დიფერენციალური განტოლება
(ახალი გვერდი: '''დიფერენციალური განტოლება''' – განტოლება, რომელიც შეიცავს ...) |
|||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''დიფერენციალური განტოლება''' – [[განტოლება]], რომელიც შეიცავს დამოუკიდებელ [[ცვლადი|ცვლადებს]], ერთ ან რამდენიმე საძიებელ (უცნობ) | + | '''დიფერენციალური განტოლება''' – [[განტოლება]], რომელიც შეიცავს დამოუკიდებელ [[ცვლადი|ცვლადებს]], ერთ ან რამდენიმე საძიებელ (უცნობ) [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]]ს და მათ ნებისმიერი რიგის [[წარმოებული|წარმოებულებს]]: |
::::::F(x, y, y', y",..., y<sup>(n)</sup>) = 0. | ::::::F(x, y, y', y",..., y<sup>(n)</sup>) = 0. | ||
| − | დიფერენციალური განტოლებები იყოფა ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებშიც, როგორც უცნობები, შედიან მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქციები და კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებიც შეიცავენ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კერძო წარმოებულებს. პერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების მთავარი განსხვავება ჩვეულებრივისაგან ის არის, რომ მისი ზოგადი ამონახსნი დამოკიდებულია არა ნებისმიერ მუდმივებზე, არამედ ნებისმიერ ფუნქციებზე. | + | დიფერენციალური [[განტოლება|განტოლებები]] იყოფა ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებშიც, როგორც უცნობები, შედიან მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქციები და [[კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება|კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებად]], რომლებიც შეიცავენ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის [[კერძო წარმოებული|კერძო წარმოებულებს]]. პერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების მთავარი განსხვავება ჩვეულებრივისაგან ის არის, რომ მისი ზოგადი ამონახსნი დამოკიდებულია არა ნებისმიერ მუდმივებზე, არამედ ნებისმიერ ფუნქციებზე. |
| − | '''პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ზოგიერთი სპეციალური ტიპი:''' | + | '''პირველი რიგის [[ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება|ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების]] ზოგიერთი სპეციალური ტიპი:''' |
| ხაზი 15: | ხაზი 15: | ||
| − | '''3. განტოლება სრულ დიფერენციალებში:''' | + | '''3. განტოლება [[სრული დიფერენციალი|სრულ დიფერენციალებში]]:''' |
:::P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, | :::P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, | ||
| − | სადაც მარცხენა მხარე წარმოადგენს სრულ დიფერენციალს dφ; ეს ნიშნავს, რომ სრულდება პირობა: ∂P/ ∂y = ∂Q / ∂x. | + | სადაც მარცხენა მხარე წარმოადგენს სრულ დიფერენციალს dφ; ეს ნიშნავს, რომ სრულდება [[პირობა (მათემატიკა)|პირობა]]: ∂P/ ∂y = ∂Q / ∂x. |
| − | ზოგადი ამონახსნი (ინტეგრალი): | + | ზოგადი ამონახსნი ([[ინტეგრალი]]): |
:::[[ფაილი:Diferencialuri gantoleba.PNG|300px]] | :::[[ფაილი:Diferencialuri gantoleba.PNG|300px]] | ||
| − | '''4. პირველი რიგის წრფივი განტოლება:''' y' + f(x) y = φ (x). ზოგადი ამონახსნია: | + | '''4. პირველი რიგის [[წრფივი განტოლება]]:''' y' + f(x) y = φ (x). ზოგადი ამონახსნია: |
| ხაზი 31: | ხაზი 31: | ||
| − | დიფერენციალური განტოლებები საშუალებას იძლევიან გამოვსახოთ დამოკიდებულებები ფიზიკური სიდიდეების ცვლილებებს შორის, და ამიტომაც აქვთ დიდი პრაქტიკული გამოყენება. მექანიკისა და ფიზიკის ძირითადი კანონები ჩაწერილია დიფერენციალური განტოლებების ფორმით, ხოლო ამ განტოლებების ინტეგრების ამოცანა წარმოადგენს მათემატიკის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან ამოცანას. | + | დიფერენციალური განტოლებები საშუალებას იძლევიან გამოვსახოთ დამოკიდებულებები ფიზიკური სიდიდეების ცვლილებებს შორის, და ამიტომაც აქვთ დიდი პრაქტიკული გამოყენება. [[მექანიკა|მექანიკისა]] და ფიზიკის ძირითადი კანონები ჩაწერილია დიფერენციალური განტოლებების ფორმით, ხოლო ამ განტოლებების ინტეგრების [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანა]] წარმოადგენს [[მათემატიკა|მათემატიკის]] ერთ-ერთ მნიშვნელოვან ამოცანას. |
| − | მექანიკის და სხვა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების მოთხოვნილებათა უშუალო ზეგავლენით დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია ჩაისახა XVII საუკუნის დამლევს დიფერენციალურ | + | მექანიკის და სხვა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების მოთხოვნილებათა უშუალო ზეგავლენით დიფერენციალურ განტოლებათა [[თეორია]] ჩაისახა XVII საუკუნის დამლევს [[დიფერენციალური აღრიცხვა|დიფერენციალურ აღრიცხვა]]სა და [[ინტეგრალური აღრიცხვა|ინტეგრალურ აღრიცხვა]]სთან ერთად. ეს [[ტერმინი]] პირველად [[ლაიბნიცი გოტფრიდ ვილჰელმ|ლაიბნიცმა]] შემოიღო [[ნიუტონი ისააკ|ნიუტონი]]სადმი გაგზავნილ წერილში (1676). განცალებად ცვლადებიან დიფერენციალურ განტოლებებს იკვლევდნენ ლაიბნიცი და მისი მოსწავლეები. [[ერთგვაროვანი განტოლება|ერთგვაროვანი განტოლებები]]ს [[ამოხსნა|ამოხსნის]] მეთოდი აღმოაჩინა [[იოჰან ბერნული]]მ (1695). წრფივ განტოლებათა ამოხსნის მეთოდი გამოიგონა [[იაკობ ბერნული]]მ (1695 წ., გამოიყენა [[ჩასმა (მათემატიკა)|ჩასმა]] y=uv), მანვე ამოხსნა „[[ბერნულის განტოლება]]“, რომელიც მიიყვანა წრფივ განტოლებამდე (1695). იაკობ ბერნულსავე ეკუთვნის განტოლების რიგის დაწევის იდეა [[პარამეტრი (მათემატიკა)|პარამეტრის]] შემოტანით. იგივე ხერხი აღმოაჩინა და პირველმა გამოაქვეყნა ჯ. რიკატმა (1715). განტოლება სრულ დიფერენციალებში სრულად გამოიკვლიეს [[ეილერი ლეონარდ|ეილერმა]] და კლერომ. [[დიფერენცირება|დიფერენცირების]] რიგისაგან [[შედეგი|შედეგის]] დამოუკიდებლობის თეორემა პირველად ითვლებოდა [[აქსიომა]]დ. იგი დაამტკიცა ეილერმა (1734, 1735); მან დაადგინა პირობა, როცა გამოსახულება P(x,y)dx+ Q(x,y)dy არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. ერთდროულად იგივე შედეგი მიიღო კლერომ. კლერომ განსაზღვრა [[სრული დიფერენციალი]] და შემოიღო ეს ტერმინი. |
| − | როგორც წესი, ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა კვადრატურებში (ე.ი. ელემენტარულ ფუნქციებში და მათ პირველყოფილებში) ხშირად შეუძლებელია. ამიტომ მათ ამოსახსნელად ფართოდ გამოიყენება მიახლოებითი მეთოდები: სასრული სხვაობის მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, მწკრივად გაშლა. დიდი მნიშვნელობა აქვს თვისებრივ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას იძლევიან მივუთითოთ ამოცანის ამოხსნის ამა თუ იმ თვისებაზე თვით ამონახსნის მოძებნის გარეშე. | + | როგორც წესი, ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა [[კვადრატურა|კვადრატურებში]] (ე.ი. [[ელემენტარული ფუნქციები|ელემენტარულ ფუნქციებში]] და მათ [[პირველყოფილი ფუნქცია|პირველყოფილებში]]) ხშირად შეუძლებელია. ამიტომ მათ ამოსახსნელად ფართოდ გამოიყენება მიახლოებითი მეთოდები: [[სასრული და უსასრულო|სასრული]] [[სხვაობა (მათემატიკა)|სხვაობის]] [[მეთოდი (მათემატიკური)|მეთოდი]], გრაფიკული მეთოდი, [[მწკრივი (მათემატიკა)|მწკრივად]] გაშლა. დიდი მნიშვნელობა აქვს თვისებრივ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას იძლევიან მივუთითოთ ამოცანის ამოხსნის ამა თუ იმ თვისებაზე თვით ამონახსნის მოძებნის გარეშე. |
| − | კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების ან განტოლებათა სისტემის განსაკუთრებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ კერძო ამონახსნის ცალსახა განსაზღვრისათვის აქ მოითხოვება არა ამა თუ იმ პარამეტრთა სასრული რაოდენობის მნიშვნელობის, არამედ რაიმე ფუნქციების მოცემა; ტიპიურ ამოცანას წარმოადგენს კოშის ამოცანა. პირველზე მაღალი რიგის ასეთი დიფერენციალური განტოლებებისათვის აგრეთვე განიხილება სასაზღვრო ამოცანები. | + | კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების ან [[განტოლებათა სისტემა|განტოლებათა სისტემის]] განსაკუთრებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ კერძო ამონახსნის ცალსახა განსაზღვრისათვის აქ მოითხოვება არა ამა თუ იმ პარამეტრთა სასრული რაოდენობის მნიშვნელობის, არამედ რაიმე ფუნქციების მოცემა; ტიპიურ ამოცანას წარმოადგენს [[კოშის ამოცანა]]. პირველზე მაღალი რიგის ასეთი დიფერენციალური განტოლებებისათვის აგრეთვე განიხილება [[სასაზღვრო ამოცანა|სასაზღვრო ამოცანები]]. |
| − | კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები წარმოადგენენ ძირითად მათემატიკურ აპარატს ისეთი დარგების შესასწავლად, როგორიცაა დრეკადობის თეორია, ჰიდრომექანიკა, აერომექანიკა და სხვ. | + | კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები წარმოადგენენ ძირითად მათემატიკურ აპარატს ისეთი დარგების შესასწავლად, როგორიცაა [[დრეკადობის თეორია]], [[ჰიდრომექანიკა]], [[აერომექანიკა]] და სხვ. |
==წყარო== | ==წყარო== | ||
[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | [[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | ||
| − | |||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
[[კატეგორია:ალგებრა]] | [[კატეგორია:ალგებრა]] | ||
13:03, 5 ივლისი 2024-ის ვერსია
დიფერენციალური განტოლება – განტოლება, რომელიც შეიცავს დამოუკიდებელ ცვლადებს, ერთ ან რამდენიმე საძიებელ (უცნობ) ფუნქციას და მათ ნებისმიერი რიგის წარმოებულებს:
- F(x, y, y', y",..., y(n)) = 0.
დიფერენციალური განტოლებები იყოფა ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებშიც, როგორც უცნობები, შედიან მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქციები და კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებიც შეიცავენ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კერძო წარმოებულებს. პერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების მთავარი განსხვავება ჩვეულებრივისაგან ის არის, რომ მისი ზოგადი ამონახსნი დამოკიდებულია არა ნებისმიერ მუდმივებზე, არამედ ნებისმიერ ფუნქციებზე.
პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ზოგიერთი სპეციალური ტიპი:
1. განტოლება განცალებადი ცვლადებით: y' = f1(x) / f2(y).
მისი ზოგადი ამონახსნია: ∫ f2(y)dy= ∫ f1(x)dx+C.
2. პირველი რიგის ერთგვაროვანი განტოლება ასეთი სახისაა: y' = f(y/x). ჩასმას u = y/x მივყევართ 1. განტოლებამდე: u' = [f(u) – u] / x.
3. განტოლება სრულ დიფერენციალებში:
- P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0,
სადაც მარცხენა მხარე წარმოადგენს სრულ დიფერენციალს dφ; ეს ნიშნავს, რომ სრულდება პირობა: ∂P/ ∂y = ∂Q / ∂x.
ზოგადი ამონახსნი (ინტეგრალი):
4. პირველი რიგის წრფივი განტოლება: y' + f(x) y = φ (x). ზოგადი ამონახსნია:
დიფერენციალური განტოლებები საშუალებას იძლევიან გამოვსახოთ დამოკიდებულებები ფიზიკური სიდიდეების ცვლილებებს შორის, და ამიტომაც აქვთ დიდი პრაქტიკული გამოყენება. მექანიკისა და ფიზიკის ძირითადი კანონები ჩაწერილია დიფერენციალური განტოლებების ფორმით, ხოლო ამ განტოლებების ინტეგრების ამოცანა წარმოადგენს მათემატიკის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან ამოცანას.
მექანიკის და სხვა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების მოთხოვნილებათა უშუალო ზეგავლენით დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია ჩაისახა XVII საუკუნის დამლევს დიფერენციალურ აღრიცხვასა და ინტეგრალურ აღრიცხვასთან ერთად. ეს ტერმინი პირველად ლაიბნიცმა შემოიღო ნიუტონისადმი გაგზავნილ წერილში (1676). განცალებად ცვლადებიან დიფერენციალურ განტოლებებს იკვლევდნენ ლაიბნიცი და მისი მოსწავლეები. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი აღმოაჩინა იოჰან ბერნულიმ (1695). წრფივ განტოლებათა ამოხსნის მეთოდი გამოიგონა იაკობ ბერნულიმ (1695 წ., გამოიყენა ჩასმა y=uv), მანვე ამოხსნა „ბერნულის განტოლება“, რომელიც მიიყვანა წრფივ განტოლებამდე (1695). იაკობ ბერნულსავე ეკუთვნის განტოლების რიგის დაწევის იდეა პარამეტრის შემოტანით. იგივე ხერხი აღმოაჩინა და პირველმა გამოაქვეყნა ჯ. რიკატმა (1715). განტოლება სრულ დიფერენციალებში სრულად გამოიკვლიეს ეილერმა და კლერომ. დიფერენცირების რიგისაგან შედეგის დამოუკიდებლობის თეორემა პირველად ითვლებოდა აქსიომად. იგი დაამტკიცა ეილერმა (1734, 1735); მან დაადგინა პირობა, როცა გამოსახულება P(x,y)dx+ Q(x,y)dy არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. ერთდროულად იგივე შედეგი მიიღო კლერომ. კლერომ განსაზღვრა სრული დიფერენციალი და შემოიღო ეს ტერმინი.
როგორც წესი, ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა კვადრატურებში (ე.ი. ელემენტარულ ფუნქციებში და მათ პირველყოფილებში) ხშირად შეუძლებელია. ამიტომ მათ ამოსახსნელად ფართოდ გამოიყენება მიახლოებითი მეთოდები: სასრული სხვაობის მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, მწკრივად გაშლა. დიდი მნიშვნელობა აქვს თვისებრივ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას იძლევიან მივუთითოთ ამოცანის ამოხსნის ამა თუ იმ თვისებაზე თვით ამონახსნის მოძებნის გარეშე.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების ან განტოლებათა სისტემის განსაკუთრებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ კერძო ამონახსნის ცალსახა განსაზღვრისათვის აქ მოითხოვება არა ამა თუ იმ პარამეტრთა სასრული რაოდენობის მნიშვნელობის, არამედ რაიმე ფუნქციების მოცემა; ტიპიურ ამოცანას წარმოადგენს კოშის ამოცანა. პირველზე მაღალი რიგის ასეთი დიფერენციალური განტოლებებისათვის აგრეთვე განიხილება სასაზღვრო ამოცანები.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები წარმოადგენენ ძირითად მათემატიკურ აპარატს ისეთი დარგების შესასწავლად, როგორიცაა დრეკადობის თეორია, ჰიდრომექანიკა, აერომექანიკა და სხვ.
