რკალის სიგრძე
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''რკალის სიგრძე''' – ამ რკალში ჩახაზული ტეხილის პერიმეტრის ზღვარი, როდესაც ტეხილის შემადგენელი რგოლების რიცხვი უსაზღვროდ იზრდება, ხოლო თითოეული რგოლის სიგრძე მიისწრაფვის | + | '''რკალის სიგრძე''' – ამ [[რკალი (მათემატიკა)|რკალში]] ჩახაზული [[ტეხილი (მათემატიკა)|ტეხილის]] [[პერიმეტრი (მათემატიკა)|პერიმეტრის]] [[ზღვარი (მათემატიკა)|ზღვარი]], როდესაც ტეხილის შემადგენელი [[რგოლი (მათემატიკა)|რგოლების]] [[რიცხვი (მათემატიკა)|რიცხვი]] უსაზღვროდ იზრდება, ხოლო თითოეული რგოლის სიგრძე მიისწრაფვის [[ნული]]საკენ. უწყვეტი [[წირი]]სათვის ასეთი ზღვარი [[სასრული და უსასრულო|სასრული ან უსასრულო]] ყოველთვის არსებობს. თუ ზღვარი სასრულია, წირს (რკალს) გაწრფევადი ეწოდება. წირის [[ანალიზი (მათემატიკა)|ანალიზური]] მოცემის ხერხის მიხედვით რკალის სიგრძე გამოითვლება შემდეგი [[ფორმულა|ფორმულებით]]: |
| − | მართკუთხა კოორდინატებში მოცემული ბრტყელი უწყვეტი y = f(x) წირის სიგრძე (a ≤ x≤b) გამოისახება ინტეგრალით | + | [[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა|მართკუთხა კოორდინატებში]] მოცემული ბრტყელი უწყვეტი y = f(x) წირის სიგრძე (a ≤ x≤b) გამოისახება [[ინტეგრალი|ინტეგრალით]] |
:::[[ფაილი:Rkali001.png]] | :::[[ფაილი:Rkali001.png]] | ||
| − | თუ წირის განტოლება მოცემულია პარამეტრული სახით | + | თუ წირის [[განტოლება]] მოცემულია [[პარამეტრი (მათემატიკა)|პარამეტრული]] სახით |
:::x=x(t), y=y(t), t<sub>1</sub> ≤ t ≤ t<sub>2</sub>, | :::x=x(t), y=y(t), t<sub>1</sub> ≤ t ≤ t<sub>2</sub>, | ||
| ხაზი 14: | ხაზი 14: | ||
| − | პოლარულ კოორდინატებში r = r(φ), φϵ [a,β ] | + | [[პოლარული კოორდინატები|პოლარულ კოორდინატებში]] r = r(φ), φϵ [a,β ] |
:::[[ფაილი:Rkali011.png]] | :::[[ფაილი:Rkali011.png]] | ||
| − | სივრცითი წირისათვის x=x(t), y=y(t), z=z(t), t<sub>1</sub> ≤ t ≤ t<sub>2</sub>, | + | [[სივრცითი წირი|სივრცითი წირისათვის]] x=x(t), y=y(t), z=z(t), t<sub>1</sub> ≤ t ≤ t<sub>2</sub>, |
:::[[ფაილი:Rkali015.png]] | :::[[ფაილი:Rkali015.png]] | ||
| − | თუ წირი აღებულია [[ფაილი:Matem005.png]] = [[ფაილი:Matem005.png]] (u,v) ზედაპირზე და წირის შინაგანი განტოლებაა u=u(t), v=v(t), მაშინ ამ წირის რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით: | + | თუ წირი აღებულია [[ფაილი:Matem005.png]] = [[ფაილი:Matem005.png]] (u,v) [[ზედაპირი (გეომეტრია)|ზედაპირზე]] და წირის შინაგანი განტოლებაა u=u(t), v=v(t), მაშინ ამ წირის რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით: |
:::[[ფაილი:Rkali019.png]] | :::[[ფაილი:Rkali019.png]] | ||
| − | სადაც, t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub> – პარამეტრების მნიშვნელობებია, რომლებიც შეესაბამებიან წირის რკალის შემომსაზღვრელ წერტილებს. აქ მიღებულია დაშვება, რომ ზედაპირის პირველი ძირითადი კვადრატული ფორმის E, G, F კოეფიციენტების ფორმულებში u და v გამოსახულია t -ს საშუალებით. | + | სადაც, t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub> – პარამეტრების მნიშვნელობებია, რომლებიც შეესაბამებიან წირის რკალის შემომსაზღვრელ [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილებს]]. აქ მიღებულია დაშვება, რომ ზედაპირის პირველი ძირითადი [[კვადრატული ფორმა|კვადრატული ფორმის]] E, G, F [[კოეფიციენტი (მათემატიკა)|კოეფიციენტების]] ფორმულებში u და v გამოსახულია t -ს საშუალებით. |
მიმდინარე ცვლილება 16:06, 7 ნოემბერი 2023 მდგომარეობით
რკალის სიგრძე – ამ რკალში ჩახაზული ტეხილის პერიმეტრის ზღვარი, როდესაც ტეხილის შემადგენელი რგოლების რიცხვი უსაზღვროდ იზრდება, ხოლო თითოეული რგოლის სიგრძე მიისწრაფვის ნულისაკენ. უწყვეტი წირისათვის ასეთი ზღვარი სასრული ან უსასრულო ყოველთვის არსებობს. თუ ზღვარი სასრულია, წირს (რკალს) გაწრფევადი ეწოდება. წირის ანალიზური მოცემის ხერხის მიხედვით რკალის სიგრძე გამოითვლება შემდეგი ფორმულებით:
მართკუთხა კოორდინატებში მოცემული ბრტყელი უწყვეტი y = f(x) წირის სიგრძე (a ≤ x≤b) გამოისახება ინტეგრალით
თუ წირის განტოლება მოცემულია პარამეტრული სახით
- x=x(t), y=y(t), t1 ≤ t ≤ t2,
მაშინ წირის სიგრძე
პოლარულ კოორდინატებში r = r(φ), φϵ [a,β ]
სივრცითი წირისათვის x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1 ≤ t ≤ t2,
თუ წირი აღებულია 
= (u,v) ზედაპირზე და წირის შინაგანი განტოლებაა u=u(t), v=v(t), მაშინ ამ წირის რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით:
სადაც, t1, t2 – პარამეტრების მნიშვნელობებია, რომლებიც შეესაბამებიან წირის რკალის შემომსაზღვრელ წერტილებს. აქ მიღებულია დაშვება, რომ ზედაპირის პირველი ძირითადი კვადრატული ფორმის E, G, F კოეფიციენტების ფორმულებში u და v გამოსახულია t -ს საშუალებით.
