ფურიეს მწკრივი
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
'''ფურიეს მწკრივი''' | '''ფურიეს მწკრივი''' | ||
| − | 1) ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის საშუალებით პერიოდული ფუნქცია იშლება ჰარმონიულ კომპონენტებად. | + | 1) [[ტრიგონომეტრიული მწკრივი]], რომლის საშუალებით [[პერიოდული ფუნქცია]] იშლება ჰარმონიულ [[კომპონენტი (მათემატიკა)|კომპონენტებად]]. |
| − | 2) ფუნქციის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის კოეფიციენტები მოცემული ფუნქციის ფურიეს | + | 2) [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქციის]] შესაბამისი ტრიგონომეტრიული [[მწკრივი (მათემატიკა)|მწკრივი]], რომლის [[კოეფიციენტი (მათემატიკა)|კოეფიციენტები]] მოცემული ფუნქციის [[ფურიეს კოეფიციენტები]]ა. |
| − | თუ f(x) ფუნქციას აქვს 2T პერიოდი, მაშინ ფურიეს მწკრივს შემდეგი სახე ექნება: | + | თუ f(x) ფუნქციას აქვს 2T [[პერიოდი (მათემატიკა)|პერიოდი]], მაშინ ფურიეს მწკრივს შემდეგი სახე ექნება: |
:::f(x) = a<sub>0</sub>/2 + [[ფაილი:Trigonometr003.png]] [a<sub>n</sub> cos(πnx/T) + b<sub>n</sub> sin(πnx/T) ], | :::f(x) = a<sub>0</sub>/2 + [[ფაილი:Trigonometr003.png]] [a<sub>n</sub> cos(πnx/T) + b<sub>n</sub> sin(πnx/T) ], | ||
| ხაზი 13: | ხაზი 13: | ||
:::a<sub>n</sub>=1/T • [[ფაილი:Furies mwk001.png]]f(x) cos(πnx/T) dx, b<sub>n</sub>=1/T • [[ფაილი:Furies mwk001.png]]f(x) sin(πnx/T) dx. | :::a<sub>n</sub>=1/T • [[ფაილი:Furies mwk001.png]]f(x) cos(πnx/T) dx, b<sub>n</sub>=1/T • [[ფაილი:Furies mwk001.png]]f(x) sin(πnx/T) dx. | ||
| − | ფურიეს მწკრივი წარმოადგენს მათემატიკური ფიზიკის განტოლებების და ჰარმონიული | + | ფურიეს მწკრივი წარმოადგენს [[მათემატიკური ფიზიკა|მათემატიკური ფიზიკის]] [[განტოლება|განტოლებების]] და [[ჰარმონიული ანალიზი]]ს კვლევის მძლავრ საშუალებას. იგი შემოიღო [[ფურიე ჟან ჟოზეფ|ჟ. ფურიემ]] სითბოს გავრცელების [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანებთან]] დაკავშირებით. |
| − | პირველი ტრიგონომეტრიული მწკრივები მოყვანილია ნიუტონის წერილში (1676). ნიუტონს უნდოდა წირის კვადრატურისა და გაწრფევების ამოცანების ამოხსნა. დასაწყისში ფუნქციის გაშლა ტრიგონომეტრიული მწკრივად მიღებული იყო, როგორც ფუნქციის გაშლა ტეილორის მწკრივად. მაგალითად, წილადი (1-r cosφ)/(1-2r cosφ+r<sup>2</sup>) იშლებოდა cosφ -ს ხარისხებად (ეილერი, 1744-1766). | + | პირველი ტრიგონომეტრიული მწკრივები მოყვანილია [[ნიუტონი ისააკ|ნიუტონის]] წერილში (1676). ნიუტონს უნდოდა [[წირი|წირის]] კვადრატურისა და [[გაწრფევება|გაწრფევების]] ამოცანების [[ამოხსნა]]. დასაწყისში ფუნქციის გაშლა ტრიგონომეტრიული მწკრივად მიღებული იყო, როგორც ფუნქციის გაშლა [[ტეილორის მწკრივი|ტეილორის მწკრივად]]. მაგალითად, [[წილადი]] (1-r cosφ)/(1-2r cosφ+r<sup>2</sup>) იშლებოდა cosφ -ს [[ხარისხი (მათემატიკა)|ხარისხებად]] ([[ეილერი ლეონარდ|ეილერი]], 1744-1766). |
| − | XVIII ს-ში ტრიგონომეტრიული მწკრივებისადმი საერთო ინტერესი გამოწვეული იყო სიმის რხევის ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, რომელიც დ. ბერნულიმ მიიღო ტრიგონომეტრიული მწკრივის სახით. ბერნულიმ ვერ მონახა კოეფიციენტების განსაზღვრის მეთოდი და ამ სუსტ ადგილს იყენებდნენ მისი კრიტიკოსები. თუმცა ეს მეთოდი უკვე არსებობდა და a<sub>n</sub> და b<sub>n</sub> კოეფიციენტები მოძებნილი ჰქონდა კლეროს (1754) და ეილერს (1777) კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისას. | + | XVIII ს-ში ტრიგონომეტრიული მწკრივებისადმი საერთო ინტერესი გამოწვეული იყო სიმის [[რხევა (რხევითი მოძრაობა)|რხევის]] ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, რომელიც [[ბერნული დანიელ I|დ. ბერნულიმ]] მიიღო ტრიგონომეტრიული მწკრივის სახით. ბერნულიმ ვერ მონახა კოეფიციენტების განსაზღვრის [[მეთოდი (მათემატიკური)|მეთოდი]] და ამ სუსტ ადგილს იყენებდნენ მისი კრიტიკოსები. თუმცა ეს მეთოდი უკვე არსებობდა და a<sub>n</sub> და b<sub>n</sub> კოეფიციენტები მოძებნილი ჰქონდა კლეროს (1754) და ეილერს (1777) კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისას. |
| − | ფურიეს მემუარი, რომელშიც ჩამოყალიბებულია თეორემა იმის შესახებ, რომ ნებისმიერად (გრაფიკულად) მოცემული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნეს ტრიგონომეტრიულ მწკრივად, იმდენად მოულოდნელი იყო, რომ მათემატიკოსები მას დიდი სიფრთხილით შეხვდნენ, ზოგჯერ კი კატეგორიული უარყოფით (ლაგრანჟი, ლაპლასი). ფურიეს ნაშრომი (1811) მაშინვე არ გამოქვეყნებულა; იგი გამოქვეყნდა მხოლოდ 1824 წ-ს, როდესაც ფურიე გახდა აკადემიის მდივანი. კლასიკურმა ნაშრომმა „Theorie analytique de chaleur“ (1822) უკვე ჰპოვა აღიარება და წარმატება. ძირითადი თეორემა დაამტკიცა დირიხლემ (1829-1837), ხოლო მისი გადმოცემა-ამომწურავად ნათელი და მარტივი – გახდა კლასიკური და შეტანილია მათემატიკური | + | ფურიეს მემუარი, რომელშიც ჩამოყალიბებულია თეორემა იმის შესახებ, რომ ნებისმიერად (გრაფიკულად) მოცემული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნეს ტრიგონომეტრიულ მწკრივად, იმდენად მოულოდნელი იყო, რომ მათემატიკოსები მას დიდი სიფრთხილით შეხვდნენ, ზოგჯერ კი კატეგორიული უარყოფით ([[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟი]], [[ლაპლასი პიერ სიმონ|ლაპლასი]]). ფურიეს ნაშრომი (1811) მაშინვე არ გამოქვეყნებულა; იგი გამოქვეყნდა მხოლოდ 1824 წ-ს, როდესაც ფურიე გახდა აკადემიის მდივანი. კლასიკურმა ნაშრომმა „Theorie analytique de chaleur“ (1822) უკვე ჰპოვა აღიარება და წარმატება. ძირითადი თეორემა დაამტკიცა დირიხლემ (1829-1837), ხოლო მისი გადმოცემა-ამომწურავად ნათელი და მარტივი – გახდა კლასიკური და შეტანილია [[მათემატიკური ანალიზი]]ს ყველა თანამედროვე სახელმძღვანელოში. ამასთანავე, დირიხლე იყენებდა თითქმის იგივე აღნიშვნებს: კოეფიციენტებს [[კოსინუსი|კოსინუსებთან]] აღნიშნავდა b<sub>n</sub>-ით, ხოლო [[სინუსი|სინუსებთან]] – a<sub>n</sub>-ით. აღნიშვნები f(a+o), f(a-o) დირიხლემ მიიღო საწყისი f(a+ε), f(a-ε) აღნიშვნებისაგან. გამოთქმა „ფუნქციები, რომლებიც აკმაყოფილებენ დირიხლეს პირობას...“ შემოთავაზებულია დიუბუა რაიმონის მიერ (1875). |
| − | 1876 წ-ს დირიხლემ მოიყვანა უწყვეტი ფუნქციის პირველი მაგალითი, რომელიც არ იშლება ფურიეს მწკრივად. ისეთი ფუნქციის არსებობა, რომლისთვისაც ფურიეს მწკრივი განშლადია ყოველ წერტილში, აღმოაჩინა ა. კოლმოგოროვმა (1926). | + | 1876 წ-ს დირიხლემ მოიყვანა [[უწყვეტი ფუნქცია|უწყვეტი ფუნქციის]] პირველი მაგალითი, რომელიც არ იშლება ფურიეს მწკრივად. ისეთი ფუნქციის არსებობა, რომლისთვისაც ფურიეს [[განშლადი მწკრივი|მწკრივი განშლადია]] ყოველ [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]], აღმოაჩინა ა. კოლმოგოროვმა (1926). |
| − | ფურიე მწკრივებს უწოდებდა | + | ფურიე მწკრივებს უწოდებდა „[[ტრიგონომეტრია|ტრიგონომეტრიულს]]“. სახელწოდება „ფურიეს მწკრივი“ შემოთავაზებულია რიმანის მიერ (1857). იგი საყოველთაოდ იქნა მიღებული და წარმოადგენს დიდი მათემატიკოსის ნაშრომთა აღიარების ნიშანს, თუმცა „ფურიეს მწკრივი“ თვით ფურიეს სიცოცხლეშიც კარგად იყო ცნობილი. |
| − | როგორც ლანცოში გადმოსცემს, ერთხელ ვიქტორ ჰიუგოს ჰკითხეს, რომელ ერთადერთ ლიტერატურულ ნაწარმოებს დაიტოვებდა, რომ მოუხდეს მთელი მსოფლიო ლიტერატურის შეწირვა (ჰიუგომ აირჩია ბიბლია). თვით ლანცოშმა ანალოგიური კითხვა დასვა მათემატიკის შესახებ და მასზე ასე უპასუხა „...ჩვენ რომ შემოგვთავაზონ გადავყაროთ ყველა მათემატიკური აღმოჩენა, გარდა ერთისა, ჩვენ ალბათ დავტოვებდით ფურიეს მწკრივს. ამ მწკრივმა მოახდინა ყველაზე უფრო ღრმა გავლენა ანალიზის ყოველმხრივ განვითარებაზე, როგორც თეორიულ, ასევე პრაქტიკულ ასპექტში. გარდა ამისა, მისი კავშირი ანალიზის სხვა ნაწილებთან იმდენად მჭიდროა, რომ თუ იტყვიან „ფურიეს მწკრივი თავის ყველა შედეგით“, მაშინ ჩვენი კლასიკური ანალიზის მნიშვნელოვანი ნაწილი შენარჩუნებული იქნება“. | + | როგორც ლანცოში გადმოსცემს, ერთხელ ვიქტორ ჰიუგოს ჰკითხეს, რომელ ერთადერთ ლიტერატურულ ნაწარმოებს დაიტოვებდა, რომ მოუხდეს მთელი მსოფლიო ლიტერატურის შეწირვა (ჰიუგომ აირჩია [[ბიბლია]]). თვით ლანცოშმა ანალოგიური კითხვა დასვა [[მათემატიკა|მათემატიკის]] შესახებ და მასზე ასე უპასუხა „...ჩვენ რომ შემოგვთავაზონ გადავყაროთ ყველა მათემატიკური აღმოჩენა, გარდა ერთისა, ჩვენ ალბათ დავტოვებდით ფურიეს მწკრივს. ამ მწკრივმა მოახდინა ყველაზე უფრო ღრმა გავლენა [[ანალიზი|ანალიზის]] ყოველმხრივ განვითარებაზე, როგორც თეორიულ, ასევე პრაქტიკულ ასპექტში. გარდა ამისა, მისი კავშირი ანალიზის სხვა ნაწილებთან იმდენად მჭიდროა, რომ თუ იტყვიან „ფურიეს მწკრივი თავის ყველა შედეგით“, მაშინ ჩვენი კლასიკური ანალიზის მნიშვნელოვანი ნაწილი შენარჩუნებული იქნება“. |
მიმდინარე ცვლილება 23:59, 14 თებერვალი 2024 მდგომარეობით
ფურიეს მწკრივი
1) ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის საშუალებით პერიოდული ფუნქცია იშლება ჰარმონიულ კომპონენტებად.
2) ფუნქციის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული მწკრივი, რომლის კოეფიციენტები მოცემული ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტებია.
თუ f(x) ფუნქციას აქვს 2T პერიოდი, მაშინ ფურიეს მწკრივს შემდეგი სახე ექნება:
- f(x) = a0/2 +
[an cos(πnx/T) + bn sin(πnx/T) ],
- f(x) = a0/2 +
სადაც a0 an,bn (n ≥1) ფურიეს კოეფიციენტებია:
- an=1/T •
f(x) cos(πnx/T) dx, bn=1/T • f(x) sin(πnx/T) dx.
- an=1/T •
ფურიეს მწკრივი წარმოადგენს მათემატიკური ფიზიკის განტოლებების და ჰარმონიული ანალიზის კვლევის მძლავრ საშუალებას. იგი შემოიღო ჟ. ფურიემ სითბოს გავრცელების ამოცანებთან დაკავშირებით.
პირველი ტრიგონომეტრიული მწკრივები მოყვანილია ნიუტონის წერილში (1676). ნიუტონს უნდოდა წირის კვადრატურისა და გაწრფევების ამოცანების ამოხსნა. დასაწყისში ფუნქციის გაშლა ტრიგონომეტრიული მწკრივად მიღებული იყო, როგორც ფუნქციის გაშლა ტეილორის მწკრივად. მაგალითად, წილადი (1-r cosφ)/(1-2r cosφ+r2) იშლებოდა cosφ -ს ხარისხებად (ეილერი, 1744-1766).
XVIII ს-ში ტრიგონომეტრიული მწკრივებისადმი საერთო ინტერესი გამოწვეული იყო სიმის რხევის ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, რომელიც დ. ბერნულიმ მიიღო ტრიგონომეტრიული მწკრივის სახით. ბერნულიმ ვერ მონახა კოეფიციენტების განსაზღვრის მეთოდი და ამ სუსტ ადგილს იყენებდნენ მისი კრიტიკოსები. თუმცა ეს მეთოდი უკვე არსებობდა და an და bn კოეფიციენტები მოძებნილი ჰქონდა კლეროს (1754) და ეილერს (1777) კონკრეტული ამოცანების ამოხსნისას.
ფურიეს მემუარი, რომელშიც ჩამოყალიბებულია თეორემა იმის შესახებ, რომ ნებისმიერად (გრაფიკულად) მოცემული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნეს ტრიგონომეტრიულ მწკრივად, იმდენად მოულოდნელი იყო, რომ მათემატიკოსები მას დიდი სიფრთხილით შეხვდნენ, ზოგჯერ კი კატეგორიული უარყოფით (ლაგრანჟი, ლაპლასი). ფურიეს ნაშრომი (1811) მაშინვე არ გამოქვეყნებულა; იგი გამოქვეყნდა მხოლოდ 1824 წ-ს, როდესაც ფურიე გახდა აკადემიის მდივანი. კლასიკურმა ნაშრომმა „Theorie analytique de chaleur“ (1822) უკვე ჰპოვა აღიარება და წარმატება. ძირითადი თეორემა დაამტკიცა დირიხლემ (1829-1837), ხოლო მისი გადმოცემა-ამომწურავად ნათელი და მარტივი – გახდა კლასიკური და შეტანილია მათემატიკური ანალიზის ყველა თანამედროვე სახელმძღვანელოში. ამასთანავე, დირიხლე იყენებდა თითქმის იგივე აღნიშვნებს: კოეფიციენტებს კოსინუსებთან აღნიშნავდა bn-ით, ხოლო სინუსებთან – an-ით. აღნიშვნები f(a+o), f(a-o) დირიხლემ მიიღო საწყისი f(a+ε), f(a-ε) აღნიშვნებისაგან. გამოთქმა „ფუნქციები, რომლებიც აკმაყოფილებენ დირიხლეს პირობას...“ შემოთავაზებულია დიუბუა რაიმონის მიერ (1875).
1876 წ-ს დირიხლემ მოიყვანა უწყვეტი ფუნქციის პირველი მაგალითი, რომელიც არ იშლება ფურიეს მწკრივად. ისეთი ფუნქციის არსებობა, რომლისთვისაც ფურიეს მწკრივი განშლადია ყოველ წერტილში, აღმოაჩინა ა. კოლმოგოროვმა (1926).
ფურიე მწკრივებს უწოდებდა „ტრიგონომეტრიულს“. სახელწოდება „ფურიეს მწკრივი“ შემოთავაზებულია რიმანის მიერ (1857). იგი საყოველთაოდ იქნა მიღებული და წარმოადგენს დიდი მათემატიკოსის ნაშრომთა აღიარების ნიშანს, თუმცა „ფურიეს მწკრივი“ თვით ფურიეს სიცოცხლეშიც კარგად იყო ცნობილი.
როგორც ლანცოში გადმოსცემს, ერთხელ ვიქტორ ჰიუგოს ჰკითხეს, რომელ ერთადერთ ლიტერატურულ ნაწარმოებს დაიტოვებდა, რომ მოუხდეს მთელი მსოფლიო ლიტერატურის შეწირვა (ჰიუგომ აირჩია ბიბლია). თვით ლანცოშმა ანალოგიური კითხვა დასვა მათემატიკის შესახებ და მასზე ასე უპასუხა „...ჩვენ რომ შემოგვთავაზონ გადავყაროთ ყველა მათემატიკური აღმოჩენა, გარდა ერთისა, ჩვენ ალბათ დავტოვებდით ფურიეს მწკრივს. ამ მწკრივმა მოახდინა ყველაზე უფრო ღრმა გავლენა ანალიზის ყოველმხრივ განვითარებაზე, როგორც თეორიულ, ასევე პრაქტიკულ ასპექტში. გარდა ამისა, მისი კავშირი ანალიზის სხვა ნაწილებთან იმდენად მჭიდროა, რომ თუ იტყვიან „ფურიეს მწკრივი თავის ყველა შედეგით“, მაშინ ჩვენი კლასიკური ანალიზის მნიშვნელოვანი ნაწილი შენარჩუნებული იქნება“.
