ლოგარითმული სპირალი
(ახალი გვერდი: '''ლოგარითმული სპირალი''' – ბრტყელი წირი, რომელიც თავის ყველა...) |
|||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
'''ლოგარითმული სპირალი''' – [[ბრტყელი წირი]], რომელიც თავის ყველა [[რადიუს-ვექტორი|რადიუს-ვექტორს]] კვეთს ერთი და იგივე [[კუთხე (გეომეტრია)|კუთხით]]. მის [[განტოლება]]ს [[პოლარული კოორდინატები|პოლარულ კოორდინატებში]] აქვს შემდეგი სახე: | '''ლოგარითმული სპირალი''' – [[ბრტყელი წირი]], რომელიც თავის ყველა [[რადიუს-ვექტორი|რადიუს-ვექტორს]] კვეთს ერთი და იგივე [[კუთხე (გეომეტრია)|კუთხით]]. მის [[განტოლება]]ს [[პოლარული კოორდინატები|პოლარულ კოორდინატებში]] აქვს შემდეგი სახე: | ||
| − | p= | + | p = ae<sup>kφ</sup> [ანუ p = a exp (kφ)], სადაც a≠0, k – [[ნამდვილი რიცხვები|ნამდვილი რიცხვი]]ა; ეს ასეც ჩაიწერება: ln(p/a)=kφ. |
| − | განტოლებიდან ჩანს, რომ პოლარული კუთხე (მისი სიდიდე) პროპორციულია რადიუს-ვექტორის | + | განტოლებიდან ჩანს, რომ პოლარული კუთხე (მისი [[სიდიდე (მათემატიკა)|სიდიდე]]) [[პროპორციულობა|პროპორციულია]] რადიუს-ვექტორის [[ლოგარითმი]]სა (a-ს ტოლ [[ერთეული|ერთეულ]] [[მასშტაბი|მასშტაბში]] გაზომილი). აქედან წარმოიშვა სახელწოდებაც. როცა k>0, φ-ს ზრდასთან ერთად მისი M [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილი]] [[საათი|საათის]] ისრის [[მოძრაობა|მოძრაობის]] საპირისპირო [[მიმართულება (მათემატიკური)|მიმართულებით]] უსასრულოდ შორდება 0 [[პოლუსი (მათემატიკა)|პოლუსს]]. თუ φ→–∞, მაშინ [[მანძილი (გეომეტრია)|მანძილი]] M წერტილიდან 0 პოლუსამდე საათის ისრის [[მოძრაობის მიმართულება|მოძრაობის მიმართულებით]] მიისწრაფვის [[ნული]]საკენ. |
| − | რკალის სიგრძე M_1 (p_1,φ_1) და M_2 (p_2,φ_2) წერტილებს შორის | + | [[რკალის სიგრძე]] M_1 (p_1,φ_1) და M_2 (p_2,φ_2) წერტილებს შორის |
l=□(√(1+k^2 )/k) (p_2-p_1 ). | l=□(√(1+k^2 )/k) (p_2-p_1 ). | ||
| − | სადაც k=lna. სიმრუდის რადიუსი R=p√(1+k^2.) | + | სადაც k=lna. [[რადიუსი სიმრუდის|სიმრუდის რადიუსი]] R=p√(1+k^2.) |
| − | წირი პირველად მოხსენიებულია მერსენისადმი დეკარტის მიერ გაგზავნილ წერილში (1638). დეკარტისაგან დამოუკიდებლად ეს წირი აღმოაჩინა ტორიჩელმა (1644). ამ წირის თვისებების შესწავლისადმი განსაკუთრებულ ყურადღებას იჩენდა იაკობ ბერნული (1692), რომელიც მას უწოდებდა spira mirabilis – „საკვირველი სპირალი“. მის მიერ აღმოჩენილმა თვისებამ – სხვადასხვა გარდაქმნის მიმართ წირის ინვარიანტულობამ – იმდენად განაცვიფრა იგი, რომ თანახმა იყო მისთვის მიეწერა მისტიკური აზრი და ისურვა თავის საფლავის ქვაზე spira mirabilis გამოსახვა. რადგანაც p_1=e^(φ_1 ) და p_2=e^(φ_2 ) ტოლობების გადამრავლებისას მაჩვენებლები იკრიბებიან (p_1 p_2=e^(φ_1+φ_2 )), ამიტომ აღმოჩნდა, რომ წირს აქვს ლოგარითმის მონათესავე თვისება. ამის გამო ვარინიონმა (1704) წამოაყენა წინადადება წირს უწოდონ „ლოგარითმული სპირალი“, თუმცა, როგორც ჩანს, ამ სახელწოდებას ადრეც იყენებდნენ მიმოწერაში. ლოგარითმულ სპირალს ზოგჯერ ტოლკუთხოვან სპირალს უწოდებენ. | + | [[წირი]] პირველად მოხსენიებულია მერსენისადმი [[დეკარტი რენე|დეკარტის]] მიერ გაგზავნილ წერილში (1638). დეკარტისაგან დამოუკიდებლად ეს წირი აღმოაჩინა [[ტორიჩელი ევანჯელისტა|ტორიჩელმა]] (1644). ამ წირის თვისებების შესწავლისადმი განსაკუთრებულ ყურადღებას იჩენდა [[იაკობ ბერნული]] (1692), რომელიც მას უწოდებდა spira mirabilis – „საკვირველი სპირალი“. მის მიერ აღმოჩენილმა თვისებამ – სხვადასხვა [[გარდაქმნა (მათემატიკაში)|გარდაქმნის]] მიმართ წირის [[ინვარიანტი|ინვარიანტულობამ]] – იმდენად განაცვიფრა იგი, რომ თანახმა იყო მისთვის მიეწერა მისტიკური აზრი და ისურვა თავის საფლავის ქვაზე spira mirabilis გამოსახვა. რადგანაც p_1=e^(φ_1 ) და p_2=e^(φ_2 ) [[ტოლობა|ტოლობების]] გადამრავლებისას [[მაჩვენებელი (მათემატიკა)|მაჩვენებლები]] იკრიბებიან (p_1 p_2=e^(φ_1+φ_2 )), ამიტომ აღმოჩნდა, რომ წირს აქვს ლოგარითმის მონათესავე თვისება. ამის გამო ვარინიონმა (1704) წამოაყენა წინადადება წირს უწოდონ „ლოგარითმული სპირალი“, თუმცა, როგორც ჩანს, ამ სახელწოდებას ადრეც იყენებდნენ მიმოწერაში. ლოგარითმულ სპირალს ზოგჯერ ტოლკუთხოვან [[სპირალი (ხვია)|სპირალს]] უწოდებენ. |
| − | ლოგარითმული სპირალი ფართოდ გამოიყენება | + | ლოგარითმული სპირალი ფართოდ გამოიყენება [[ტექნიკა]]ში. ლოგარითმული სპირალის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ მისი [[პოლუსი (მათემატიკა)|პოლუსი]]დან გამოსული ნებისმიერი [[სხივი (გეომეტრია)|სხივი]] სპირალის ყოველ [[სპირალი (ხვია)|ხვიას]] კვეთს ერთი და იგივე კუთხით. ეს თვისება გამოიყენება საჭრელ (მჭრელ) მანქანებში. ლოგარითმული სპირალის მსგავსი მოხაზულობა აქვს მბრუნავი [[დანა|დანისა]] და [[ფრიზი|ფრიზის]] [[პროფილი|პროფილებს]], რის საფუძველზეც [[ზედაპირი (გეომეტრია)|ზედაპირი]] იჭრება მუდმივი კუთხით, რაც ხელს უწყობს დანის პირის თანაბარ [[გალესვა]]ს. აღმოჩნდა, [[ჰიდროელექტროსადგური|ჰიდროელექტროსადგურებში]] ტურბინის ბორბალის ფრთებთან წყლის ნაკადის მისაყვან მილს საჭიროა მიეცეს ლოგარითმული სპირალის მსგავსი სახე; მაშინ მოძრავი წყლის ენერგიის დანაკარგები იქნება მინიმუმი. |
| − | ლოგარითმულ სპირალს აქვს ხვიათა უსასრულო რაოდენობა, როგორც გაშლისას (მსგავსად | + | ლოგარითმულ სპირალს აქვს [[ხვია (სპირალი)|ხვიათა]] უსასრულო რაოდენობა, როგორც გაშლისას (მსგავსად [[არქიმედეს სპირალი]]სა), ისე [[გრეხა წირის|გრეხისას]]; ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ სპირალი არ გადის თავის პოლუსზე. ლოგარითმული სპირალის მსგავსია ზოგიერთი ნიჟარა; სპირალის მსგავსი [[რკალი (მათემატიკა)|რკალებითაა]] განლაგებული მზესუმზირის მარცვლები. |
23:35, 16 მარტი 2024-ის ვერსია
ლოგარითმული სპირალი – ბრტყელი წირი, რომელიც თავის ყველა რადიუს-ვექტორს კვეთს ერთი და იგივე კუთხით. მის განტოლებას პოლარულ კოორდინატებში აქვს შემდეგი სახე:
p = aekφ [ანუ p = a exp (kφ)], სადაც a≠0, k – ნამდვილი რიცხვია; ეს ასეც ჩაიწერება: ln(p/a)=kφ.
განტოლებიდან ჩანს, რომ პოლარული კუთხე (მისი სიდიდე) პროპორციულია რადიუს-ვექტორის ლოგარითმისა (a-ს ტოლ ერთეულ მასშტაბში გაზომილი). აქედან წარმოიშვა სახელწოდებაც. როცა k>0, φ-ს ზრდასთან ერთად მისი M წერტილი საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულებით უსასრულოდ შორდება 0 პოლუსს. თუ φ→–∞, მაშინ მანძილი M წერტილიდან 0 პოლუსამდე საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით მიისწრაფვის ნულისაკენ.
რკალის სიგრძე M_1 (p_1,φ_1) და M_2 (p_2,φ_2) წერტილებს შორის
l=□(√(1+k^2 )/k) (p_2-p_1 ).
სადაც k=lna. სიმრუდის რადიუსი R=p√(1+k^2.)
წირი პირველად მოხსენიებულია მერსენისადმი დეკარტის მიერ გაგზავნილ წერილში (1638). დეკარტისაგან დამოუკიდებლად ეს წირი აღმოაჩინა ტორიჩელმა (1644). ამ წირის თვისებების შესწავლისადმი განსაკუთრებულ ყურადღებას იჩენდა იაკობ ბერნული (1692), რომელიც მას უწოდებდა spira mirabilis – „საკვირველი სპირალი“. მის მიერ აღმოჩენილმა თვისებამ – სხვადასხვა გარდაქმნის მიმართ წირის ინვარიანტულობამ – იმდენად განაცვიფრა იგი, რომ თანახმა იყო მისთვის მიეწერა მისტიკური აზრი და ისურვა თავის საფლავის ქვაზე spira mirabilis გამოსახვა. რადგანაც p_1=e^(φ_1 ) და p_2=e^(φ_2 ) ტოლობების გადამრავლებისას მაჩვენებლები იკრიბებიან (p_1 p_2=e^(φ_1+φ_2 )), ამიტომ აღმოჩნდა, რომ წირს აქვს ლოგარითმის მონათესავე თვისება. ამის გამო ვარინიონმა (1704) წამოაყენა წინადადება წირს უწოდონ „ლოგარითმული სპირალი“, თუმცა, როგორც ჩანს, ამ სახელწოდებას ადრეც იყენებდნენ მიმოწერაში. ლოგარითმულ სპირალს ზოგჯერ ტოლკუთხოვან სპირალს უწოდებენ.
ლოგარითმული სპირალი ფართოდ გამოიყენება ტექნიკაში. ლოგარითმული სპირალის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ მისი პოლუსიდან გამოსული ნებისმიერი სხივი სპირალის ყოველ ხვიას კვეთს ერთი და იგივე კუთხით. ეს თვისება გამოიყენება საჭრელ (მჭრელ) მანქანებში. ლოგარითმული სპირალის მსგავსი მოხაზულობა აქვს მბრუნავი დანისა და ფრიზის პროფილებს, რის საფუძველზეც ზედაპირი იჭრება მუდმივი კუთხით, რაც ხელს უწყობს დანის პირის თანაბარ გალესვას. აღმოჩნდა, ჰიდროელექტროსადგურებში ტურბინის ბორბალის ფრთებთან წყლის ნაკადის მისაყვან მილს საჭიროა მიეცეს ლოგარითმული სპირალის მსგავსი სახე; მაშინ მოძრავი წყლის ენერგიის დანაკარგები იქნება მინიმუმი.
ლოგარითმულ სპირალს აქვს ხვიათა უსასრულო რაოდენობა, როგორც გაშლისას (მსგავსად არქიმედეს სპირალისა), ისე გრეხისას; ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ სპირალი არ გადის თავის პოლუსზე. ლოგარითმული სპირალის მსგავსია ზოგიერთი ნიჟარა; სპირალის მსგავსი რკალებითაა განლაგებული მზესუმზირის მარცვლები.
