ინტეგრალი ჯერადი
მ (მომხმარებელმა Echelidze გვერდი „სამჯერადი ინტეგრალი“ გადაიტანა გვერდზე „ინტეგრალი ჯერადი“ გად...) |
|||
| (ერთი მომხმარებლის ერთი შუალედური ვერსია არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ინტეგრალი ჯერადი''' – ეს ცნება შემოღებულ იქნა XVIII საუკუნის შუა წლებში, დასაწყისში | + | '''ინტეგრალი ჯერადი''' – ეს ცნება შემოღებულ იქნა XVIII საუკუნის შუა წლებში, დასაწყისში „[[განუსაზღვრელი ინტეგრალი]]ს სახით“. |
| − | '''ორჯერადი ინტეგრალი''' არის განსაზღვრული ინტეგრალი ორი | + | '''ორჯერადი ინტეგრალი''' არის [[განსაზღვრული ინტეგრალი]] ორი [[ცვლადი]]ს [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქციიდან]], რომელშიც [[ინტეგრება]] ხდება ორგანზომილებიან [[სიმრავლე]]ზე; |
| − | თუ f(x,y) ფუნქცია 0xy სიბრტყის S | + | თუ f(x,y) ფუნქცია 0xy [[სიბრტყე (გეომეტრია)|სიბრტყის]] S [[არე]]ში ღებულობს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს, მაშინ ორჯერადი [[ინტეგრალი]] ასე ჩაიწერება: |
:::::[[ფაილი:Integrali jer009.png]]f(x,y) ds, ან [[ფაილი:Integrali jer009.png]]f(x,y) dx dy | :::::[[ფაილი:Integrali jer009.png]]f(x,y) ds, ან [[ფაილი:Integrali jer009.png]]f(x,y) dx dy | ||
| − | და რიცხობრივად ტოლია ვერტიკალური 0z ღერძის პარალელური ცილინდრული | + | და რიცხობრივად ტოლია [[ვერტიკალური]] 0z [[ღერძი|ღერძის]] [[პარალელურობა|პარალელური]] ცილინდრული [[სხეული (გეომეტრიული)|სხეული]]სა, რომელიც 0xy სიბრტყეზე მდებარე S ფუძეზე არის აგებული და ზემოდან შემოსაზღვრულია z = f(x,y) [[ზედაპირი (გეომეტრია)|ზედაპირი]]ს ნაწილით. S -ს ეწოდება ინტეგრების არე, ხოლო ds ან dxdy-ს – ამ არეს [[ფართობი (გეომეტრია)|ფართობის]] [[ელემენტი (მათემატიკა)|ელემენტი]]. |
0xy სიბრტყეზე მოთავსებულ ჩაკეტილ S არეზე f(x,y)=1 ფუნქციიდან ორჯერადი ინტეგრალი გამოსახავს S არეს ფართობს: | 0xy სიბრტყეზე მოთავსებულ ჩაკეტილ S არეზე f(x,y)=1 ფუნქციიდან ორჯერადი ინტეგრალი გამოსახავს S არეს ფართობს: | ||
| ხაზი 13: | ხაზი 13: | ||
[[ფაილი:Integral021.png|მარჯვნივ|290პქ]] | [[ფაილი:Integral021.png|მარჯვნივ|290პქ]] | ||
| − | ორჯერადი ინტეგრალი შეიძლება გამოვთვალოთ თანმიმდევრობით ჩატარებული ორი მარტივი ინტეგრალის გამოთვლის შედეგად: თუ 0xy სიბრტყეზე S არე შემოსაზღვრულია წირებით: a ≤x≤ b, y<sub>1</sub>(x) ≤ y ≤ y<sub>2</sub>(x), მაშინ | + | ორჯერადი ინტეგრალი შეიძლება [[გამოთვლა (მათემატიკა)|გამოვთვალოთ]] თანმიმდევრობით ჩატარებული ორი მარტივი ინტეგრალის გამოთვლის შედეგად: თუ 0xy სიბრტყეზე S არე შემოსაზღვრულია [[წირი|წირებით]]: a ≤x≤ b, y<sub>1</sub>(x) ≤ y ≤ y<sub>2</sub>(x), მაშინ |
| ხაზი 27: | ხაზი 27: | ||
| − | '''სამჯერადი ინტეგრალი:''' ვთქვათ V არის სივრცითი სხეული, თუ მოცემულია V არეში განსაზღვრული შემოსაზღვრული f(x, y, z) ფუნქცია, მაშინ სამჯერადი ინტეგრალი f(x, y, z) ფუნქციიდან V არეზე ასე ჩაიწერება: | + | '''სამჯერადი ინტეგრალი:''' ვთქვათ V არის [[სივრცე|სივრცითი]] სხეული, თუ მოცემულია V არეში განსაზღვრული [[შემოსაზღვრული ფუნქცია|შემოსაზღვრული]] f(x, y, z) ფუნქცია, მაშინ სამჯერადი ინტეგრალი f(x, y, z) ფუნქციიდან V არეზე ასე ჩაიწერება: |
::::[[ფაილი:Integral043.png]]f(x,y,z)dv, ან [[ფაილი:Integral043.png]]f(x,y,z)dx dy dz | ::::[[ფაილი:Integral043.png]]f(x,y,z)dv, ან [[ფაილი:Integral043.png]]f(x,y,z)dx dy dz | ||
[[ფაილი:Integral047.png|მარჯვნივ|180პქ]] | [[ფაილი:Integral047.png|მარჯვნივ|180პქ]] | ||
| − | სამჯერადი ინტეგრალი შეიძლება დავიყვანოთ ორჯერად ინტეგრალზე. მაგალითად, თუ V არის ცილინდრული სხეული, რომელიც ქვემოდან შემოსაზღვრულია z = z<sub>1</sub>(x,y), ხოლო ზემოდან z = z<sub>2</sub>(x,y) ზედაპირებით, ამასთანავე V | + | სამჯერადი ინტეგრალი შეიძლება დავიყვანოთ ორჯერად ინტეგრალზე. მაგალითად, თუ V არის ცილინდრული სხეული, რომელიც ქვემოდან შემოსაზღვრულია z = z<sub>1</sub>(x,y), ხოლო ზემოდან z = z<sub>2</sub>(x,y) ზედაპირებით, ამასთანავე V [[გეგმილი (პროექცია)|გეგმილი]] 0xy სიბრტყეზე არის S არე და მოცემულია V არეში განსაზღვრული [[შემოსაზღვრული ფუნქცია|შემოსაზღვრული]] f(x, y, z) ფუნქცია, მაშინ სამჯერადი ინტეგრალი f(x, y, z) ფუნქციიდან V არეზე ასე ჩაიწერება: |
::::[[ფაილი:Integral055.png]] | ::::[[ფაილი:Integral055.png]] | ||
| ხაზი 38: | ხაზი 38: | ||
ე. ი. z -ით ინტეგრების შედეგად სამჯერადი ინტეგრალი დაიყვანება ორჯერად ინტეგრალზე. | ე. ი. z -ით ინტეგრების შედეგად სამჯერადი ინტეგრალი დაიყვანება ორჯერად ინტეგრალზე. | ||
| − | 1769 წელს ეილერმა დაადგინა ორჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოსაზღვრულ არეზე და სხვადასხვა მაგალითზე აჩვენა, როგორ უნდა გამოვთვალოთ და გამოვიყენოთ ისინი. სამჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოიღო ლაგრანჟმა (1770). | + | 1769 წელს [[ეილერი ლეონარდ|ეილერმა]] დაადგინა ორჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოსაზღვრულ არეზე და სხვადასხვა მაგალითზე აჩვენა, როგორ უნდა გამოვთვალოთ და გამოვიყენოთ ისინი. სამჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოიღო [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟმა]] (1770). |
| ხაზი 45: | ხაზი 45: | ||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
| + | [[კატეგორია:ინტეგრალები]] | ||
მიმდინარე ცვლილება 22:26, 6 ივლისი 2024 მდგომარეობით
ინტეგრალი ჯერადი – ეს ცნება შემოღებულ იქნა XVIII საუკუნის შუა წლებში, დასაწყისში „განუსაზღვრელი ინტეგრალის სახით“.
ორჯერადი ინტეგრალი არის განსაზღვრული ინტეგრალი ორი ცვლადის ფუნქციიდან, რომელშიც ინტეგრება ხდება ორგანზომილებიან სიმრავლეზე;
თუ f(x,y) ფუნქცია 0xy სიბრტყის S არეში ღებულობს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს, მაშინ ორჯერადი ინტეგრალი ასე ჩაიწერება:
f(x,y) ds, ან f(x,y) dx dy
და რიცხობრივად ტოლია ვერტიკალური 0z ღერძის პარალელური ცილინდრული სხეულისა, რომელიც 0xy სიბრტყეზე მდებარე S ფუძეზე არის აგებული და ზემოდან შემოსაზღვრულია z = f(x,y) ზედაპირის ნაწილით. S -ს ეწოდება ინტეგრების არე, ხოლო ds ან dxdy-ს – ამ არეს ფართობის ელემენტი.
0xy სიბრტყეზე მოთავსებულ ჩაკეტილ S არეზე f(x,y)=1 ფუნქციიდან ორჯერადი ინტეგრალი გამოსახავს S არეს ფართობს:
ორჯერადი ინტეგრალი შეიძლება გამოვთვალოთ თანმიმდევრობით ჩატარებული ორი მარტივი ინტეგრალის გამოთვლის შედეგად: თუ 0xy სიბრტყეზე S არე შემოსაზღვრულია წირებით: a ≤x≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x), მაშინ
ან თუ S: c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y), მაშინ
ე. ი. x -ით ინტეგრების შედეგად ორჯერადი ინტეგრალი დაიყვანება ერთჯერად ინტეგრალზე.
სამჯერადი ინტეგრალი: ვთქვათ V არის სივრცითი სხეული, თუ მოცემულია V არეში განსაზღვრული შემოსაზღვრული f(x, y, z) ფუნქცია, მაშინ სამჯერადი ინტეგრალი f(x, y, z) ფუნქციიდან V არეზე ასე ჩაიწერება:
f(x,y,z)dv, ან f(x,y,z)dx dy dz
სამჯერადი ინტეგრალი შეიძლება დავიყვანოთ ორჯერად ინტეგრალზე. მაგალითად, თუ V არის ცილინდრული სხეული, რომელიც ქვემოდან შემოსაზღვრულია z = z1(x,y), ხოლო ზემოდან z = z2(x,y) ზედაპირებით, ამასთანავე V გეგმილი 0xy სიბრტყეზე არის S არე და მოცემულია V არეში განსაზღვრული შემოსაზღვრული f(x, y, z) ფუნქცია, მაშინ სამჯერადი ინტეგრალი f(x, y, z) ფუნქციიდან V არეზე ასე ჩაიწერება:
ე. ი. z -ით ინტეგრების შედეგად სამჯერადი ინტეგრალი დაიყვანება ორჯერად ინტეგრალზე.
1769 წელს ეილერმა დაადგინა ორჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოსაზღვრულ არეზე და სხვადასხვა მაგალითზე აჩვენა, როგორ უნდა გამოვთვალოთ და გამოვიყენოთ ისინი. სამჯერადი ინტეგრალის ცნება შემოიღო ლაგრანჟმა (1770).
