ვალისი ჯონი

ჯონ ვალისი

ჯონ ვალისი (ინგლ. John Wallis; 23 ნოემბერი (3 დეკემბერი) 1616 — 28 ოქტომბერი (8 ნოემბერი) 1703), ინგლისელი მათემატიკოსი;

ჯონ ვალისი დაიბადა 1616 წელს ქენტში (ინგლისი). მამა მღვდელი იყო და შვილსაც სასულიერო განათლება მიაღებინა; ჯონიმაც სამოღვაწეოდ პირველად მღვდლობა აირჩია. მართალია, ვალისს კლასიკური განათლება კარგი ჰქონდა, მაგრამ არითმეტიკას იგი შემთხვევით გაეცნო და მუშაობდა დასვენების დროს პირადი სიამოვნებისათვის. ვალისის რიცსვების დამახსოვრების არაჩვეულებრივი უნარი ჰქონდა. ერთ უძილო ღამეს მან აზრით გამოთვალა 53-ნიშნიანი რიცხვიდან კვადრატული ფესვის 27 ციფრი და დილით გაიმეორა. ვალისი მათემატიკაში ეწეოდა თვითგანვითარებას და კითხულობდა მათემატიკურ ნაშრომებს, რომლებსაც ის შემთხვევით წააწყდებოდა ხოლმე. პირველად გაეცნო კავალიერის უსასრულოდ მცირეთა აღრიცხვის საკითხებს, შემდეგ კი დეკარტის „გეომეტრიას“,ხოლო ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების ნაშრომებს გაეცნო უფრო გვიან. რამდენიმე წლის შემდეგ მან მღვდლობას თავი დაანება და კემბრიჯში მოეწყო უმცროს მასწავლებლად; მალე მან ამ თანამდებობაზეც უარი თქვა, დაქორწინდა და რამდენიმე ხანი ცხოვრობდა ლონდონში საკუთარი სახსრებით. აქ ვალისი მეცნიერთა წრეში მოექცა და განაგრძო მათემატიკაში მუშობა. მონაწილეობას იღებდა პოლიტიკურ ცხოვრებაშიც, თუმცა პოლიტიკაში მას უპრინციპობა ახასიათებდა: რევოლუციონერებთანაც კარგად იყო და რეაქციონერებთანაც. 1649 წელს ვალისი პროფესორი გახდა და ოქსფორდში მიიღო გეომეტრიის კათედრა. ამ თანამდებობასთან ერთად მან მიიღო მეფის სასახლის მღვდლის თანამდებობაც. ვალისი აგრეთვე გამოჩენილი ლინგვისტიც იყო.

ვალისის მთავარი ნაშრომი: „უსასრულო სიდიდეთა არითმეტიკა“ გამოქვეყნდა 1665 წელს. იმ გამოსახვის გამოთვლა, რომელსაც ჩვენ ახლა ვწერთ სახით, ვალისს მოჰყავს

გამოთვლამდე, როდესაც m უსაზღვროდ იზრდება და იმავე დროს მნიშვნელის წევრთა რიცხვზე ყოველთვის 1-ით ნაკლები რჩება. n = 2 და n = 3 მნიშვნელობებისათვის ვალისი თანდათანობით იღებს m-ის მეტ და მეტ მნიშვნელობებს და ინდუქციური ხერხით გვიჩვენებს, რომ წილადი უდრის -ს მიმატებული ის სიდიდე, რომელიც m-ის გადიდებით ყოველ მოცემულ სიდიდეზე ნაკლები ხდება.

ეს შედეგი მან გაავრცელა n-ის წილად და უარყოფით მნიშვნელობებზე და ჩაატარა ისე, რომ წილადი და უარყოფითი მაჩვენებლების აღნიშვნები არ გამოუყენებია.

შესანიშნავია ვალისის π-ის გამოთვლის მეთოდი. ეს საკითხი მას მიჰყავს - ის გამოთვლისაკენ, ესე იგი ისეთი ინტეგრალისა, რომელიც ერთის ტოლი დიამეტრით ნახევარი წრის ფართობს წარმოადგენს და ამის გამო -ს უდრის:

ვალისმა ამას საფუძვლად დაუდვა ის რომ, როცა y=xⁿ, მაშინ

ეს ორი ინტეგრალი წარმოადგენს ორ ფართობს, რომლებზედაც პარაბოლა y=xⁿ გაჰყოფს xy მართკუთხედს. მეორე ფართობს მივიღებთ, თუ xy-ს გამოვაკლებთ პირველს.

ვალისი იწყებს იქედან, რომ კოეფიციენტებს ალაგებს xy-თან ინტეგრალებში ტაბულის სახით, რომლისსვეტები შეესაბამება p მაჩვენებლის მნიშვნელობებს 0, 1, 2, 3,..., ხოლო სტრიქონები q-ს მნიშვნელობებს 1, 2, 3, ...

ტაბულა ასე იწყება

გამოთვლას ვალისი იწყებს -ის გამოთვლიდან, სადაც n მთელი დადებითი რიცხვია. ვალისი პოულობს:

და ასე შემდეგ; ვალისი, მისთვის ჩვეული ინდუქციის საშუალებით, დაასკვნის, რომ საზოგადოდ, როდესაც მთელი დადებითი რიცხვია

მნიშვნელობის ანუ -ის განსაზღვრისათვის ეძებს მთელი დადებითი n-თვის ცნობილ სიდიდეებიდან ინტერპოლირებულ მნიშვნელობას, როდესაც ,

ე.ი.

ანუ

აღნიშვნა ― მათემატიკაში შემოიყვანა უფრო გვიან ვილერმა და ამიტომ ვალისი სიდიდეს აღნიშნავს ნაკვთით □. სიდიდეები , რომელთა შორის უნდა მოხდეს ინტერპოლირება, ბინომიალური კოეფიციენტებია, სახელდობრ შუა წევრის კოეფიციენტები, როდესაც მაჩვენებელი 21-ის ტოლია. ყველა ბინომიალური კოეფიციენტი ანუ რიცხვი, რომლებსაც ახლა ჩავწერთ სახით და რომლებსაც ვალისი ინტერპოლაციისათვის იყენებს, ძირითადად მოცემულია პასკალის ტაბულაში (არითმეტიკული სამკუთხედის შესახებ ნაშრომში). ამ ტაბულებს ვალისი აფართოებს, სვამს რა p და q-ს მთელ დადებითმნიშვნელობებიან სტრიქონებსა და სვეტებში კიდევ ახალ სტრიქონებს და სვეტებს, რომლებიც შეესაბამებიან მნიშვნელობებს და აფართოებს მათ შექცეული მხრითაც, უმატებს რა სტრიქონს და სვეტს გაფართოებული ტაბულის ახალი რუბრიკები თანდათან ივსება რიცხვებით, რომლებსაც ვალისი ადგენს საწყის ტაბულაში მოცემული კანონის განზოგადებით.

ვინაიდან p და q·ს მთელი და დადებითი მნიშვნელობებისათვის

ამიტომ აქ გვაქვს ის კანონი, რომელიც გამოიყენება იმ შემთხვევებში, რომლებშიც p და q რიცხვებიდან მთელია მხოლოდ ერთი ასე მაგალითად, სტრიქონს, რომელიც შეესაბამება მნიშვნელობებს

q = 0, 1, 2, 3, 4,...

შეესაბამება რიცხვები:

აქ გამოყენებული ხერხიდან აშკარაა, რომ

ეს შედეგი სამართლიანია ტაბულის არა მარტო სტრიქონებისათვის, რომლებიც შეესაბამებიან p-ს სრულად შედგენილ მთელ მნიშვნელობებს, არამედ უკვე შედგენილი სტრიქონის ნაწილისათვის, რომელიც შეესაბამება. ვალისმა ის გაავრცელა აგრეთვე იმ სტრიქონის წევრებზეც, რომლებიც შეესაბამებიან q-ს წილად მნიშვნელობებს, რადგან , გვაძლევენ მოსაძებნ სიდიდეს ამიტომ სიდიდეებისათვის

მივიღებთ სიდიდეებს

ამ წევრებს დაკავებული აქვთ შესაბამ სტრიქონში იმ წევრების ადგილი, რომლებიც შეესაბამებიან q-ს მთელ მნიშვნელობებს.

ამის შემდეგ ვალისი სარგებლობს იმით, რომ ორ მომდევნო წევრს შორის შეფარდება კლებულობს და მიისწრაფვის 1-კენ. ამას ადგილი აქვს შესაბამი სტრიქონის ორივე მწკრივში, ვინაიდან ყოველი წევრი შედგება წინამორბედისგან სახის რიცხვზე გამრავლებით. თუ x, y, z, u ამ სტრიქონის ოთხი თანმიმდევრული წევრია, მაშინ

საიდანაც

თუ იქ x, y, z, u სიდიდეებად ჩავთვალეთ წევრები, რომლებიც შეესაბამებიან მივიღებთ

თუ სტრიქონზე სვლას განვაგრძობთ, მაშინ კვადრატული ფესვი ორივე გამოსახვაში, რომელთა შორის იმყოფება , მიისწრაფვის 1-კენ და მივიღებთ

თავისი „არითმეტიკული“ მეთოდი ვალისმა გამოიყენა კისოიდითა და მისი ასიმპტოტით შემოსაზღვრული ფართობის გამოსათვლელად. ეს ამოცანა მოითხოვს ინტეგრალის გამოთვლას, ვალისი იწყებს გამოთვლას უფრო ადვილი ინტეგრალისას (ახლა ამ ინტეგრალს ადვილად ვხსნით რაციონალიზაციის ხერხით:

ამისათვის ვალისმა ჯერ გამოთვალა , როდესაც n = 0, 1, 2, 3, 4,..., და შედეგების არითმეტიკული გარდაქმნებისა და მისი ინდუქციის საშუალებით იპოვა, რომ

ამ ფორმულის გამოყენებით, როდესაც , ვალისმა მიიღო

შემდეგ მან გამოთვალა როდესაც n = 0, 1, 2, 3, 4 და ამ ინტეგრალის მნიშვნელობებისაგან ჩვეულებრივი ინდუქციის საშუალებით მიიღო, რომ

ეს კი, როდესაც გვაძლევს

ესე იგი საძიებელი ფართობი სამჯერ მეტია იმ წრის ფართობზე, რომელიც აღებულია ცისოიდის აგების დროს (ახლანდელი ხერხით ეს ინტეგრალი ასე ამოიხსნება:

ვალისი დამტკიცებებში სათანადო სიმკაცრეს არ იცავდა, მაგრამ თავისი მეთოდით მაინც ბევრი რამ გააკეთა. ინტეგრების დარგში რეკურენტული ფორმულები მან მიიღო ინდუქციისა და ანალოგიის მიხედვით დასკვნების საშუალებით.

მათემატიკის შემდგომი განვითარებისათვის ვალისის ნაშრომებს დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა. XVIII საუკუნის მათემატიკას ძლიერად ემჩნევა ვალისის გავლენა, რაც გამოიხატება იმაში,რომ. XVIII საუკუნის მათემატიკოსებს დასკვნები გამოჰყავთ ვალისის არასარწმუნო ხერხების მიბაძვით. მისი განზოგადებანი მათემატიკურ სიმბოლიკას შემდგომი განვითარების გზას უჩვენებდნენ.ვალისმა სავსებით მოამზადა ნიადაგი ხარისხის ცნების გაფართოე-ბისათვის, რომელიც შემდეგ ნიუტონმა გააკეთა, შემოიყვანა რა წილადი და უარყოფითი მაჩვენებლები. ნიუტონის მიერ შესრულებული ბინომის – ფორმულის გაფართოება დაკავშირებულია ვალისის გამოკვლევებთან.

ვალისი ეილერის წინამორბედია ფაქტორიალის ცნების გაფართოების საქმეში. ზღვრის ცნების განსაზღვრა პირველად ვალისმა მოგვცა: „ეს მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც ცვლადი ისე უახლოვდება, რომ მათ შორის სხვაობა შეიძლება გახდეს ყოველ მოცემულ სიდიდეზე ნაკლები“.

წყარო

მათემატიკის ისტორია