ინტერპოლაცია
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ინტერპოლაცია''' – ფუნქციის შუალედ მნიშვნელობათა მონახვა მისი ზოგიერთი ცნობილი მნიშვნელობის მიხედვით, ე.ი. f(x) ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობის მოძებნა იმ x წერტილებში, რომლებიც მდებარეობენ x<sub>i</sub> (i=0,1,2,...,n) წერტილებს შორის, როდესაც ცნობილია f(x<sub>i</sub>) ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ ამ წერტილებში x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><x<sub>2</sub><...<x<sub>n</sub>. უმარტივესი წრფივი ინტერპოლაცია წერტილისათვის xϵ[x<sub>0</sub>;x<sub>1</sub>] ხორციელდება ფორმულით | + | '''ინტერპოლაცია''' (''ლათ''. interpolare – „მიმსგავსება“, „განახლება“, „შეცვლა“) – [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქციის]] შუალედ მნიშვნელობათა მონახვა მისი ზოგიერთი ცნობილი მნიშვნელობის მიხედვით, ე.ი. f(x) ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობის მოძებნა იმ x [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილებში]], რომლებიც მდებარეობენ x<sub>i</sub> (i=0,1,2,...,n) წერტილებს შორის, როდესაც ცნობილია f(x<sub>i</sub>) ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ ამ წერტილებში x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><x<sub>2</sub><...<x<sub>n</sub>. უმარტივესი წრფივი ინტერპოლაცია წერტილისათვის xϵ[x<sub>0</sub>;x<sub>1</sub>] ხორციელდება [[ფორმულა|ფორმულით]] |
::::[[ფაილი:Inter001.png]] | ::::[[ფაილი:Inter001.png]] | ||
| − | ინტერპოლაციას მიმართავენ, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ცხრილის სახით, აგრეთვე, როდესაც ექსპერიმენტიდან ცნობილია მხოლოდ ფუნქციის საბოლოო | + | ინტერპოლაციას მიმართავენ, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ცხრილის სახით, აგრეთვე, როდესაც [[ექსპერიმენტი|ექსპერიმენტიდან]] ცნობილია მხოლოდ ფუნქციის საბოლოო [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვი]]თი მნიშვნელობები. |
| − | თუ საკითხი ისმის ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაზე [x<sub>0</sub>;x<sub>n</sub>] | + | თუ საკითხი ისმის ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაზე [x<sub>0</sub>;x<sub>n</sub>] [[შუალედი (მათემატიკური)|შუალედი]]ს გარეთ მდებარე x წერტილში, მაშინ ამ [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანა]]ს ფუნქციის [[ექსტრაპოლაცია (მათემატიკა)|ექსტრაპოლაცია]] ეწოდება. |
| − | ინტერპოლაციისათვის ცნობილია მრავალი ფორმულა, მაგალითად, ლაგრანჟის ინტერპოლირების ფორმულა, ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა და სხვ. | + | ინტერპოლაციისათვის ცნობილია მრავალი ფორმულა, მაგალითად, [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟის]] ინტერპოლირების ფორმულა, [[ნიუტონი ისააკ|ნიუტონის]] ინტერპოლირების ფორმულა და სხვ. |
| − | + | ეს სიტყვა თავდაპირველად ნიშნავდა ხელნაწერის მიმსგავსებას, განახლებას, ანუ ხელნაწერ დოკუმენტში ერთი ან რამდენიმე ისეთი სიტყვის ჩართვას, რომელიც არ იყო დედანში. თანამედროვე აზრით ეს სიტყვა პირველად გამოიყენა [[ვალისი ჯონი|ვალისმა]] (1656), [[ასტრონომია|ასტრონომიული]] და [[მათემატიკა|მათემატიკური]] ცხრილების შედგენისას. | |
| − | წრფივი ინტერპოლაციით უკვე | + | წრფივი ინტერპოლაციით უკვე [[პტოლემეუსი]] სარგებლობდა. ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა გამოქვეყნდა „Methodus differentialis“ -ში (1711), მაგრამ ეს ფორმულა ნახსენები იყო ჯერ კიდევ 1676 წლის წერილში. რამდენიმე წლით ადრე (1670) ანალოგიური ფორმულა მიიღო ჯ. გრეგორიმ. თავისი ინტერპოლირების ფორმულის შესახებ ნიუტონი წერდა: ეს არის „ერთ-ერთი იმ ყველაზე მნიშვნელოვანი პრობლემებიდან, რომლის ამოხსნის იმედიც მე შეიძლება მქონოდა!“. თუნდაც ის ფაქტი, რომ ამ პრობლემის გადაწყვეტა გრეგორიმაც შეძლო, ადასტურებს მის ღრმა ერუდიციას, რომელიც სათანადოდ მხოლოდ მოგვიანებით შეფასდა. ნიუტონი, ისევე როგორც გრეგორი, სხვაობას აღნიშნავდა d,f,h, ... ასოებით. [[ლაიბნიცი გოტფრიდ ვილჰელმ|ლაიბნიცის]] გავლენით ∆f, ∆<sup>2</sup> f,... აღნიშვნებს იყენებდა [[ეილერი ლეონარდ|ეილერი]] (1755). [[ლაგრანჟის ფორმულა]] აღმოაჩინა ვარინგმა, რომელიც უცნობი დარჩა ინგლისის საზღვრებს გარეთ და 1795 წელს ხელახლა გამოიგონა ლაგრანჟმა. [[თეორია|თეორიის]] შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია [[გაუსი კარლ ფრიდრიხ|გაუსის]], ენკეს, კოშის, ლევერიეს, [[ჩებიშევი პაფნუტი|ჩებიშევის]] სახელებთან. ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად რუნგემ (1904) და [[ბორელი ემილ|ბორელმა]] (1903) მარტივ მაგალითზე აჩვენეს, რომ რომ ინტერპოლირებადი [[მრავალწევრი|მრავალწევრის]] ხარისხის ზრდა არ ნიშნავს მიახლოების გაუმჯობესებას. ინტერპოლაციის თეორიის მკაცრი დამუშავება დაიწყო ხანის და ფეიერის შრომებით (1918). |
| ხაზი 17: | ხაზი 17: | ||
==წყარო== | ==წყარო== | ||
[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | [[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | ||
| − | |||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
13:22, 9 ივლისი 2024-ის ვერსია
ინტერპოლაცია (ლათ. interpolare – „მიმსგავსება“, „განახლება“, „შეცვლა“) – ფუნქციის შუალედ მნიშვნელობათა მონახვა მისი ზოგიერთი ცნობილი მნიშვნელობის მიხედვით, ე.ი. f(x) ფუნქციის მიახლოებითი მნიშვნელობის მოძებნა იმ x წერტილებში, რომლებიც მდებარეობენ xi (i=0,1,2,...,n) წერტილებს შორის, როდესაც ცნობილია f(xi) ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ ამ წერტილებში x0<x1<x2<...<xn. უმარტივესი წრფივი ინტერპოლაცია წერტილისათვის xϵ[x0;x1] ხორციელდება ფორმულით
ინტერპოლაციას მიმართავენ, როდესაც ფუნქცია მოცემულია ცხრილის სახით, აგრეთვე, როდესაც ექსპერიმენტიდან ცნობილია მხოლოდ ფუნქციის საბოლოო რიცხვითი მნიშვნელობები.
თუ საკითხი ისმის ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაზე [x0;xn] შუალედის გარეთ მდებარე x წერტილში, მაშინ ამ ამოცანას ფუნქციის ექსტრაპოლაცია ეწოდება.
ინტერპოლაციისათვის ცნობილია მრავალი ფორმულა, მაგალითად, ლაგრანჟის ინტერპოლირების ფორმულა, ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა და სხვ.
ეს სიტყვა თავდაპირველად ნიშნავდა ხელნაწერის მიმსგავსებას, განახლებას, ანუ ხელნაწერ დოკუმენტში ერთი ან რამდენიმე ისეთი სიტყვის ჩართვას, რომელიც არ იყო დედანში. თანამედროვე აზრით ეს სიტყვა პირველად გამოიყენა ვალისმა (1656), ასტრონომიული და მათემატიკური ცხრილების შედგენისას.
წრფივი ინტერპოლაციით უკვე პტოლემეუსი სარგებლობდა. ნიუტონის ინტერპოლირების ფორმულა გამოქვეყნდა „Methodus differentialis“ -ში (1711), მაგრამ ეს ფორმულა ნახსენები იყო ჯერ კიდევ 1676 წლის წერილში. რამდენიმე წლით ადრე (1670) ანალოგიური ფორმულა მიიღო ჯ. გრეგორიმ. თავისი ინტერპოლირების ფორმულის შესახებ ნიუტონი წერდა: ეს არის „ერთ-ერთი იმ ყველაზე მნიშვნელოვანი პრობლემებიდან, რომლის ამოხსნის იმედიც მე შეიძლება მქონოდა!“. თუნდაც ის ფაქტი, რომ ამ პრობლემის გადაწყვეტა გრეგორიმაც შეძლო, ადასტურებს მის ღრმა ერუდიციას, რომელიც სათანადოდ მხოლოდ მოგვიანებით შეფასდა. ნიუტონი, ისევე როგორც გრეგორი, სხვაობას აღნიშნავდა d,f,h, ... ასოებით. ლაიბნიცის გავლენით ∆f, ∆2 f,... აღნიშვნებს იყენებდა ეილერი (1755). ლაგრანჟის ფორმულა აღმოაჩინა ვარინგმა, რომელიც უცნობი დარჩა ინგლისის საზღვრებს გარეთ და 1795 წელს ხელახლა გამოიგონა ლაგრანჟმა. თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია გაუსის, ენკეს, კოშის, ლევერიეს, ჩებიშევის სახელებთან. ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად რუნგემ (1904) და ბორელმა (1903) მარტივ მაგალითზე აჩვენეს, რომ რომ ინტერპოლირებადი მრავალწევრის ხარისხის ზრდა არ ნიშნავს მიახლოების გაუმჯობესებას. ინტერპოლაციის თეორიის მკაცრი დამუშავება დაიწყო ხანის და ფეიერის შრომებით (1918).
