ფურიეს მწკრივი

ფურიეს მწკრივი

1) ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის საშუალებით პერიოდული ფუნქცია იშლება ჰარმონიულ კომპონენტებად.

2) ფუნქციის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის კოეფიციენტები მოცემული ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტებია.

თუ f(x) ფუნქციას აქვს 2T პერიოდი, მაშინ ფურიეს მწკრივს შემდეგი სახე ექნება:

f(x) = a₀/2 + [a_n cos(πnx/T) + b_n sin(πnx/T) ],

სადაც a₀ a_n,b_n (n ≥1) ფურიეს კოეფიციენტებია:

a_n=1/T • f(x) cos(πnx/T) dx, b_n=1/T • f(x) sin(πnx/T) dx.

ფურიეს მწკრივი წარმოადგენს მათემატიკური ფიზიკის განტოლებების და ჰარმონიული ანალიზის კვლევის მძლავრ საშუალებას. იგი შემოიღო ჟ. ფურიემ სითბოს გავრცელების ამოცანებთან დაკავშირებით.

პირველი ტრიგონომეტრიული მწკრივები მოყვანილია ნიუტონის წერილში (1676). ნიუტონს უნდოდა წირის კვადრატურისა და გაწრფევების ამოცანების ამოხსნა. დასაწყისში ფუნქციის გაშლა ტრიგონომეტრიული მწკრივად მიღებული იყო, როგორც ფუნქციის გაშლა ტეილორის მწკრივად. მაგალითად, წილადი (1-r cosφ)/(1-2r cosφ+r²) იშლებოდა cosφ -ს ხარისხებად (ეილერი, 1744-1766).

XVIII ს-ში ტრიგონომეტრიული მწკრივებისადმი საერთო ინტერესი გამოწვეული იყო სიმის რხევის ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, რომელიც დ. ბერნულიმ მიიღო ტრიგონომეტრიული მწკრივის სახით. ბერნულიმ ვერ მონახა კოეფიციენტების განსაზღვრის მეთოდი და ამ სუსტ ადგილს იყენებდნენ მისი კრიტიკოსები. თუმცა ეს მეთოდი უკვე არსებობდა და a_n და b_n კოეფიციენტები მოძებნილი ჰქონდა კლეროს (1754) და ეილერს (1777) კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისას.

ფურიეს მემუარი, რომელშიც ჩამოყალიბებულია თეორემა იმის შესახებ, რომ ნებისმიერად (გრაფიკულად) მოცემული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნეს ტრიგონომეტრიულ მწკრივად, იმდენად მოულოდნელი იყო, რომ მათემატიკოსები მას დიდი სიფრთხილით შეხვდნენ, ზოგჯერ კი კატეგორიული უარყოფით (ლაგრანჟი, ლაპლასი). ფურიეს ნაშრომი (1811) მაშინვე არ გამოქვეყნებულა; იგი გამოქვეყნდა მხოლოდ 1824 წ-ს, როდესაც ფურიე გახდა აკადემიის მდივანი. კლასიკურმა ნაშრომმა „Theorie analytique de chaleur“ (1822) უკვე ჰპოვა აღიარება და წარმატება. ძირითადი თეორემა დაამტკიცა დირიხლემ (1829-1837), ხოლო მისი გადმოცემა-ამომწურავად ნათელი და მარტივი – გახდა კლასიკური და შეტანილია მათემატიკური ანალიზის ყველა თანამედროვე სახელმძღვანელოში. ამასთანავე, დირიხლე იყენებდა თითქმის იგივე აღნიშვნებს: კოეფიციენტებს კოსინუსებთან აღნიშნავდა b_n-ით, ხოლო სინუსებთან – a_n-ით. აღნიშვნები f(a+o), f(a-o) დირიხლემ მიიღო საწყისი f(a+ε), f(a-ε) აღნიშვნებისაგან. გამოთქმა „ფუნქციები, რომლებიც აკმაყოფილებენ დირიხლეს პირობას...“ შემოთავაზებულია დიუბუა რაიმონის მიერ (1875).

1876 წ-ს დირიხლემ მოიყვანა უწყვეტი ფუნქციის პირველი მაგალითი, რომელიც არ იშლება ფურიეს მწკრივად. ისეთი ფუნქციის არსებობა, რომლისთვისაც ფურიეს მწკრივი განშლადია ყოველ წერტილში, აღმოაჩინა ა. კოლმოგოროვმა (1926).

ფურიე მწკრივებს უწოდებდა „ტრიგონომეტრიულს“. სახელწოდება „ფურიეს მწკრივი“ შემოთავაზებულია რიმანის მიერ (1857). იგი საყოველთაოდ იქნა მიღებული და წარმოადგენს დიდი მათემატიკოსის ნაშრომთა აღიარების ნიშანს, თუმცა „ფურიეს მწკრივი“ თვით ფურიეს სიცოცხლეშიც კარგად იყო ცნობილი.

როგორც ლანცოში გადმოსცემს, ერთხელ ვიქტორ ჰიუგოს ჰკითხეს, რომელ ერთადერთ ლიტერატურულ ნაწარმოებს დაიტოვებდა, რომ მოუხდეს მთელი მსოფლიო ლიტერატურის შეწირვა (ჰიუგომ აირჩია ბიბლია). თვით ლანცოშმა ანალოგიური კითხვა დასვა მათემატიკის შესახებ და მასზე ასე უპასუხა „...ჩვენ რომ შემოგვთავაზონ გადავყაროთ ყველა მათემატიკური აღმოჩენა, გარდა ერთისა, ჩვენ ალბათ დავტოვებდით ფურიეს მწკრივს. ამ მწკრივმა მოახდინა ყველაზე უფრო ღრმა გავლენა ანალიზის ყოველმხრივ განვითარებაზე, როგორც თეორიულ, ასევე პრაქტიკულ ასპექტში. გარდა ამისა, მისი კავშირი ანალიზის სხვა ნაწილებთან იმდენად მჭიდროა, რომ თუ იტყვიან „ფურიეს მწკრივი თავის ყველა შედეგით“, მაშინ ჩვენი კლასიკური ანალიზის მნიშვნელოვანი ნაწილი შენარჩუნებული იქნება“.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი