვაობას აღნიშნავდა d,f,h, ... ასოებით. ლაიბნიცის გავლენით ∆f, ∆² f,... აღნიშვნებს იყენებდა ეილერი (1755). ლაგრანჟის ფორმულა აღმოაჩინა ვარინგმა, რომელიც უცნობი დარჩა ინგლისის საზღვრებს გარეთ და 1795 წელს ხელახლა გამოიგონა ლაგრანჟმა. თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია გაუსის, ენკეს, კოშის, ლევერიეს, ჩებიშევის სახელებთან. ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად რუნგემ (1904) და ბორელმა (1903) მარტივ მაგალითზე აჩვენეს, რომ რომ ინტერპოლირებადი მრავალწევრის ხარისხის ზრდა არ ნიშნავს მიახლოების გაუმჯობესებას. ინტერპოლაციის თეორიის მკაცრი დამუშავება დაიწყო ხანის და ფეიერის შრომებით (1918).

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი