უტოლობა
| (ერთი მომხმარებლის 3 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''უტოლობა''' – ორი გამოსახულებისაგან შემდგარი ფორმულა, როდესაც გამოსახულებებს შორის მოთავსებულია ერთ-ერთი შემდეგი ნიშნებიდან >, ≥, <, ≤, ≠, >>, <<. უტოლობები გამოსახავენ რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის თანაფარდობას, რომლებიც მიუთითებენ, თუ რომელი მათგანია მეტი ან ნაკლები. | + | '''უტოლობა''' – ორი გამოსახულებისაგან შემდგარი [[ფორმულა]], როდესაც გამოსახულებებს შორის მოთავსებულია ერთ-ერთი შემდეგი ნიშნებიდან >, ≥, <, ≤, ≠, >>, <<. უტოლობები გამოსახავენ [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვებსა]] და [[სიდიდე (მათემატიკა)|სიდიდეებს]] შორის თანაფარდობას, რომლებიც მიუთითებენ, თუ რომელი მათგანია მეტი ან ნაკლები. |
| − | უტოლობას ეწოდება იგივეობრივი, თუ ის მართებულია მასში შემავალ | + | უტოლობას ეწოდება [[იგივეობა|იგივეობრივი]], თუ ის მართებულია მასში შემავალ [[ასო (ნიშანი)|ასო]]თა ყველა მნიშვნელობისათვის. |
| − | უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს უცნობთა იმ მნიშვნელობების პოვნას, რომლებისთვისაც მოცემული უტოლობა მართებულია. | + | უტოლობის [[ამოხსნა]] ნიშნავს უცნობთა იმ მნიშვნელობების პოვნას, რომლებისთვისაც მოცემული უტოლობა მართებულია. |
| − | უტოლობათა თვისებები ბევრად ანალოგიურია განტოლებათა თვისებებისა: | + | უტოლობათა თვისებები ბევრად [[ანალოგია (მათემატიკა)|ანალოგიურია]] [[განტოლება|განტოლებათა]] თვისებებისა: |
უტოლობიდან a > b, გამომდინარეობს: | უტოლობიდან a > b, გამომდინარეობს: | ||
| ხაზი 11: | ხაზი 11: | ||
b<a, a+c>b+c, ac>bc (c>0), ac <bc (c<0), -a<-b, 1/ a< 1/b (ab > 0). | b<a, a+c>b+c, ac>bc (c>0), ac <bc (c<0), -a<-b, 1/ a< 1/b (ab > 0). | ||
| − | დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია. | + | [[დადებითი და უარყოფითი რიცხვები|დადებითი რიცხვების]] [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამი]] და [[ნამრავლი]] დადებითია. |
უტოლობებიდან a ≤ A და b ≤ B, გამომდინარეობს a + b ≤ A+B. | უტოლობებიდან a ≤ A და b ≤ B, გამომდინარეობს a + b ≤ A+B. | ||
| ხაზი 22: | ხაზი 22: | ||
| '''განტოლება:'''|| ||'''უტოლობა:''' | | '''განტოლება:'''|| ||'''უტოლობა:''' | ||
|- | |- | ||
| − | | '''ა)''' ax+b=0, a #0<br />პირველი ხარისხის განტოლება.|| || '''ა)''' ax+b > 0, a≠0<br />პირველი ხარისხის უტოლობა. | + | | '''ა)''' ax+b=0, a #0<br />პირველი [[ხარისხი (მათემატიკა)|ხარისხის]] განტოლება.|| || '''ა)''' ax+b > 0, a≠0<br />პირველი ხარისხის უტოლობა. |
|- | |- | ||
| − | | '''ბ)''' ax<sup>2</sup>+bx+c=0, a #0<br />კვადრატული განტოლება.|| || '''ბ)''' ax<sup>2</sup>+bx+c > 0, ან ax<sup>2</sup>+bx+c<0, a≠0<br /> კვადრატული უტოლობა. | + | | '''ბ)''' ax<sup>2</sup>+bx+c=0, a #0<br />[[კვადრატული განტოლება]].|| || '''ბ)''' ax<sup>2</sup>+bx+c > 0, ან ax<sup>2</sup>+bx+c<0, a≠0<br /> კვადრატული უტოლობა. |
|- | |- | ||
| − | | '''გ)''' a<sub>o</sub>x<sup>n</sup>+a<sub>1</sub>x<sup>n-1</sup> + . . . +a<sub>n</sub> = 0, a≠0,<br />n–ური ხარისხის ერთი | + | | '''გ)''' a<sub>o</sub>x<sup>n</sup>+a<sub>1</sub>x<sup>n-1</sup> + . . . +a<sub>n</sub> = 0, a≠0,<br />n–ური ხარისხის ერთი [[ცვლადი]]ს<br /> [[ალგებრული განტოლება]]|| || '''გ)''' a<sub>o</sub>x<sup>n</sup>+ a<sub>1</sub>x<sup>n-1</sup>+...+a<sub>n</sub>>0, a≠0,<br /> |
| − | n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის <br />ალგებრული უტოლობა | + | n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის <br />[[ალგებრა|ალგებრული]] უტოლობა |
|- | |- | ||
| − | | '''დ)''' lgx = 2 - ლოგარითმული განტოლება || || '''დ)''' Igx > 2 (ან lgx < 2) – ლოგარითმული უტოლობა. | + | | '''დ)''' lgx = 2 - [[ლოგარითმული განტოლება]] || || '''დ)''' Igx > 2 (ან lgx < 2) – [[ლოგარითმი|ლოგარითმული]] უტოლობა. |
|} | |} | ||
| ხაზი 35: | ხაზი 35: | ||
ქვემოთ მოგვყავს ზოგიერთი მნიშვნელოვანი უტოლობა: | ქვემოთ მოგვყავს ზოგიერთი მნიშვნელოვანი უტოლობა: | ||
| − | 1) | + | 1) ''უტოლობა მოდულებისათვის.'' ნებისმიერი [[ნამდვილი რიცხვები|ნამდვილი]] ან [[კომპლექსური რიცხვები|კომპლექსური]] a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,⋯a<sub>n</sub> [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვებისათვის]] სამართლიანია უტოლობა |
:::| a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + ...+ a<sub>n</sub> | ≤ |a<sub>1</sub> | + | a<sub>2</sub> | +...| +a<sub>n</sub> |. | :::| a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + ...+ a<sub>n</sub> | ≤ |a<sub>1</sub> | + | a<sub>2</sub> | +...| +a<sub>n</sub> |. | ||
| − | 2) | + | 2) ''უტოლობები საშუალო მნიშვნელობებისათვის.'' ყველაზე უფრო ცნობილია უტოლობები, რომლებიც აკავშირებენ ჰარმონიულ, [[გეომეტრია|გეომეტრიულ]], [[არითმეტიკა|არითმეტიკულ]] და [[კვადრატურა|კვადრატულ]] საშუალოებს: |
:::[[ფაილი:Utol005.png]] | :::[[ფაილი:Utol005.png]] | ||
| ხაზი 54: | ხაზი 54: | ||
| − | ტოლობის ნიშნის შემოღების შემდეგ ინგლისელმა მეცნიერმა თომას ჰარიოტმა შემოიღო ამჟამდ გამოყენებული უტოლობის ნიშნები (ჰარიოტის ნაწარმოების პუბლიკაცია მოხდა მისი გარდაცვალების შემდეგ, 1631). მან თავისი ახლად შემოღებული აღნიშვნები ასე დაასაბუთა: თუ ორი სიდიდე ტოლი არ არის, მაშინ ამ თანაფარდობის გამომსახველი მონაკვეთები არ არიან პარალელურნი, ისინი იკვეთებიან. გადაკვეთა შეიძლება მოხდეს მარჯვნივ (>) ან მარცხნივ (<). მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობის ნიშნები შემოთავაზებული იყო 74 წლით გვიან, ვიდრე ტოლობის ნაშანი, მათი გამოყენება გაცილებით ადრე დაიწყეს. ერთ-ერთი მიზეზი იყო ის, რომ სტამბაში უტოლობისათვის გამოიყენეს უკვე არსებული ასო V, მაშინ, როცა ტოლობის ასაწყობი ნიშანი მათ არ გააჩნდათ. ნიშნები ≥ და ≤ გამოყენებული იქნა ერთი საუკუნის შემდეგ პარიზელი ჰიდროგრაფის ბუგეს მიერ და მალე დაიწყეს მათი გამოყენება (თუმცა ვალისის მიერ 1670 წ. შემოთავაზებული ანალოგიური ნიშნები, როგორც ჩანს შეუმჩნეველი დარჩა). ნიშნები >> და << შემოღებულ იქნა პუანკარეს და ბორელის მიერ (1901) მწკრივების შედარებისას და შემდგომში მიიღეს „გაცილებით მეტის“ და „გაცილებით ნაკლების“ მნიშვნელობა. | + | [[ტოლობა|ტოლობის]] ნიშნის შემოღების შემდეგ ინგლისელმა მეცნიერმა [[თომას ჰარიოტი|თომას ჰარიოტმა]] შემოიღო ამჟამდ გამოყენებული უტოლობის ნიშნები (ჰარიოტის ნაწარმოების პუბლიკაცია მოხდა მისი გარდაცვალების შემდეგ, 1631). მან თავისი ახლად შემოღებული აღნიშვნები ასე დაასაბუთა: თუ ორი სიდიდე ტოლი არ არის, მაშინ ამ თანაფარდობის გამომსახველი [[მონაკვეთი (გეომეტრია)|მონაკვეთები]] არ არიან [[პარალელურობა|პარალელურნი]], ისინი იკვეთებიან. [[გადაკვეთა]] შეიძლება მოხდეს მარჯვნივ (>) ან მარცხნივ (<). მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობის ნიშნები შემოთავაზებული იყო 74 წლით გვიან, ვიდრე ტოლობის ნაშანი, მათი გამოყენება გაცილებით ადრე დაიწყეს. ერთ-ერთი მიზეზი იყო ის, რომ სტამბაში უტოლობისათვის გამოიყენეს უკვე არსებული ასო V, მაშინ, როცა ტოლობის ასაწყობი ნიშანი მათ არ გააჩნდათ. ნიშნები ≥ და ≤ გამოყენებული იქნა ერთი საუკუნის შემდეგ პარიზელი ჰიდროგრაფის ბუგეს მიერ და მალე დაიწყეს მათი გამოყენება (თუმცა [[ვალისი ჯონი|ვალისის]] მიერ 1670 წ. შემოთავაზებული [[ანალოგია|ანალოგიური]] ნიშნები, როგორც ჩანს შეუმჩნეველი დარჩა). ნიშნები >> და << შემოღებულ იქნა პუანკარეს და ბორელის მიერ (1901) [[მწკრივი (მათემატიკა)|მწკრივების]] [[შედარება (მათემატიკა)|შედარებისას]] და შემდგომში მიიღეს „გაცილებით მეტის“ და „გაცილებით ნაკლების“ მნიშვნელობა. |
| ხაზი 60: | ხაზი 60: | ||
[[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | [[მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი]] | ||
[[კატეგორია:მათემატიკა]] | [[კატეგორია:მათემატიკა]] | ||
| + | [[კატეგორია:ალგებრა]] | ||
მიმდინარე ცვლილება 22:48, 23 თებერვალი 2024 მდგომარეობით
უტოლობა – ორი გამოსახულებისაგან შემდგარი ფორმულა, როდესაც გამოსახულებებს შორის მოთავსებულია ერთ-ერთი შემდეგი ნიშნებიდან >, ≥, <, ≤, ≠, >>, <<. უტოლობები გამოსახავენ რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის თანაფარდობას, რომლებიც მიუთითებენ, თუ რომელი მათგანია მეტი ან ნაკლები.
უტოლობას ეწოდება იგივეობრივი, თუ ის მართებულია მასში შემავალ ასოთა ყველა მნიშვნელობისათვის.
უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს უცნობთა იმ მნიშვნელობების პოვნას, რომლებისთვისაც მოცემული უტოლობა მართებულია.
უტოლობათა თვისებები ბევრად ანალოგიურია განტოლებათა თვისებებისა:
უტოლობიდან a > b, გამომდინარეობს:
b<a, a+c>b+c, ac>bc (c>0), ac <bc (c<0), -a<-b, 1/ a< 1/b (ab > 0).
დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია.
უტოლობებიდან a ≤ A და b ≤ B, გამომდინარეობს a + b ≤ A+B.
მრავალი უტოლობის სახელი ანალოგიურია შესაბამისი განტოლების სახელთან; მაგალითად:
განტოლება: უტოლობა: ა) ax+b=0, a #0
პირველი ხარისხის განტოლება.ა) ax+b > 0, a≠0
პირველი ხარისხის უტოლობა.ბ) ax2+bx+c=0, a #0
>კვადრატული განტოლება.ბ) ax2+bx+c > 0, ან ax2+bx+c<0, a≠0
კვადრატული უტოლობა.გ) aoxn+a1xn-1 + . . . +an = 0, a≠0,
n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის
ალგებრული განტოლებაგ) aoxn+ a1xn-1+...+an>0, a≠0,
n–ური ხარისხის ერთი ცვლადის
>ალგებრული უტოლობად) lgx = 2 - ლოგარითმული განტოლება დ) Igx > 2 (ან lgx < 2) – ლოგარითმული უტოლობა.
ქვემოთ მოგვყავს ზოგიერთი მნიშვნელოვანი უტოლობა:
1) უტოლობა მოდულებისათვის. ნებისმიერი ნამდვილი ან კომპლექსური a1,a2,⋯an რიცხვებისათვის სამართლიანია უტოლობა
- | a1 + a2 + ...+ an | ≤ |a1 | + | a2 | +...| +an |.
2) უტოლობები საშუალო მნიშვნელობებისათვის. ყველაზე უფრო ცნობილია უტოლობები, რომლებიც აკავშირებენ ჰარმონიულ, გეომეტრიულ, არითმეტიკულ და კვადრატულ საშუალოებს:
აქ ყველა a1, a2, ⋯,an რიცხვი დადებითია.
- sinx ≤ x; sinx ≥ x -
sinx ≤ x - 
და ა. შ.
- sinx ≤ x; sinx ≥ x -
- cosx ≥ 1 -
; cosx ≤ 1 - 
1 – cosx ≤ ; 1 – cosx ≥ 
და ა.შ.
ტოლობის ნიშნის შემოღების შემდეგ ინგლისელმა მეცნიერმა თომას ჰარიოტმა შემოიღო ამჟამდ გამოყენებული უტოლობის ნიშნები (ჰარიოტის ნაწარმოების პუბლიკაცია მოხდა მისი გარდაცვალების შემდეგ, 1631). მან თავისი ახლად შემოღებული აღნიშვნები ასე დაასაბუთა: თუ ორი სიდიდე ტოლი არ არის, მაშინ ამ თანაფარდობის გამომსახველი მონაკვეთები არ არიან პარალელურნი, ისინი იკვეთებიან. გადაკვეთა შეიძლება მოხდეს მარჯვნივ (>) ან მარცხნივ (<). მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობის ნიშნები შემოთავაზებული იყო 74 წლით გვიან, ვიდრე ტოლობის ნაშანი, მათი გამოყენება გაცილებით ადრე დაიწყეს. ერთ-ერთი მიზეზი იყო ის, რომ სტამბაში უტოლობისათვის გამოიყენეს უკვე არსებული ასო V, მაშინ, როცა ტოლობის ასაწყობი ნიშანი მათ არ გააჩნდათ. ნიშნები ≥ და ≤ გამოყენებული იქნა ერთი საუკუნის შემდეგ პარიზელი ჰიდროგრაფის ბუგეს მიერ და მალე დაიწყეს მათი გამოყენება (თუმცა ვალისის მიერ 1670 წ. შემოთავაზებული ანალოგიური ნიშნები, როგორც ჩანს შეუმჩნეველი დარჩა). ნიშნები >> და << შემოღებულ იქნა პუანკარეს და ბორელის მიერ (1901) მწკრივების შედარებისას და შემდგომში მიიღეს „გაცილებით მეტის“ და „გაცილებით ნაკლების“ მნიშვნელობა.
