ელიფსური ფუნქციები
ელიფსური ფუნქციები – წარმოადგენენ ორმაგად პერიოდულ ფუნქციებს, ე.ი. კომპლექსური z ცვლადის სასრულ სიბრტყეზე მერომორფულ ფუნქციებს, ანუ ისეთ მერომორფულ f(z) ფუნქციებს, რომელთათვისაც ორივე ძირითადი პერიოდი 2ω1 და 2ω2 ნულისაგან განსხვავდება. ყველა მათ პერიოდს აქვთ სახე: T=2ω1m+2ω2n (m,n=0,±1,±2,...). მაშასადამე, f(z+2ω1m+2ω2n)=f(z). ვინაიდან აბელის თეორემის თანახმად, ω2/ω1, შეფარდება ნამდვილი რიცხვი არ არის, ამიტომ კოორდინატთა სათავე 0 და კომპლექსური სიბრტყის წერტილები 2ω1,2ω2, 2ω1+2ω2 წარმოადგენენ გადაუგვარებელი პარალელოგრამის წვეროებს. ამ პარალელოგრამს და ყველა მის მსგავს პარალელოგრამს პერიოდულობის პარალელოგრამები ეწოდებათ.
მოცემული 2ω1 და 2ω2 პერიოდების მქონე ელიფსური ფუნქციების ნებისმიერი რაციონალური კომბინაცია R(f1,f2,...,fn) აგრეთვე ელიფსური ფუნქციაა იმავე 2ω1 და 2ω2 პერიოდებით.
1797 წელს გაუსმა შეისწავლა ლემნისკატა და აღმოაჩინა მისი რკალის სიგრძისათვის ორმაგი პერიოდულობა. იგი ინტენსიურად შეუდგა ანალიზის ამ სრულიად ახალი დარგის შესწავლას და 1800წ. შექმნა ელიფსური და მოდულური ფუნქციების სრული თეორია, მიიღო უფრო სრულყოფილი შედეგები, ვიდრე აბელმა 1825 წელს და იაკობიმ 1827 წელს.
გაუსი ამ ფუნქციებს უწოდებდა „ლემნისკატისეულებს“. სახელწოდება „ელიფსური მოდულური ფუნქციები“ შემოიღო დედეკინდმა ტერმინი „ორმაგპერიოდული ფუნქციები“ ეკუთვნის ერმიტს, ხოლო ტერმინი „ფუნქციის პერიოდულობის მოდული“ – რიმანს. ისტორიულად თავდაპირველად მოძებნილი იყო ელიფსური ინტეგრალები, ხოლო შემდგომ მათი შებრუნებით მიღებულ იქნა ელიფსური ფუნქციები. თეორიამ დასრულებული სახე მიიღო რიმანის მიერ მრავალფენიანი ზედაპირის შემოღების შემდეგ. ელიფსური ფუნქციების თეორიაში აღნიშვნები შემოიღო იაკობმა, ხოლო შემდგომ გაამარტივა გუდერმანმა: x=snu, 
= lnu, 
= dnu
(ამპლიტუდის სინუსი და ამპლიტუდის დელტა). ვაიერშტრასი თავდაპირველად ელიფსურ ფუნქციებს გადმოსცემდა იაკობის მიხედვით. β(u) და σ(u) ფუნქციებს პირველად ვხვდებით ვაიერშტრასის „ლექციებში“ (1862-1863).
