ლოგარითმული სპირალი

ლოგარითმული სპირალი – ბრტყელი წირი, რომელიც თავის ყველა რადიუს-ვექტორს კვეთს ერთი და იგივე კუთხით. მის განტოლებას პოლარულ კოორდინატებში აქვს შემდეგი სახე:

p = ae^kφ [ანუ p = a exp (kφ)], სადაც a≠0, k – ნამდვილი რიცხვია; ეს ასეც ჩაიწერება: ln(p/a)=kφ.

განტოლებიდან ჩანს, რომ პოლარული კუთხე (მისი სიდიდე) პროპორციულია რადიუს-ვექტორის ლოგარითმისა (a-ს ტოლ ერთეულ მასშტაბში გაზომილი). აქედან წარმოიშვა სახელწოდებაც. როცა k>0, φ-ს ზრდასთან ერთად მისი M წერტილი საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულებით უსასრულოდ შორდება 0 პოლუსს. თუ φ→–∞, მაშინ მანძილი M წერტილიდან 0 პოლუსამდე საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით მიისწრაფვის ნულისაკენ.

რკალის სიგრძე M₁ (p₁, φ₁) და M₂ (p₂, φ₂) წერტილებს შორის

სადაც k = lna. სიმრუდის რადიუსი R = p √1+k².

წირი პირველად მოხსენიებულია მერსენისადმი დეკარტის მიერ გაგზავნილ წერილში (1638). დეკარტისაგან დამოუკიდებლად ეს წირი აღმოაჩინა ტორიჩელმა (1644). ამ წირის თვისებების შესწავლისადმი განსაკუთრებულ ყურადღებას იჩენდა იაკობ ბერნული (1692), რომელიც მას უწოდებდა spira mirabilis – „საკვირველი სპირალი“. მის მიერ აღმოჩენილმა თვისებამ – სხვადასხვა გარდაქმნის მიმართ წირის ინვარიანტულობამ – იმდენად განაცვიფრა იგი, რომ თანახმა იყო მისთვის მიეწერა მისტიკური აზრი და ისურვა თავის საფლავის ქვაზე spira mirabilis გამოსახვა. რადგანაც p₁ = e^φ1 და p₂ = e^φ2 ტოლობების გადამრავლებისას მაჩვენებლები იკრიბებიან (p₁ p₂ = e^φ1+φ2), ამიტომ აღმოჩნდა, რომ წირს აქვს ლოგარითმის მონათესავე თვისება. ამის გამო ვარინიონმა (1704) წამოაყენა წინადადება წირს უწოდონ „ლოგარითმული სპირალი“, თუმცა, როგორც ჩანს, ამ სახელწოდებას ადრეც იყენებდნენ მიმოწერაში. ლოგარითმულ სპირალს ზოგჯერ ტოლკუთხოვან სპირალს უწოდებენ.

ლოგარითმული სპირალი ფართოდ გამოიყენება ტექნიკაში. ლოგარითმული სპირალის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ მისი პოლუსიდან გამოსული ნებისმიერი სხივი სპირალის ყოველ ხვიას კვეთს ერთი და იგივე კუთხით. ეს თვისება გამოიყენება საჭრელ (მჭრელ) მანქანებში. ლოგარითმული სპირალის მსგავსი მოხაზულობა აქვს მბრუნავი დანისა და ფრიზის პროფილებს, რის საფუძველზეც ზედაპირი იჭრება მუდმივი კუთხით, რაც ხელს უწყობს დანის პირის თანაბარ გალესვას. აღმოჩნდა, ჰიდროელექტროსადგურებში ტურბინის ბორბალის ფრთებთან წყლის ნაკადის მისაყვან მილს საჭიროა მიეცეს ლოგარითმული სპირალის მსგავსი სახე; მაშინ მოძრავი წყლის ენერგიის დანაკარგები იქნება მინიმუმი.

ლოგარითმულ სპირალს აქვს ხვიათა უსასრულო რაოდენობა, როგორც გაშლისას (მსგავსად არქიმედეს სპირალისა), ისე გრეხისას; ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ სპირალი არ გადის თავის პოლუსზე. ლოგარითმული სპირალის მსგავსია ზოგიერთი ნიჟარა; სპირალის მსგავსი რკალებითაა განლაგებული მზესუმზირის მარცვლები.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი